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2.2等腰三角形
第2章 特殊三角形
数学浙教版八年级上册
1．学生能够准确阐述等腰三角形的定义，清晰指出等腰三角形的腰、底边、顶角和底角，探究并归纳出等腰三角形的性质，了解等边三角形是特殊的等腰三角形．
2．通过小组合作交流，探讨等腰三角形性质的证明方法，归纳出性质并应用到具体题目中．
3．体会数学中的转化思想，将等腰三角形的问题转化为全等三角形等已学知识来解决，提高知识迁移能力．
重点
难点
情境导入
等腰三角形的应用在人们的生活中随处可见．如下图：
如图，埃及金字塔的四个侧面都呈等腰三角形的形状.
如图，房梁呈等腰三角形的形状.
在小学我们已经学过，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图所示，AB＝AC，△ABC就是等腰三角形.
等腰三角形中，
相等的两边都叫做腰，
另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，
腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
顶角
底角
底角
底边
腰
腰
活动一：探究等腰三角形的有关概念
1.如图，点D在AC上，AB=AC，AD=BD．你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角．
等腰三角形 腰 底边 顶点
△ABC
△ABD
AB和AC
BC
∠A
AD和BD
AB
∠ADB
活动一：探究等腰三角形的有关概念
A
C
B
D
活动一：探究等腰三角形的有关概念
2.已知线段a，b(如图)．用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使AB=AC=b，BC=a．
(1)先作底边BC；
(2)再以底边两端点为圆心、腰长为半径画弧找顶点A；
(3)最后连接顶点与底边端点.
教材
例题
作法：如图
(1)画一条射线BM，在BM上取一点C，使BC=a；
A
B
(2)以B，C为圆心，b长为半径画弧，相交于一点A；
M
C
(3)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
活动二：探究等腰三角形的有关性质
等腰三角形两腰上的中线相等．
求证：
已知：
求证：
如图，在△ABC中，AB=AC，CD，BE分别是腰AB，AC边上的中线．
BE=CD．
要想求证BE=CD，首先要证明
△ABE≌△ACD，可以利用SAS证明解题即可．
A
C
B
E
D
活动二：探究等腰三角形的有关性质
因为AB=AC(已知)，则有AD=AE．
又因为∠A=∠A(公共角)，
可知△ABE≌△ACD(SAS)．
所以BE=CD(全等三角形的对应边相等)．
已知：
求证：
如图，在△ABC中，AB=AC，CD，BE分别是腰AB，AC边上的中线．
BE=CD．
A
C
B
E
D
活动二：探究等腰三角形的有关性质
由上面的推理过程，可以得到等腰三角形的性质：
等腰三角形两腰上的中线相等．
几何语言：
在△ABC中，
因为AB=AC，CD，BE是AB，AC边上的中线，
所以BE=CD．
A
C
B
E
D
活动二：探究等腰三角形的有关性质
合作学习
在透明纸上任意画一个等腰三角形ABC，画出它的顶角平分线AD，然后沿着AD所在的直线把△ABC对折，你发现了什么？由此你得出什么结论？
A
B
C
D
A
(B)
C
D
活动二：探究等腰三角形的有关性质
∠BAD=∠CAD，所以射线AB与AC重合．又因为AB=AC，所以点B与点C重合．
发现：
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴．
A
B
C
D
A
(B)
C
D
直线AD两侧的图形能够完全重合．
活动二：探究等腰三角形的有关性质
三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
等边三角形是一类特殊的等腰三角形．
A
B
C
如图，AB=BC=AC，△ABC是一个等边三角形．
想一想，等边三角形有几条对称轴
有3条对称轴
　　　如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=AE．AP是△ABC的角平分线．点D，E关于AP对称吗 DE与BC有怎样的位置关系 请说明你的判断．
已知AP是△ABC的角平分线．可求出点D，E关于AP对称，根据轴对称图形的性质可以知道DE与BC的位置关系．
教材
例题
A
C
B
E
D
P
解：点D和点E关于AP对称，且DE//BC．理由如下：
因为AP是∠BAC的平分线，AB=AC，AD=AE，
根据“对称轴垂直平分连结两个对称点的线段”，知AP⊥DE，AP⊥BC，所以DE//BC．
点B和点C，点D和点E都关于AP对称．
所以等腰三角形ABC和等腰三角形ADE都是以直线AP为对称轴的轴对称图形，
教材
例题
A
C
B
E
D
P
经典例题
　　　如图，△ABC中，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，与边AB，BC相交于E，F，并构成以BF为底边的等腰△EBF，则△EBF的周长为________．
因为线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，
又因为DC=4cm，所以DC=EF=4，且CF=7cm．
又因为BC=12cm．所以BF=12-7=5cm．
因为△EBF是以BF为底边的等腰三角形，
所以BE=EF=4cm，
则△EBF的周长为BE+EF+BF=4+4+5=13cm．
13 cm
1．已知等腰三角形的两条边长分别为1 cm，3 cm．求第三条边长．．
教材
练习
解：如果腰长为1 cm，则1+1=2(cm)，不符合三角形三边关系，
所以腰长只能为3 cm，底边长为1 cm．
所以第三条边长为3 cm．
根据三角形三边关系，两边之和大于第三条边解题即可．
B
2．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC．
(1)作出△ABC的对称轴AD．
(2)分别作出点E，F关于AD的对称点．
教材
练习
D
(1)在等腰三角形ABC中，AB=AC．
因为等腰三角形是轴对称图形，
所以顶角平分线所在的直线是它的对称轴．
如图所示．
B
2．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC．
(1)作出△ABC的对称轴AD．
(2)分别作出点E，F关于AD的对称点．
教材
练习
D
(2)过点E作直线AD的垂线，垂线交腰AC于点E'，点E'即为点E关于AD的对称点；因为等腰三角形ABC是以直线AD为对称轴的轴对称图形，所以延长DF，使DF'=DF，点F'即为点F关于AD的对称点．如图所示．
E'
F'
3.若一个等腰三角形的两边长分别为4和6，则该等腰三角形的周长
为(　　)．
A．14 B．15 C．16 D．14或16
D
①当4为底时，其它两边都为6，4、6、6可以构成三角形，周长为16；
②当4为腰时，其它两边为4和6，因为4、4、6可以构成三角形，周长为14．
4.一个等腰三角形，周长为9，其余各边均为整数，则腰长为(　　)
A．4或3或2 B．4或3 C．4 D．3
设腰长为x，那么底边长为9-2x，
所以2x＞9-2x；9-2x＞0；
解得：2.25＜x＜4.5，
因为x为整数，所以x为3，4．
所以腰长为4或3．
B
5. 等腰三角形一边长为3，另一边长为6，则其周长是(　　)
A．12
B．15
C．12或15
D．以上答案都不对
如果腰长为3，则3+3=6，不符合三角形三边关系，所以腰长只能为6．
所以其周长6+6+3=15．
故选B．
B
6. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC，垂足为E，且AB=CE，连接AD，求证：△ACD为等腰三角形．
由平行线的性质推出∠BAC=∠DCE，由垂直的定义得到∠B=∠DEC=90°，判定△ABC≌△CED（ASA），推出AC=CD即可求证.
6. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC，垂足为E，且AB=CE，连接AD，求证：△ACD为等腰三角形．
证明：因为CD∥AB，所以∠BAC=∠DCE，因为DE⊥AC，所以∠B=∠DEC=90°．
因为AB=CE，
所以△ABC≌△CED（ASA）．
所以AC=CD．
所以△ACD是等腰三角形．
定义
等边三角形
等腰三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
性质
等腰三角形两腰上的中线相等．

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