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三角形中有哪两类特殊的三角形？
本章将学习图形的轴对称，等腰三角形、直角三角形的性质和判定，勾股定理，逆命题和逆定理，以及它们的一些简单应用.
直角三角形和等腰三角形
等腰三角形和直角三角形这两种特殊的三角形有许多有趣的性质，这些性质使得它们在建筑设计、工业生产等领域都有广泛的应用．
2.1 图形的轴对称
第 2 章 特殊三角形
数学浙教版八年级上册
1.能准确阐述轴对称图形、对称轴、对称点、两个图形成轴对称的概念，清晰区分轴对称图形与两个图形成轴对；
2.熟练掌握轴对称图形的性质，会作一个简单图形关于某条直线的轴对称图形，能在实际问题中运用轴对称性质找最短路径等；
3.经历“猜想 - 验证 - 归纳” 的探究过程，感悟数学研究的一般方法，培养自主探究与合作交流能力；
4.感受轴对称在生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣，增强审美意识.
难点
重点
情境导入
我们生活在一个充满对称的世界中：自然界的许多动植物按对称形生长， 许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，我国的方块字中有些也具有对称性，……对称给我们带来很多美的感受！
北京故宫建成于1420年，整个宫殿建筑布局沿中轴线向东西两侧展开，呈现轴对称的结构. 由于轴对称给人以美感，因此被广泛应用于建筑设计上.
活动一：探究轴对称图形的定义
活动一：探究轴对称图形的定义
蓝脸的窦尔敦盗御马
红脸的关公战长沙
黄脸的典韦
白脸的曹操
京剧脸谱，从数学的角度看，看到了什么？
a
b
c
d
沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够相互重合.
01
活动一：探究轴对称图形的定义
轴对称图形的定义：
如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形．
这条直线叫作对称轴.
折叠后重合的点叫作对称点.
A′
B′
C′
对称轴
如图：点A′是点A的对称点；
点B′是点B的对称点；
点C′是点C的对称点．
活动一：探究轴对称图形的定义
下列我们学习的几何图形有哪些是轴对称图形？都有几条对称轴？
图形 等腰 梯形 圆 长方形 正方形 等腰三角形 平行四边形 直角三角形
对称轴数量
1
无数
2
4
1
0
0
02
活动一：探究轴对称图形的定义
1.下列图形是轴对称图形吗？你是怎么判别的？
对于以上各轴对称图形，你能找出对称轴吗？有哪些方法？
①②④是轴对称图形.
判别方法：沿某条直线折叠，直线两旁部分能完全重合.
如图为各图形的对称轴，用对折的方法.
①
②
③
④
活动一：探究轴对称图形的定义
2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC.
（1）四边形ABDC是轴对称图形吗？如果你认为是，说出它的对称轴，哪一个点与点B对称？
（2）连结BC，交AD于E. 把四边形ABDC沿AD对折，BE与CE重合吗？∠AEB与∠AEC呢？由此你得到什么结论？
轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段.
E
A
B
C
D
是，对称轴是线段AD所在直线，C与点B对称
BE和CE重合， ∠AEB与∠AEC重合.
m
活动二：探究轴对称的定义
如图，已知△ABC和直线m. 以直线m为对称轴，求作以点A，B，C的对称点A′，B′，C′ 为顶点的△A′B′C′ .
03
如图,根据“对称轴垂直平分连结两个对称点的线段”的性质，直线m垂直平分线段AA'，所以只要过点A作直线m的垂线段AP，延长AP至A'，使A'P=AP，则A'便是点A的对称点.类似地,可以作出点B，C的对称点B′，C′.
m
活动二：探究轴对称的定义
如图，已知△ABC和直线m，以直线m为对称轴，求作以点A，B，C的对称点A′，B′，C′ 为顶点的△A′B′C′ .
03
解：如图：
1.作AP m，延长AP至A'，使A'P=AP.
2.按上述方法作出点B的对称点B'，
点C的对称点C'.
3.依次连结A'B'，B'C'，C'A'.
△A'B'C'就是所求作的三角形.
┑
┑
┑
m
P
活动二：探究轴对称的定义
┑
┑
┑
m
04
如果把右图沿直线m 折叠，两个三角形会重合吗？如果重合，这说明什么？
能重合，说明:
(1)轴对称变换不改变原图形的形状和大小.
(2)经轴对称变换所得的图形和原图形全等.
轴对称的定义：由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫作图形的轴对称，这条直线也叫作对称轴.
对称轴
图形的轴对称有下面的性质：
成轴对称的两个图形是全等图形.
P
活动二：探究轴对称的定义
轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系：
　　
轴对称图形
轴对称
区别
联系
图形
对称轴( )只有一条
只有( )对称轴.
不一定
一条
共同点
　沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合
两个图形成
一个图形
两个图形
如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴( )；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是( ).
对称
轴对称图形
活动二：探究轴对称的定义
1.如图，已知线段AB和直线l. 以直线 l 为对称轴，作与线段AB成轴对称的图形.
l
A
B
B′
A′
活动二：探究轴对称的定义
2.如图，已知直角三角形ABC.
(1)以直角边AC所在的直线为对称轴，
作出与直角三角形ABC成轴对称的图形.
(2)第(1)题作出的图形和原图形能组成一个等腰三角形吗？请说明理由.
解：(1)如图，△AB′C即为所求．
B
C
A
(2)答：能组成等腰三角形，理由如下．
由△AB′C与△ABC成轴对称，知△AB′C≌△ABC，
所以AB′=AB，故△ABB′为等腰三角形．
B′
A′
如图，直线 l 表示草原上的一条河流，一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中. 他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线.
A
B
C
P
如图，设P是直线上任意一点，连结AP，BP. 以直线 l 为对称轴，作与线段AP成轴对称的线段A'P，则AP+BP=A'P+BP. 显然，当点A'，P，B同在一直线上时，A'P+BP最短，即路程最短.
教材
例题
解：如图，作点A关于直线 l 的对称点A′，连结A′B，交直线 l 于点C，连结AC. 骑马少年沿折线A—C—B的路线行走时路程最短.
下面给出证明：
设P是直线 l 上任意一点，连结AP，A′P
由作图知，直线 l 垂直平分AA′
则AC=A′C，AP=A′P
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
则AP+BP=A′P+BP≥A′B，
A′B=A′C+BC=AC+BC
即AP+BP≥AC+BC
所以骑马少年沿折线A—C—B的路线行走时路程最短.
教材
例题
A′
A
B
C
P
经典例题
如图，P为△MON内一点，线段AB的长为15cm，P与A关于ON对称，P与B关于OM对称，点D与点C都在线段AB上，求△PDC的周长.
由轴对称的性质可知：AD=PD，PC=BC，再根据三角形的周长公式求出△PDC的周长即可.
O
D
C
B
M
P
N
A
教材
练习
1.线段、角是轴对称图形吗 如果你认为是轴对称图形，分别说出它们的对称轴.
A
B
E
D
F
线段是轴对称图形.
对称轴是线段的垂直平分线.
角是轴对称图形.
对称轴是这个角的平分线所在的直线
教材
练习
2.如图，已知图形X和直线 l，以直线 l 为对称轴，图形X的轴对称图形是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
C
根据轴对称图形定义，沿直线 l 折叠，图形X与选项C中的X′能重合，所以选C.
3. 小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，则现在的实际时间为（　　）
A．12:01 B．10: 21 C．15:10 D．10:51
D
镜中的像与实际物体关于镜面对称，也就是左右相反.
观察镜中显示的“12:01”，左右反转后，实际时间就是10:51.
所以选D.
4.如图，是由三个小正方形组成的图形，请你补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形. 并画出对称轴.
由轴对称的性质可得∠A′=∠A=50°，
∠C=∠C′=30°，
所以∠B=∠B′=180°-50°-30°=100°.
l
C′
C
B′
B
A′
A
5.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B为 ．
100°
6.如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( )
A. 4cm B. 8cm C. 12cm D. 16cm
A
D
C
B
B
7.如图，一牧马人从点A出发，到草地MN放牧，在傍晚回到帐篷B之前，先到河边 PQ去饮马，牧马人沿哪条路线行走才能使整个放牧的路程最短 请作出满足题意的图形(不写作法，保留作图痕迹).
作出A关于MN对称点A'、B关于PQ对称点B'，连接A'B'交MN于C、交PQ于D，路线
A→C→D→B 即为所求.
解：如图所示，A→C→D→B 即为所求的路线.
A'
B'
C
D
M
N
P
Q
A
B
定义
性质
知识点1相交线
如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形．这条直线叫作对称轴.折叠后重合的点叫作对称点.
图形的轴对称
轴对称图形的性质：
对称轴垂直平分连结两个对称点的线段.
图形的轴对称的性质：
成轴对称的两个图形是全等图形.
知识点1相交线
由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫作图形的轴对称.
实践作业：生活中的轴对称
任务：
用手机拍摄3 - 5张生活中具有轴对称特征的图片(如建筑、植物、生活用品、艺术作品等)．
要求：
在每张图片旁标注对称轴数量及位置，并说明判断轴对称的依据．

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