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2.5 逆命题和逆定理
第 2 章 特殊三角形
数学浙教版八年级上册
1.理解逆命题和逆定理的概念，能准确写出命题的逆命题，判断逆命题真假.
2.掌握定理与逆定理的区别与联系，会识别互逆定理，能探索简单定理的逆定理.
3.通过实例探究、合作交流，培养逻辑推理能力和逆向思维，感受数学知识的严谨性与关联性.
重点
难点
什么是命题？命题由什么组成？
对某件事情作出判断的句子叫做命题.
命题由条件、结论组成.
命题有真有假，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题.
所有的命题都是真命题吗？
假命题
真命题
活动一：探究逆命题和逆定理的定义
考虑两个命题：“等腰三角形是轴对称图形.”“轴对称图形是等腰三角形.”这两个命题有什么不同 有什么联系 它们都是真命题吗
01
等腰三角形是轴对称图形
条件：三角形是等腰三角形
结论：它是轴对称图形
轴对称图形是等腰三角形
条件：三角形是轴对称图形
结论：这个三角形是等腰三角形
联系：这两个命题的条件和结论是相反的.
活动一：探究逆命题和逆定理的定义
填表并思考：命题(1)和命题(2)，命题(3)和命题(4)的条件和结论有什么关系？
命题 条件 结论 命题真假
(1)两直线平行，同位角相等
(2)同位角相等，两直线平行
(3)如果a＝b，那么a2＝b2
(4)如果a2＝b2，那么a＝b
02
假
a＝b
a2＝b2
真
a2＝b2
a＝b
真
两直线平行
同位角相等
真
同位角相等
两直线平行
(1)的条件是(2)的结论，(2)的结论是(1)的条件；
(3)的条件是(4)的结论，(4)的结论是(3)的条件 .
活动一：探究逆命题和逆定理的定义
对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
互逆命题
互逆命题
活动一：探究逆命题和逆定理的定义
由表中的原命题与逆命题，你有什么发现？
03
每个命题都有它的逆命题，原命题正确，逆命题不一定正确.
原命题错误，逆命题不一定错误.
两个命题为互逆命题，它们的真假性没有关系.
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理.
活动一：探究逆命题和逆定理的定义
1.说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假.
(1)长方形有两条对称轴；(2)正数大于零.
2.说出两对互逆的定理.
(1)逆命题：有两条对称轴的图形是长方形.
假命题
(2)逆命题：大于零的数是正数.
真命题
(1)同旁内角互补，两直线平行. 两直线平行，同旁内角互补.
(2)等腰三角形的两个底角相等. 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
活动二：探究线段垂直平分线性质定理的逆定理
线段的垂直平分线有什么性质？
04
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
请说出它的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.
05
已知：如图，AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
这个定理的逆命题是：
到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
P
A
B
活动二：探究线段垂直平分线性质定理的逆定理
要证明点P在线段AB的垂直平分线上，可以过点P作AB的垂线，然后证明它恰好平分线段AB.
证明：(1)当点P在线段AB上时，结论显然成立.
(2)当点P不在线段AB上时，如图所示，
作PC⊥AB于点O.
由PA＝PB，PO⊥AB，可得OA＝OB，
故PC是AB的垂直平分线.
所以点P 在线段AB的垂直平分线上.
P
A
B
O
C
等腰三角形三线合一性质
活动二：探究线段垂直平分线性质定理的逆定理
线段垂直平分线性质定理的逆命题是真命题.
几何语言：
因为PA=PB
所以点P在AB的垂直平分线上.
线段垂直平分线性质定理的逆定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
A
B
P
教材
例题
写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由.
解：逆命题是：“ 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等.”这个逆命题是假命题. 举反例如下：
如图，在△ABC中，AB≠AC. AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的面积相等，但它们不全等.
所以这个逆命题是假命题.
B
△ABD和△ACD等底同高所以面积相等，又因为AB≠AC，不满足全等三角形判定条件所以不全等.
说明一个命题是真命题需经证明，而说明一个命题是假命题只需举一个反例.
D
C
A
经典例题
写出命题“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角的角平分线所夹的锐角是45°”的逆命题，并证明这个命题是真命题．
解：逆命题是：如果一个三角形的两个角的角平分线所夹的锐角是45°，那么这个三角形是直角三角形．
已知：如图，△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，交AC于E，AD是∠CAB的角平分线，交BC于D，BE和AD相交于O点，且∠EOA=45°．
求证：△ABC是直角三角形.
D
B
A
C
E
O
经典例题
D
B
A
C
E
O
教材
练习
1.写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假.
(1)同位角相等；
(2)如果|a|=|b|，那么a=b.
假命题
解：(1)逆命题：相等的两个角是同位角.
假命题
(2)逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|
真命题
假命题
教材
练习
2.下列定理中，哪些有逆定理 如果有，说出它的逆定理.
(1)等腰三角形的两个底角相等；
(2)内错角相等，两直线平行；
(3)等边三角形的三个角都是60°；
(4)对顶角相等.
解：(1)逆定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(2)逆定理：两直线平行，内错角相等.
(3)逆定理：三个角都是60°的三角形是等边三角形
有
有
有
没有
3.下列判断是正确的是（　　 ）
A．真命题的逆命题是假命题 B．假命题的逆命题是真命题
C．定理逆命题的逆命题是真命题 D．真命题都是定理
A、错误，真命题的逆命题有可能是真命题，也有可能是假命题
B、错误，假命题的逆命题有可能是真命题，也有可能是假命题
C、正确，定理逆命题的逆命题是这个定理
D、错误，经过证明正确的命题叫定理
C
4.下列命题中，逆命题不正确的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．等腰三角形两腰上的高线长相等
C．全等三角形对应角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
A的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确；
B的逆命题是如果一个三角形有两条高线相等，那么这个三角形是等腰三角形，正确；
C的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，错误；
D的逆命题是到两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确.
C
5.已知命题“如果a=b，那么a2=b2．”
(1)写出此命题的条件和结论；
(2)写出此命题的逆命题；
(3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明．
解：(1)条件：a=b； 结论：a2=b2
(2)逆命题：如果a2=b2，那么a=b
(3)此命题的逆命题是假命题，例如：当a=2，b=-2时，22=(-2)2，但是2≠-2
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分 ABC，CE平分 ACB.
求证：BD=CE.
6.求证：等腰三角形两底角的平分线相等.根据条件和结论，结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”，并进行证明.
先根据命题写出已知和求证，再利用全等三角形的判定和性质进行证明.
7.求证：不等边三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等．
(要求：根据命题，画出图形，再写出已知、求证，完成证明).
证明：分别过B点和C点作BE⊥AD于E，
CF⊥AD于F ，所以∠BED=∠CFD=90°
因为AD是不等边△ABC的中线
所以BD=CD，又因为∠BDE=∠CDF(对顶角相等)
所以△BDE≌△CDF（AAS）
所以BE=CF ， 所以B点和C点到AD的距离相等.
D
E
F
已知：如图，AD是不等边三角形ABC的中线.
求证：点B和点E到AD的距离相等.
逆命题
逆定理
关键点：
逆命题的真假与原命题无关.
(原命题为真，逆命题可能为假，反之亦然）.
将原命题的条件和结论互换，得到的新命题称为逆命题.
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理.
逆命题和逆定理
线段垂直平分线性质定理的逆定理
实践作业：生活命题收集
目标：观察生活，提炼数学命题(如交通灯规则、购物满减)，转化为数学命题后写逆命题，结合实际判断真假，分析生活合理性.
例如：交通规则：“红灯停，绿灯行” —— 数学命题“若信号灯是红灯，则车辆停止；若信号灯是绿灯，则车辆通行”，写出逆命题“若车辆停止，则信号灯是红灯；若车辆通行，则信号灯是绿灯”.分析生活中是否成立(结合实际，存在黄灯等情况，判断逆命题真假).
成果：记最3-5个生活案例，完成命题转化、逆命题构造及真假分析，形成文字报告，说明数学与生活的关联.

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