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8.1功和功率
1.理解功的概念，掌握W=Flcosa的适用条件及应用特点。
2.知道功是标量，理解正功、负功的含义，明确合力功与分力功的关系。
3.理解功率的概念，会用极限思想得到瞬时功率的表达式P=Fv。关注生产生活中常见的功、功率问题，掌握功率的估算问题。
4.会分析汽车发动机功率一定时，牵引力与速度之间的关系，并能分析、解释实际生活中的现象。
知识点一：功
1.功的概念
实例 研究对象 示意图 工作（或作用力）的成效
人用了推小车 小车 人推小车的力 小车在推力F的作用下向前移动了距离s
人用力提起一桶水 水桶 人提水桶的力 水桶在拉力F的作用下向上移动了距离h
苹果从树上落下来 苹果 苹果受到的重力 苹果在重力G的作用下向下移动了距离h
【探究发现】通过对表中实例进行分析，可以发现三个实例的共同点是对物体施加了力的作用，并且物体都在力的作用下沿力的方向移动了一段距离。
【归纳总结】如果物体受力且沿受力方向移动一定的距离，就说力对物体做了功。
物理学中的“做功”与日常生活的“做工”不同。“做功”是生产、生活中普遍存在的物理现象，它由严格而明确的含义，偏重于“成效、贡献”；“做工”是指消耗一定体力和脑力的人类活动。
2.做功的两个必要因素
（1）作用在物体上的力；
（2）物体在力的方向上移动的距离。
3.三种不做功的情况
不做功的情况 图示 实例 分析
有距离无力（不劳务工） 某同学踢足球，足球离开脚后在地面上滚动的过程中，该同学对足球没有力的作用，不做功 足球由于惯性移动一段距离，球滚动时踢足球的力不再对足球做功
有力无距离（劳而无功） 同学搬石头，但没有搬动，她对石头没有做功 有力作用在物体上，但物体没有移动，即物体没有在力的方向上移动距离，力对物体没有做功
力与移动方向垂直（垂直无功） 滑板在水平方向上移动了一段距离，但在人的拉力方向上没有移动距离，拉力没有做功 物体受到了力的作图，也移动了一段距离，但移动的方向与力的方向垂直，即物体在力的方向上没有移动距离，则这个力对物体没有做功
力对物体做功时，物体的移动方向并非一定要与力的方向完全一致，移动的方向和力的方向有夹角（夹角不等于90°）时力也对物体做功。如图中，拉力F对物体做功。
知识点二：功的计算
1.公式：W＝Flcosα。
(1)α是力与位移之间的夹角，l为物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
(3)功是标量，没有方向，但有正负。
2.单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是 J。1 J＝1 N×1 m＝1 N·m。
3.功是标量，没有方向、但是有正负，正负表示能量转化的方向，表示物体是输入了能量还是输出了能量。
4.在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J（1J=1N m）。
5.物理意义：功是能量转化的量度。
（1）研究做"功"时的关注点是力，不是物体，物体可能受多个力作用，每个力做的功单独计算，功是标量，遵循代数运算法则。
（2）在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。1J等于1N的力使物体在力的方向上发生1m位移所做的功，所以1J=1 N×1 m=1 N·m。
（3）功是过程量，是力对位移的积累效应。
（4）W=Flcosa只适用于计算恒力做的功，式中是力F作用点的位移，力F作用点的位移与物体的位移不一定相等。
（5）在公式W=Flcosa中，既可认为是力F乘以力的方向上的位移lcosa，也可以认为是位移乘以位移方向上的力Fcos a。
（6）求功时物体的位移必须是相对于某一惯性参考系，一般取地面为参考系。
（7）F与l必须具备同时性，即l必须是力F作用过程中物体的位移。如果力F消失后物体继续运动，力所做的功只跟力F作用的那段位移有关，跟其余的位移无关
知识点三：正功和负功
1.公式W=Flcosa中，力F和位移l只表示大小，但cosa可能为负值，也可能为正值，所以功W有正、负之分。下表为力F与位移l的夹角a不同时，力F做功的几种情况。
夹角a的范围 图示 做功情况 物理意义
a W>0，即力F对物体做正功 力是动力
aπ W<0，即力F对物体做负功 力是阻力
W=0，即力F对物体不做功 力既不是动力也不是阻力
（1）力做功的正、负判断：若物体做直线运动，一般依据力与位移的夹角来判断。
（2）曲线运动中功的正、负判断若物体做曲线运动，一般依据F与v的方向的夹角来判断。例如圆周运动中向心力便不做功。
2.总功的计算方法
(1)先由W＝Flcos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3、…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…。
(2)先由力的合成方法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合lcos α计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。
滑动摩擦力、空气阻力、液体阻力等一类力，它们的特点是力的方向与相对运动方向相反，在曲线运动或往返运动时，这类力做的功等于力和路程(不是位移)的乘积。例如以一定速度竖直上抛一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为人则从抛出至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功：上升阶段，空气阻力做的功W1=-fh;下落阶段，空气阻力做的功W2=-fh;整个过程中空气阻力做的功W=W1+W2=-2fh。
知识点四：功率
1. 功率
（1）定义：做功的快慢用功率表示。如果在时间t内，力F做的功为W，则功与完成这些功所用的时间之比叫作功率
（2）定义式：
（3）单位及符号：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W。1W=1J/s，瓦特这个单位比较小，技术上常用千瓦(kW)作为功率单位，1kW=1000W。
（4）是功率的定义式，不仅适用于恒力做功时功率的计算，也适用于变力做功时功率的计算。功率反映物体做功的快慢程度，与做功多少无关，功率越大，机械做功就越快。
2. P=Fv的推导
如果物体沿位移方向受的力是F，从计时开始到时刻这段时间内，发生的位移是l，则力F在这段时间内所做的功为W=Fl，因此有，由于是物体在时间t内的平均速度v，于是可以写成P=Fv。
结论:一个沿着位移方向的力对物体做功的功率，等于这个力与物体速度的乘积。
P=Fv中的速度v是物体在恒力F作用下的平均速度，所以这里的功率P是指从计时开始到时刻t的平均功率。如果时间间隔非常小，上述平均速度就可以看作瞬时速度。
3. 对P=Fv的理解
P=Fv仅适用于F和v同向的情况，若F和v的夹角为a，则，a是力与速度间的夹角。该式有以下两种用法:
①求某一时刻的瞬时功率：这时F是该时刻的作用力大小，v为瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率。②求某段时间内的平均功率：当v为某段位移内的平均速度时，则这段位移内F必须为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。
4.平均功率与瞬时功率
项目 平均功率 瞬时功率
公式 P＝或P＝Fcos α P＝Fvcos α，式中v表示某一时刻的瞬时速度
物理意义 只能粗略地描述物体做功的快慢 能精确地描述物体做功的快慢
注意 ①求解功率时，一定要分析清楚所求功率是瞬时功率还是平均功率 ②应用P＝Fcos α计算平均功率时，力F是恒力，为对应时间t内的平均速度 ③求平均功率时一定要说明是哪个力在哪段时间内的平均功率
知识点四：机车启动的两种模式
1、两种机车启动方式的规律
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P t图像 和v t图像
OA 段 过程分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB 段 过程分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 无 F＝F阻 a＝0 以vm＝做匀速运动
2、机车启动a-1/v和F-1/v图像问题
恒定功率启动a-1/v图像 恒定加速度启动F-1/v图像
由F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝·－， ①斜率k＝ ②纵截距b=－ ③横截距c== ①AB段牵引力不变，做匀加速直线运动； ②BC图线的斜率k表示功率P，知BC段功率不变，牵引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动； ③B点横坐标对应匀加速运动的末速度为1/v1； ④C点横坐标对应运动的最大速度1/v2，此时牵引力等于阻力。
如图所示，物体在力F的作用下水平发生了一段位移l。设这三种情形下力F和位移l的大小都是一样的。下列说法正确的是（　　）
A．甲图中，力F对物体做负功
B．乙图中，力F对物体做功为﹣Flcos30°
C．乙图和丙图中，力F对物体做功相同
D．甲图和乙图中，力F对物体做功相同
【解答】解：根据做功的计算公式W＝Flcosθ，式中θ为力F的方向与位移l方向之间的夹角，因此可知甲、乙、丙图中力F所做的功分别为W甲＝Flcos30°，W乙＝﹣Flcos30°，W丙＝Flcos30°，则可知，甲、丙两种情况力对物体做功相同且都做正功，乙图中力对物体做负功。故B正确，ACD错误。
故选：B。
某科技小组利用弹性绳网模拟火箭回收。如图所示，“口”字形的绳网四个角各用一根弹性绳索拉住，绳索另一端固定在立柱上。将火箭模型从某高处释放，在接触绳网后下降直至最低点的过程中，下列说法中正确的是（　　）
A．火箭模型接触绳网立即减速
B．火箭模型在最低点所受合力为0
C．火箭模型接触绳网后先失重后超重
D．绳网对火箭模型先做正功后做负功
【解答】解：A、火箭模型接触绳网后，开始时绳网的弹力小于火箭模型的重力，合力仍向下，火箭模型继续加速，只是加速度逐渐减小，当绳网的弹力等于火箭模型的重力后，才开始减速，所以火箭模型接触绳网后不是立即减速，故A错误；
B、火箭模型在最低点弹力大于重力，所受合力向上，故B错误；
C、火箭模型接触绳网后先向下加速，后向下减速，所以先失重后超重，故C正确；
D、绳网对火箭模型的力始终向上，接触绳网后下降直至最低点的过程中，一直做负功，故D错误。
故选：C。
2023年哈尔滨冰雪运动火遍全国，家长们纷纷带着小孩前往体验。如图所示，一儿童坐在雪橇上，雪橇在与竖直方向成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l。此过程中拉力F对雪橇做的功为（　　）
A． B． C．Flsinθ D．Flcosθ
【解答】解：拉力的功为W＝Flcos（90°﹣θ）＝Flsinθ
故ABD错误，C正确。
故选：C。
如图甲所示，质量为1kg的水鸟一头扎入水中捕鱼，假设水鸟的俯冲是自由落体运动，进入水中后是匀减速直线运动，其v﹣t图像如图乙所示，自由落体运动的时间为t1，整个过程的运动时间为，最大速度为vm＝18m/s，重力加速度g取10m/s2，则时间内水的阻力对水鸟做功的多少（　　）
A．16.2J B．162J C．270J D．432J
【解答】解：根据自由落体运动规律v＝gt可得，则整个过程中水鸟下落的高度为h，设水的阻力对水鸟做功为W，对水鸟整个过程根据动能定理有mgh+W＝0，解得W＝﹣270J，所以水的阻力对水鸟做负功为270J，故C正确，ABD错误。
故选：C。
A、B两物体的质量之比为mA：mB＝2：1，由于摩擦力的作用，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其v﹣t图像如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．物体A、B的位移大小之比为xA：xB＝1：1
B．物体A、B受到的摩擦力大小之比为fA：fB＝2：1
C．物体A、B受到的摩擦力做的功之比为WA：WB＝2：1
D．t＝0时刻，物体A、B受到的摩擦力的功率之比为PA：PB＝2：1
【解答】解：A.v﹣t图像中，图像与时间轴所围面积表示位移，A、B两物体运动位移大小分别为xA、xB，
根据图像有，
解得xA：xB＝1：2
故A错误；
B.v﹣t图像中，图像斜率的绝对值表示加速度大小，A、B两物体运动加速度分别为aA、aB，
根据图像有，
解得：aA：aB＝2：1
由牛顿第二定律得：fA＝mAaA，fB＝mBaB
联立解得：fA：fB＝4：1
故B错误；
C.根据功的定义得：WfA＝﹣fAxA，WfB＝﹣fBxB
联立解得：WfA：WfB＝2：1
故C正确；
D.根据功率公式得t＝0时刻，PA＝fAv0，PB＝fBv0
解得PA：PB＝4：1
故D错误。
故选：C。
某列车的总质量m＝5×105kg，列车以额定功率P＝3×106W在平直轨道上行驶，轨道对列车的阻力是车重的，取重力加速度大小g＝10m/s2，求：
（1）列车匀速行驶时的速度大小v；
（2）当列车的速度大小v′＝72km/h时，列车的加速度大小a。
【解答】解：（1）列车以额定功率匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等，有
根据P＝Fv
解得v＝60m/s
（2）列车的速度大小v′＝72km/h＝20m/s时，列车的牵引力大小
根据牛顿第二定律有F′﹣kmg＝ma
联立解得a＝0.2m/s2
答：（1）列车匀速行驶时的速度大小等于60m/s；
（2）列车的加速度大小等于0.2m/s2。
完全相同的小球a、b、c距地面高度相同，现将a向下抛出，将b与水平成45°向下抛出，c沿与水平成45°角的斜面运动，如图。三者初速度大小相同，运动过程中均不计阻力。a、b、c刚要落地时重力的功率分别为Pa、Pb、Pc，则（　　）
A．Pa＞Pb＞Pc B．Pa＞Pb＝Pc C．Pa＝Pb＝Pc D．Pa＝Pb＞Pc
【解答】解：a球竖直下抛，b球斜向下抛出，c球沿斜面运动，初速度大小相等，只有重力做功，根据动能定理可知，末速度大小相等。
三球落地时速度方向不同，将三球的末速度分解可知，a球的竖直分速度vy最大，c球最小，根据P＝mgvy可知，Pa＞Pb＞Pc，故A正确，BCD错误。
故选：A。
如图所示是一种台阶式的自动扶梯，一人站在水平台阶上，随着扶梯一起以速度v斜向下做匀速运动，则一段时间内（　　）
A．摩擦力对人做正功 B．摩擦力对人做负功
C．支持力对人不做功 D．支持力对人做负功
【解答】解：AB．人随着扶梯一起以速度v斜向下做匀速运动，水平方向人不受静摩擦力，人受到的支持力与重力等大反向（即支持力竖直向上），所以摩擦力对人不做功，故AB错误；
CD．由于人受到的支持力竖直向上，其方向与人的位移方向成钝角，根据恒力做功公式W＝Flcosθ
可知支持力对人做负功，故C错误，D正确。
故选：D。
一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v﹣t图像如图所示。已知汽车的质量为m＝2×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的，g取10m/s2，则（　　）
A．汽车在前5s内的阻力为200N
B．汽车在前5s内的牵引力为4×103N
C．汽车的额定功率为40kW
D．汽车的最大速度为30m/s
【解答】解：A．汽车受到地面的阻力为车重的，可知汽车受到的阻力为，故A错误；
B．由v﹣t图像可知前5s内的加速度大小为，前5s内对汽车受力分析由牛顿第二定律有F﹣f＝ma，联立解得汽车在前5s内的牵引力为F＝6000N，故B错误；
C．5s末达到额定功率，由瞬时功率表达式P＝Fv1可知汽车的额定功率为P＝60kW，故C错误；
D．汽车达到最大速度时牵引力为F′＝f＝2000N，由瞬时功率表达式P＝F′vm可知汽车的最大速度为vm＝30m/s，故D正确。
故选：D。
某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为F＝kh+F0（k，F0已知），石头沿竖直方向做直线运动，当h＝h0时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（　　）
A．F0h0 B．kF0h0
C． D．（kh0+F0）h0
【解答】解：根据题意可知，阻力F＝kh+F0随深度h线性变化，利用平均力法可得平均力
则根据功的计算公式有，，故C正确，ABD错误；
故选：C。
中国杂技“爬杆”屡获国际大奖，某次表演中，杂技演员双手紧握固定在地面上的竹竿匀速攀升和匀速下滑时，所受的摩擦力分别是Ff1和Ff2，已知Ff1是静摩擦力，Ff2是滑动摩擦力，则下列说法中正确的是（　　）
A．Ff1对杂技演员做了正功
B．Ff1对杂技演员做了负功
C．Ff2对杂技演员做了正功
D．Ff2对杂技演员做了负功
【解答】解：AB、杂技演员双手紧握竹竿匀速攀升时，手与竹竿之间存在静摩擦力，根据平衡条件得，杂技演员所受的静摩擦力Ff1方向沿竹竿向上，Ff1对杂技演员不做功，因为静摩擦力作用点的位移等于0，故AB错误；
CD、杂技演员匀加速下滑时，杂技演员所受的滑动摩擦力Ff2方向沿竹竿向上，Ff2向上与杂技演员的运动方向相反，所以 Ff2对杂技演员做了负功，故D正确，C错误。
故选：D。
如图所示，在距地面同一高度处将三个相同的小球以相同的速率分别沿竖直向上、竖直向下、水平向右抛出，且小球落地后不再运动。运动过程中重力做功分别为Wa、Wb、Wc，运动过程中重力的平均功率分别为、、，落地时的瞬时速度大小分别为va、vb、vc，落地时重力做功的瞬时功率分别为Pa、Pb、Pc。则下列说法错误的是（　　）
A．Wa＝Wb＝Wc B．
C．va＝vb＝vc D．Pa＝Pb＝Pc
【解答】解：A、根据功的公式有，重力做功W＝mgh
三个小球质量相同，初末位置高度差相同，Wa＝Wb＝Wc，故A正确；
B、根据功率和功和时间的关系，运动时间ta＞tc＞tb
根据
W相同，时间越长平均功率越小，则，故B正确；
C、小球运动过程只有重力做功，机械能守恒，初动能相同，重力势能变化相同，所以落地时动能相同，速度大小va＝vb＝vc，故C正确；
D、瞬时功率P＝mgvy
落地时a、b竖直分速度大于c的竖直分速度，故Pa＝Pb＞Pc，故D错误。
本题选错误的，故选：D。
为了节省能源，现代电梯系统都会加装配重块，如图所示为加装配重的电梯系统及未加装配重的电梯系统。已知在某次对比测试中，两系统的电梯质量相等，均匀速上行相同高度h，配重块质量为m，重力加速度为g，忽略缆绳与滑轮间的摩擦，则下列说法正确的是（　　）
A．加装配重块的电梯系统对电梯拉力更大
B．重力对加装配重块的电梯系统做功更多
C．上行速度相等时，两种电梯系统电机的功率相等
D．加装配重块的电梯系统比未加装的节省能量mgh
【解答】解：A．设电梯的质量为M，未加装配重块时电机对电梯的拉力为Mg，加装配重块的电梯系统对电梯拉力仍为Mg，二者相等，故A错误；
B．两种情况下重力对电梯系统做功一样多，故B错误；
C．由于电机对电梯的拉力大小不等，上行速度相等时，根据P＝Fv可知，两种电梯系统电机的功率不等，故C错误；
D．根据功能关系可知，加装配重块的电梯系统比未加装的节省能量mgh，故D正确。
故选：D。
如图，小孩与雪橇的总质量为m，大人用与水平面成θ角的恒定拉力F将雪橇沿水平地面向右匀速移动了一段距离L。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，则关于各力对雪橇做功的说法正确的是（　　）
A．拉力对雪橇做功为FL
B．滑动摩擦力对雪橇做功为﹣μmgL
C．支持力对雪橇做功为（mg﹣Fsinθ）L
D．雪橇受到的各力对雪橇做的总功为零
【解答】解：A、根据题意可知，拉力对雪橇做功为WF＝FLcosθ
故A错误；
B、根据题意可知，滑动摩擦力对雪橇做功为Wf＝﹣fL＝﹣μ（mg﹣Fsinθ）L
故B错误；
C、由于支持力与运动方向垂直，故支持力对雪橇做功为0，故C错误；
D、由于雪橇沿水平地面向右匀速移动，可知雪橇的动能保持不变，根据动能定理可知雪橇受到的各力对雪橇做的总功为零，故D正确。
故选：D。
如图甲所示，一汽车保持恒定功率经过AB、BC两段不同路面，该过程其v﹣t图像如图乙所示，则汽车（　　）
A．在AB段所受阻力逐渐增大
B．在AB段所受阻力逐渐减小
C．在BC段牵引力逐渐增大
D．在BC段牵引力逐渐减小
【解答】解：AB、由题图可知汽车在AB段做匀速直线运动，则有：F1＝f，而，所以，由此可知，f不变，故AB错误；
CD、由题图在BC段，由v﹣t图像可知，汽车做加速度减小的减速运动，由P＝F2v′可得：，所以，随着速度v′减小，则牵引力F2增大，故C正确，D错误。
故选：C。
如图所示是利用无人机送货到家的情景，下列情况中重力对货物做正功的是（　　）
A．无人机吊着货物悬停在空中
B．无人机吊着货物水平匀速运动
C．无人机吊着货物竖直匀速上升
D．无人机吊着货物竖直匀速下降
【解答】解：A、无人机吊着货物悬停在空中时，重力的方向上没有位移，故重力不做功，故A错误；
B、无人机吊着货物水平匀速运动时，重力的方向上没有位移，故重力不做功，故B错误；
C、无人机吊着货物竖直匀速上升时，重力向下，位移向上，二者方向相反，重力做负功，故C错误；
D、无人机吊着货物竖直匀速下降时，重力和位移的方向均向下，故重力做正功，故D正确。
故选：D。
如图所示，滑草场由两段宽度相同但坡度不同的斜面AB和BC连接而成，一名滑草的游客与两段斜面间的动摩擦因数相同。从A滑到B然后到C，在沿两段斜面下滑过程中克服摩擦力做的功分别为WA和WB，则（　　）
A．WA＞WB B．WA＝WB C．WA＜WB D．无法确定
【解答】解：设某一斜面的倾角为θ，斜面长度为s，游客滑动摩擦力大小为μmgcosθ，则游客在斜面上克服摩擦力所做的功为W＝μmgscosθ；
两段斜面上scosθ等于斜面在水平地面上的投影长度，由图可知两段斜面上的s cosθ均等于d，所以在两段斜面上下滑的程中克服摩擦力做功相等，故B正确，ACD错误。
故选：B。
如图所示，在光滑的水平面上，物体A放在长为l的木板B的右端，现用水平力F向右拉木板。若物体A相对木板B滑动，当B前进x时，物体A从木板B左端滑下。已知A、B间的滑动摩擦力大小为Ff，滑动摩擦力分别对A、B做功为WfA1、WfB1，若物体A相对木板B没有滑动，已知当B前进x时，物体A受到的静摩擦力大小为Ff′，静摩擦力分别对A、B做功为WfA2、WfB2，则（　　）
A．WfA1＝Ff（x﹣l）、WfB1＝Ffx
B．WfA2＝Ff′x、WfB2＝Ff′x
C．这一对滑动摩擦力做功的总和为﹣Ffl
D．这一对静摩擦力做功的总和为﹣Ff′l
【解答】解：AB、若AB发生了相对滑动，滑动摩擦力对A做的功为WfA1＝Ff（x﹣l）
对B做的功为WfB1＝﹣Ffx
若AB相对静止，根据二者所受静摩擦力的方向与运动情况可知，对A而言，摩擦力做正功有WfA2＝Ff'x
对B而言摩擦力做负功，有WfB2＝﹣Ff'x
故AB错误；
C、这两个滑动摩擦力做功的总和为WfA1+WfB1＝﹣Ffl，故C正确；
D、这两个摩擦力做功的总和为0，故D错误。
故选：C。
起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其图像如图所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图像可能是下列选项图中的哪一个（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由v﹣t图像可知在0～t1时间内重物向上做匀加速直线运动，设加速度大小为a1，根据牛顿第二定律得F﹣mg ＝ma1，可得F＝mg+ma1，此时拉力的功率为P1＝Fv＝（mg+ma1） a1t1，可知此时间段内功率与时间成正比；在t1～t2时间内重物向上做匀速直线运动，拉力为F＝mg，则拉力的功率为P2＝Fv＝mgv，可知此时间段内拉力功率不变，根据拉力的大小可知此过程的功率小于t1时刻拉力的功率，在t2～t3时间内重物向上做匀减速直线运动，设加速度大小为a2，根据牛顿第二定律得mg﹣F＝ma2，可得F＝mg﹣ma2，此时间段内拉力的功率为P3＝Fv＝（mg﹣ma2）（v4﹣a2t），则可知P3与t是线性关系，随着t增加，P3减小。t2时刻拉力突然减小，功率突然减小，故B正确，ACD错误。
故选：B。
中欧班列是指运行于中国与欧洲以及“一带一路”共建国家间的集装箱国际联运列车，从开通至今已经完成2万次运输。列车采用内燃加锂电池的混合动力进行驱动，整车最大功率750kW，行驶过程中受到阻力恒定，速度最高为108km/h，已知列车的总质量为5×104kg，列车以最大功率启动，下列说法正确的是（　　）
A．行驶过程中列车受到的阻力为2.0×104N
B．列车以15m/s行驶时的加速度是0.5m/s2
C．列车加速过程中的平均速率是15m/s
D．列车行驶1小时，牵引力对其做功为750kJ
【解答】解：A．行驶过程中受到阻力恒定，速度最高为108km/h＝30m/s，当列车匀速行驶时，所受的牵引力等于阻力，即
P＝fvmax
解得行驶过程中列车受到的阻力为
故A错误；
B．当列车以v1＝15m/s行驶时，对列车由牛顿第二定律
F1﹣f＝ma
其中
P＝F1v1
联立解得，列车以15m/s行驶时的加速度是
a＝0.5m/s2
故B正确；
C．作出列车运动的v﹣t图像，如图所示
由图可知，列车加速过程中的平均速率
故C错误；
D．根据列车以最大功率启动，则
W＝Pt＝750×103×60×60J≠750kJ
故D错误。
故选：B。
如图，人在岸上拉船，某一时刻，轻绳与水平面的夹角为θ，船的速度大小为v，人对绳的拉力大小为F，则以下说法正确的是（　　）
A．人拉绳的速度为vsinθ
B．要使船匀速靠岸，人拉绳的速度应该保持不变
C．人对绳的拉力功率为Fv
D．人对绳的拉力功率为Fvcosθ
【解答】解：AB.将船的速度分解到沿绳和垂直于绳方向如图所示
根据几何知识有人拉绳的速度v人＝vcosθ，要使船匀速靠岸，v不变，由于靠岸过程θ逐渐增大，cosθ逐渐减小，人拉绳的速度逐渐减小，故AB错误；
CD.人拉绳的速度v人＝vcosθ，人对绳的拉力大小为F，人对绳的拉力功率P＝Fv人＝Fvcosθ，故C错误，D正确。
故选：D。
近年来，我国军事科技迅猛发展，国防实力显著提升，各种大型机械投入工作。某次执行作战任务时，“歼﹣15”舰载机需要向海上的某静止目标投弹，如图所示，炸弹在空中运动过程中，忽略空气阻力。
（1）①根据图中信息判断，此刻目标应在飞机的 　 　 。
A.后方
B.正下方
C.前方
②炸弹在空中的运动是 　 　 。
A.匀速运动
B.匀变速运动
C.变加速运动
目前已全面进入主汛期，防汛形势十分严峻，军用船只也积极参加抗洪。
（2）已知该船在静水中的最大速度为5m/s。现让该船渡过某条河，假设河的两岸是平行线，河水流速恒定，河宽d＝100m。船以最短时间渡河，航线与岸的夹角为60°，则 　 　 。
A.渡河时间为20s
B.河水流速为10m/s
C.实际渡河位移为100m
D.调整船头斜向上游，都无法到达正对岸
随着科技的飞速发展，国产汽车的性能正迎来全面突破，在动力、智能化、安全性和环保性等方面均达到国际先进水平。
（3）有一辆质量为m的汽车，发动机额定功率为P，开上一倾角为α的坡路，汽车所受阻力为车重的K倍，那么汽车的最大速度为 　 　 。
A.
B.
C.
D.
【解答】解：（1）①炸弹离开飞机后在空中做平抛运动，到落地时，则落地点一定在投弹点的前方，故C正确，AB错误。
故选：C。
②炸弹离开飞机后只受重力作用，还有水平方向的初速度，所以炸弹在空中做的是匀变速曲线运动，故B正确，AC错误。
故选：B。
（2）A、当船在静水中的速度与河岸垂直时，渡河时间最短，则渡河时间为：ts＝20s，故A正确；
B、船以最短时间渡河，航线与岸的夹角为60°，如图所示：
则河水流速：v水，解得：v水m/s，故B错误；
C、根据几何关系可知，实际渡河位移：x，解得：xm，故C错误；
D、船在静水中的速度大于河水流速，调整船头斜向上游，可以到达正对岸，如图所示，故D错误。
故选：A。
（3）当牵引力等于阻力和重力下滑分力时，汽车达到最大速度，汽车匀速运动时，受力平衡，由于汽车是沿倾斜的路面向上行驶的，对汽车受力分析可知，汽车的牵引力：F＝mgsinθ+kmg
由功率P＝Fv可知，该车行驶的最大速度vm
联立解得vm，故B正确、ACD错误。
故选：B。
故答案为：（1）①C；②B；（3）A；（4）B。
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8.1功和功率
1.理解功的概念，掌握W=Flcosa的适用条件及应用特点。
2.知道功是标量，理解正功、负功的含义，明确合力功与分力功的关系。
3.理解功率的概念，会用极限思想得到瞬时功率的表达式P=Fv。关注生产生活中常见的功、功率问题，掌握功率的估算问题。
4.会分析汽车发动机功率一定时，牵引力与速度之间的关系，并能分析、解释实际生活中的现象。
知识点一：功
1.功的概念
实例 研究对象 示意图 工作（或作用力）的成效
人用了推小车 小车 人推小车的力 小车在推力F的作用下向前移动了距离s
人用力提起一桶水 水桶 人提水桶的力 水桶在拉力F的作用下向上移动了距离h
苹果从树上落下来 苹果 苹果受到的重力 苹果在重力G的作用下向下移动了距离h
【探究发现】通过对表中实例进行分析，可以发现三个实例的共同点是对物体施加了力的作用，并且物体都在力的作用下沿力的方向移动了一段距离。
【归纳总结】如果物体受力且沿受力方向移动一定的距离，就说力对物体做了功。
物理学中的“做功”与日常生活的“做工”不同。“做功”是生产、生活中普遍存在的物理现象，它由严格而明确的含义，偏重于“成效、贡献”；“做工”是指消耗一定体力和脑力的人类活动。
2.做功的两个必要因素
（1）作用在物体上的力；
（2）物体在力的方向上移动的距离。
3.三种不做功的情况
不做功的情况 图示 实例 分析
有距离无力（不劳务工） 某同学踢足球，足球离开脚后在地面上滚动的过程中，该同学对足球没有力的作用，不做功 足球由于惯性移动一段距离，球滚动时踢足球的力不再对足球做功
有力无距离（劳而无功） 同学搬石头，但没有搬动，她对石头没有做功 有力作用在物体上，但物体没有移动，即物体没有在力的方向上移动距离，力对物体没有做功
力与移动方向垂直（垂直无功） 滑板在水平方向上移动了一段距离，但在人的拉力方向上没有移动距离，拉力没有做功 物体受到了力的作图，也移动了一段距离，但移动的方向与力的方向垂直，即物体在力的方向上没有移动距离，则这个力对物体没有做功
力对物体做功时，物体的移动方向并非一定要与力的方向完全一致，移动的方向和力的方向有夹角（夹角不等于90°）时力也对物体做功。如图中，拉力F对物体做功。
知识点二：功的计算
1.公式：W＝Flcosα。
(1)α是力与位移之间的夹角，l为物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
(3)功是标量，没有方向，但有正负。
2.单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是 J。1 J＝1 N×1 m＝1 N·m。
3.功是标量，没有方向、但是有正负，正负表示能量转化的方向，表示物体是输入了能量还是输出了能量。
4.在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J（1J=1N m）。
5.物理意义：功是能量转化的量度。
（1）研究做"功"时的关注点是力，不是物体，物体可能受多个力作用，每个力做的功单独计算，功是标量，遵循代数运算法则。
（2）在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。1J等于1N的力使物体在力的方向上发生1m位移所做的功，所以1J=1 N×1 m=1 N·m。
（3）功是过程量，是力对位移的积累效应。
（4）W=Flcosa只适用于计算恒力做的功，式中是力F作用点的位移，力F作用点的位移与物体的位移不一定相等。
（5）在公式W=Flcosa中，既可认为是力F乘以力的方向上的位移lcosa，也可以认为是位移乘以位移方向上的力Fcos a。
（6）求功时物体的位移必须是相对于某一惯性参考系，一般取地面为参考系。
（7）F与l必须具备同时性，即l必须是力F作用过程中物体的位移。如果力F消失后物体继续运动，力所做的功只跟力F作用的那段位移有关，跟其余的位移无关
知识点三：正功和负功
1.公式W=Flcosa中，力F和位移l只表示大小，但cosa可能为负值，也可能为正值，所以功W有正、负之分。下表为力F与位移l的夹角a不同时，力F做功的几种情况。
夹角a的范围 图示 做功情况 物理意义
a W>0，即力F对物体做正功 力是动力
aπ W<0，即力F对物体做负功 力是阻力
W=0，即力F对物体不做功 力既不是动力也不是阻力
（1）力做功的正、负判断：若物体做直线运动，一般依据力与位移的夹角来判断。
（2）曲线运动中功的正、负判断若物体做曲线运动，一般依据F与v的方向的夹角来判断。例如圆周运动中向心力便不做功。
2.总功的计算方法
(1)先由W＝Flcos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3、…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…。
(2)先由力的合成方法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合lcos α计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。
滑动摩擦力、空气阻力、液体阻力等一类力，它们的特点是力的方向与相对运动方向相反，在曲线运动或往返运动时，这类力做的功等于力和路程(不是位移)的乘积。例如以一定速度竖直上抛一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为人则从抛出至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功：上升阶段，空气阻力做的功W1=-fh;下落阶段，空气阻力做的功W2=-fh;整个过程中空气阻力做的功W=W1+W2=-2fh。
知识点四：功率
1. 功率
（1）定义：做功的快慢用功率表示。如果在时间t内，力F做的功为W，则功与完成这些功所用的时间之比叫作功率
（2）定义式：
（3）单位及符号：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W。1W=1J/s，瓦特这个单位比较小，技术上常用千瓦(kW)作为功率单位，1kW=1000W。
（4）是功率的定义式，不仅适用于恒力做功时功率的计算，也适用于变力做功时功率的计算。功率反映物体做功的快慢程度，与做功多少无关，功率越大，机械做功就越快。
2. P=Fv的推导
如果物体沿位移方向受的力是F，从计时开始到时刻这段时间内，发生的位移是l，则力F在这段时间内所做的功为W=Fl，因此有，由于是物体在时间t内的平均速度v，于是可以写成P=Fv。
结论:一个沿着位移方向的力对物体做功的功率，等于这个力与物体速度的乘积。
P=Fv中的速度v是物体在恒力F作用下的平均速度，所以这里的功率P是指从计时开始到时刻t的平均功率。如果时间间隔非常小，上述平均速度就可以看作瞬时速度。
3. 对P=Fv的理解
P=Fv仅适用于F和v同向的情况，若F和v的夹角为a，则，a是力与速度间的夹角。该式有以下两种用法:
①求某一时刻的瞬时功率：这时F是该时刻的作用力大小，v为瞬时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率。②求某段时间内的平均功率：当v为某段位移内的平均速度时，则这段位移内F必须为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。
4.平均功率与瞬时功率
项目 平均功率 瞬时功率
公式 P＝或P＝Fcos α P＝Fvcos α，式中v表示某一时刻的瞬时速度
物理意义 只能粗略地描述物体做功的快慢 能精确地描述物体做功的快慢
注意 ①求解功率时，一定要分析清楚所求功率是瞬时功率还是平均功率 ②应用P＝Fcos α计算平均功率时，力F是恒力，为对应时间t内的平均速度 ③求平均功率时一定要说明是哪个力在哪段时间内的平均功率
知识点四：机车启动的两种模式
1、两种机车启动方式的规律
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P t图像 和v t图像
OA 段 过程分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB 段 过程分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 无 F＝F阻 a＝0 以vm＝做匀速运动
2、机车启动a-1/v和F-1/v图像问题
恒定功率启动a-1/v图像 恒定加速度启动F-1/v图像
由F－Ff＝ma，P＝Fv可得：a＝·－， ①斜率k＝ ②纵截距b=－ ③横截距c== ①AB段牵引力不变，做匀加速直线运动； ②BC图线的斜率k表示功率P，知BC段功率不变，牵引力减小，加速度减小，做加速度减小的加速运动； ③B点横坐标对应匀加速运动的末速度为1/v1； ④C点横坐标对应运动的最大速度1/v2，此时牵引力等于阻力。
如图所示，物体在力F的作用下水平发生了一段位移l。设这三种情形下力F和位移l的大小都是一样的。下列说法正确的是（　　）
A．甲图中，力F对物体做负功
B．乙图中，力F对物体做功为﹣Flcos30°
C．乙图和丙图中，力F对物体做功相同
D．甲图和乙图中，力F对物体做功相同
某科技小组利用弹性绳网模拟火箭回收。如图所示，“口”字形的绳网四个角各用一根弹性绳索拉住，绳索另一端固定在立柱上。将火箭模型从某高处释放，在接触绳网后下降直至最低点的过程中，下列说法中正确的是（　　）
A．火箭模型接触绳网立即减速
B．火箭模型在最低点所受合力为0
C．火箭模型接触绳网后先失重后超重
D．绳网对火箭模型先做正功后做负功
2023年哈尔滨冰雪运动火遍全国，家长们纷纷带着小孩前往体验。如图所示，一儿童坐在雪橇上，雪橇在与竖直方向成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l。此过程中拉力F对雪橇做的功为（　　）
A． B． C．Flsinθ D．Flcosθ
如图甲所示，质量为1kg的水鸟一头扎入水中捕鱼，假设水鸟的俯冲是自由落体运动，进入水中后是匀减速直线运动，其v﹣t图像如图乙所示，自由落体运动的时间为t1，整个过程的运动时间为，最大速度为vm＝18m/s，重力加速度g取10m/s2，则时间内水的阻力对水鸟做功的多少（　　）
A．16.2J B．162J C．270J D．432J
A、B两物体的质量之比为mA：mB＝2：1，由于摩擦力的作用，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其v﹣t图像如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．物体A、B的位移大小之比为xA：xB＝1：1
B．物体A、B受到的摩擦力大小之比为fA：fB＝2：1
C．物体A、B受到的摩擦力做的功之比为WA：WB＝2：1
D．t＝0时刻，物体A、B受到的摩擦力的功率之比为PA：PB＝2：1
某列车的总质量m＝5×105kg，列车以额定功率P＝3×106W在平直轨道上行驶，轨道对列车的阻力是车重的，取重力加速度大小g＝10m/s2，求：
（1）列车匀速行驶时的速度大小v；
（2）当列车的速度大小v′＝72km/h时，列车的加速度大小a。
完全相同的小球a、b、c距地面高度相同，现将a向下抛出，将b与水平成45°向下抛出，c沿与水平成45°角的斜面运动，如图。三者初速度大小相同，运动过程中均不计阻力。a、b、c刚要落地时重力的功率分别为Pa、Pb、Pc，则（　　）
A．Pa＞Pb＞Pc B．Pa＞Pb＝Pc C．Pa＝Pb＝Pc D．Pa＝Pb＞Pc
如图所示是一种台阶式的自动扶梯，一人站在水平台阶上，随着扶梯一起以速度v斜向下做匀速运动，则一段时间内（　　）
A．摩擦力对人做正功 B．摩擦力对人做负功
C．支持力对人不做功 D．支持力对人做负功
一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5s内做匀加速直线运动，5s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v﹣t图像如图所示。已知汽车的质量为m＝2×103kg，汽车受到地面的阻力为车重的，g取10m/s2，则（　　）
A．汽车在前5s内的阻力为200N
B．汽车在前5s内的牵引力为4×103N
C．汽车的额定功率为40kW
D．汽车的最大速度为30m/s
某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为F＝kh+F0（k，F0已知），石头沿竖直方向做直线运动，当h＝h0时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为（　　）
A．F0h0 B．kF0h0
C． D．（kh0+F0）h0
中国杂技“爬杆”屡获国际大奖，某次表演中，杂技演员双手紧握固定在地面上的竹竿匀速攀升和匀速下滑时，所受的摩擦力分别是Ff1和Ff2，已知Ff1是静摩擦力，Ff2是滑动摩擦力，则下列说法中正确的是（　　）
A．Ff1对杂技演员做了正功
B．Ff1对杂技演员做了负功
C．Ff2对杂技演员做了正功
D．Ff2对杂技演员做了负功
如图所示，在距地面同一高度处将三个相同的小球以相同的速率分别沿竖直向上、竖直向下、水平向右抛出，且小球落地后不再运动。运动过程中重力做功分别为Wa、Wb、Wc，运动过程中重力的平均功率分别为、、，落地时的瞬时速度大小分别为va、vb、vc，落地时重力做功的瞬时功率分别为Pa、Pb、Pc。则下列说法错误的是（　　）
A．Wa＝Wb＝Wc B．
C．va＝vb＝vc D．Pa＝Pb＝Pc
为了节省能源，现代电梯系统都会加装配重块，如图所示为加装配重的电梯系统及未加装配重的电梯系统。已知在某次对比测试中，两系统的电梯质量相等，均匀速上行相同高度h，配重块质量为m，重力加速度为g，忽略缆绳与滑轮间的摩擦，则下列说法正确的是（　　）
A．加装配重块的电梯系统对电梯拉力更大
B．重力对加装配重块的电梯系统做功更多
C．上行速度相等时，两种电梯系统电机的功率相等
D．加装配重块的电梯系统比未加装的节省能量mgh
如图，小孩与雪橇的总质量为m，大人用与水平面成θ角的恒定拉力F将雪橇沿水平地面向右匀速移动了一段距离L。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，则关于各力对雪橇做功的说法正确的是（　　）
A．拉力对雪橇做功为FL
B．滑动摩擦力对雪橇做功为﹣μmgL
C．支持力对雪橇做功为（mg﹣Fsinθ）L
D．雪橇受到的各力对雪橇做的总功为零
如图甲所示，一汽车保持恒定功率经过AB、BC两段不同路面，该过程其v﹣t图像如图乙所示，则汽车（　　）
A．在AB段所受阻力逐渐增大
B．在AB段所受阻力逐渐减小
C．在BC段牵引力逐渐增大
D．在BC段牵引力逐渐减小
如图所示是利用无人机送货到家的情景，下列情况中重力对货物做正功的是（　　）
A．无人机吊着货物悬停在空中
B．无人机吊着货物水平匀速运动
C．无人机吊着货物竖直匀速上升
D．无人机吊着货物竖直匀速下降
如图所示，滑草场由两段宽度相同但坡度不同的斜面AB和BC连接而成，一名滑草的游客与两段斜面间的动摩擦因数相同。从A滑到B然后到C，在沿两段斜面下滑过程中克服摩擦力做的功分别为WA和WB，则（　　）
A．WA＞WB B．WA＝WB C．WA＜WB D．无法确定
如图所示，在光滑的水平面上，物体A放在长为l的木板B的右端，现用水平力F向右拉木板。若物体A相对木板B滑动，当B前进x时，物体A从木板B左端滑下。已知A、B间的滑动摩擦力大小为Ff，滑动摩擦力分别对A、B做功为WfA1、WfB1，若物体A相对木板B没有滑动，已知当B前进x时，物体A受到的静摩擦力大小为Ff′，静摩擦力分别对A、B做功为WfA2、WfB2，则（　　）
A．WfA1＝Ff（x﹣l）、WfB1＝Ffx
B．WfA2＝Ff′x、WfB2＝Ff′x
C．这一对滑动摩擦力做功的总和为﹣Ffl
D．这一对静摩擦力做功的总和为﹣Ff′l
起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其图像如图所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图像可能是下列选项图中的哪一个（　　）
A． B．
C． D．
中欧班列是指运行于中国与欧洲以及“一带一路”共建国家间的集装箱国际联运列车，从开通至今已经完成2万次运输。列车采用内燃加锂电池的混合动力进行驱动，整车最大功率750kW，行驶过程中受到阻力恒定，速度最高为108km/h，已知列车的总质量为5×104kg，列车以最大功率启动，下列说法正确的是（　　）
A．行驶过程中列车受到的阻力为2.0×104N
B．列车以15m/s行驶时的加速度是0.5m/s2
C．列车加速过程中的平均速率是15m/s
D．列车行驶1小时，牵引力对其做功为750kJ
如图，人在岸上拉船，某一时刻，轻绳与水平面的夹角为θ，船的速度大小为v，人对绳的拉力大小为F，则以下说法正确的是（　　）
A．人拉绳的速度为vsinθ
B．要使船匀速靠岸，人拉绳的速度应该保持不变
C．人对绳的拉力功率为Fv
D．人对绳的拉力功率为Fvcosθ
近年来，我国军事科技迅猛发展，国防实力显著提升，各种大型机械投入工作。某次执行作战任务时，“歼﹣15”舰载机需要向海上的某静止目标投弹，如图所示，炸弹在空中运动过程中，忽略空气阻力。
（1）①根据图中信息判断，此刻目标应在飞机的 　 　 。
A.后方
B.正下方
C.前方
②炸弹在空中的运动是 　 　 。
A.匀速运动
B.匀变速运动
C.变加速运动
目前已全面进入主汛期，防汛形势十分严峻，军用船只也积极参加抗洪。
（2）已知该船在静水中的最大速度为5m/s。现让该船渡过某条河，假设河的两岸是平行线，河水流速恒定，河宽d＝100m。船以最短时间渡河，航线与岸的夹角为60°，则 　 　 。
A.渡河时间为20s
B.河水流速为10m/s
C.实际渡河位移为100m
D.调整船头斜向上游，都无法到达正对岸
随着科技的飞速发展，国产汽车的性能正迎来全面突破，在动力、智能化、安全性和环保性等方面均达到国际先进水平。
（3）有一辆质量为m的汽车，发动机额定功率为P，开上一倾角为α的坡路，汽车所受阻力为车重的K倍，那么汽车的最大速度为 　 　 。
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