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2.3等腰三角形的性质定理
第1课时
第2章 特殊三角形
数学浙教版八年级上册
1． 熟练掌握等腰三角形的性质定理1，即等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)，并能用数学符号语言准确表述．
2．通过折叠、测量等实验进行验证，学会运用全等三角形知识进行严格证明等腰三角形性质定理，学会推导并掌握等边三角形的性质，即等边三角形的各个内角都等于60°，并能运用该性质进行简单的计算．
3．在探究等腰三角形性质的过程中，鼓励学生自主思考，同时与小组成员交流讨论，共同解决问题，提高学习数学的兴趣 ．
重点
难点
情境导入
埃菲尔铁塔初始高度312米，现高330米，我们仔细观察会发现它是由很多个等腰三角形构成．
那么等腰三角形除了两腰相等之外，还有其他什么性质吗
任意画一个等腰三角形，通过折叠、测量等方式，探索它的内角之间有什么关系.
活动一：探究等腰三角形性质定理
活动一：探究等腰三角形性质定理
折叠
∠B与∠C重合
∠BAD与∠CAD重合
∠ADB与∠ADC重合
内角之间的关系
A
B
C
D
A
B
C
活动一：探究等腰三角形性质定理
测量
∠B与∠C相等
内角之间的关系：
通过折叠、测量两种方法，你发现了什么？
发现：两个底角相等
你能证明这个结论吗？
活动一：探究等腰三角形性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=AC． 求证：∠B=∠C．
证明：如图，作△ABC的角平分线AD．
你能根据等腰三角形的轴对称性证明上述定理吗
A
B
C
D
(已知)
(角平分线的定义)
(公共边)
活动一：探究等腰三角形性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=AC． 求证：∠B=∠C．
证明：如图，作△ABC的角平分线AD．
因为等腰三角形ABC是轴对称图形，角平分线AD是它的对称轴．
所以沿角平分线翻折等腰三角形，两部分重合，
所以∠B=∠C．
A
B
C
D
活动一：探究等腰三角形性质定理
由上面的推理过程可知，等腰三角形性质定理1：
等腰三角形的两个底角相等．
这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角．
符号语言：
因为AB=AC(或△ABC是等腰三角形)
所以∠B＝∠C (等边对等角)
A
B
C
活动二：探究等腰三角形性质定理相关推论
求等边三角形ABC三个内角的度数．
根据等腰三角形的性质定理，两个底角相等，可知∠A=∠B=∠C；再由等腰三角形的内角和解题即可．
解：如图，在△ABC中，
因为AB=AC(已知)，
所以∠B=∠C(等腰三角形的两个底角相等)．
同理，∠A=∠B．
因为∠A+∠B+∠C=180°，
A
B
C
活动二：探究等腰三角形性质定理相关推论
由“等腰三角形的两个底角相等”，可以得到以下推论：
等边三角形的各个内角都等于60°．
符号语言：
在△ABC中，
因为AB=AC=BC，
所以∠A=∠B=∠C=60°．
A
B
C
活动三：探究等腰三角形相关性质
求证：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知 ：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和 CE是 △ABC的两条角平分线．
求证：BD=CE ．
要证明 BD=CE，只需证明△BCE≌△CBD
(或 △ABD≌△ACE)．
因为BC是△BCE和△CBD的公共边，
所以只需证明∠ABC=∠ACB，∠ BCE=∠CBD．
这可由已知 AB=AC，BD和 CE是 △ABC的两条角平分线得到．
A
C
B
D
E
活动三：探究等腰三角形相关性质
上述从所求出发的分析思路可以简明地表示成图：
BD=CE
△BCE ≌△CBD
∠BCE=∠CBD
∠ABC=∠ACB
BC=CB
AB=AC
BD，CE是△ABC的角平分线
活动三：探究等腰三角形相关性质
A
C
B
D
E
活动三：探究等腰三角形相关性质
由上面的推理过程，可以得到等腰三角形的某些性质：
等腰三角形两底角的平分线相等．
符号语言：
在△ABC中，
因为AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
所以BD=CE．
A
C
B
D
E
　　　 如图，在△ABC 中，AB＝AC，点D 在AC 上，
BD＝BC＝AD．求△ABC各角的度数．
教材
例题
经典例题
先利用等腰三角形性质找角的关系，根据“等边对等角”可知：∠ABC＝∠C＝∠BDC，再设∠A＝x，用外角性质表示角，可得∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，最后根据内角和定理列方程式求解即可．
解：∵ AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC， ∠A＝∠ABD(等边对等角)．
设∠A＝x，则 ∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
从而 ∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x．
于是在△ABC中，有
∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°， 解得x＝36°．
所以，在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°．
含多个等腰三角形的图形中求角时，常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解．
经典例题
等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
经典例题
　　　等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( )
A.65°或50° B.80°或40°
C.65°或80 D.50°或80°
当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理可得底角是65°.
故选A.
A
总结
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACD＝100°，则∠B＝______.
教材
练习
在△ABC中，AB＝AC，∠ACD＝100°．
因为∠ACD+∠ACB=180°，
所以∠ACB=80°．
所以∠B=∠ACB=80°．
80°
A
C
B
D
2．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，D，E分别为AB，AC上的点，且AD=AE．求证：PD=PE．
先将分析的思路表示在下图中，再写出证明过程．
教材
练习
PD=PE
△BPD ≌△CPE
BD=CE
BP=CP
AB=AC
(已知)
(已知)
(已知)
(要证)
(只需证)
AD=AE
P为BC的中点
∠B=∠C
教材
练习
证明：在△ABC中，AB=AC，AD=AE，
所以BD=CE．
因为AB=AC，
所以∠B=∠C(等腰三角形的两个底角相等)．
因为P为BC的中点，可知BP=CP，
所以△BPD ≌△CPE(SAS)．
所以PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
3.在△ABC中，∠C=100°，AC=BC，则∠A=　　　　．
40°
4.(1)等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为 　　　　　；
(2)等腰三角形一个角为70°，它的另外两个角为 ；
(1)等腰三角形一个底角为75°，两底角相等，所以另外一个底角是75°，那么顶角是30°．
(2)当70°的角是底角时，它的另外两个角为70°，40°；当70°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理可得它的另外两个角为55°，55°．
75°，30°
70°，40°或55°，55°
5.如图，在△ABC中，已知∠A=30°，∠ABC=70°，D为AC边上
一点，且AD=BD．则∠DBC=( )
A.70° B.60° C.50° D.40°
因为∠A=30°，AD=BD，
所以∠A=∠DBA=30°，
因为∠ABC=70°，
所以∠DBC=70°-30°=40°.
D
A
C
D
B
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D．
(1)若∠A=32°，求∠BDC的度数；
(2)若AB=5cm，BC=3cm，求△BCD的周长．
(1)根据垂直平分线的性质可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，再根据三角形的外角性质即可求解．
解：因为AB的垂直平分线交AC于点D，
所以AD=BD，
所以∠A=∠ABD=32°，
∠BDC=∠A+∠ABD=32°+32°=64°．
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D．
(1)若∠A=32°，求∠BDC的度数；
(2)若AB=5cm，BC=3cm，求△BCD的周长．
(2)求出△DBC的周长=AC+BC ，代入数据计算即可．
解：△BCD的周长=BD+DC+BC
=AD+DC+BC
=AC+BC
=AB+BC
因为AB=5cm，BC=3cm，
所以△BCD的周长=5+3=8cm．
性质定理1
等边三角形的内角
等腰三角形的性质定理
等边三角形的各个内角都等于60°．
等腰三角形的两个底角相等．
其他性质
等腰三角形两底角的平分线相等．
实践作业：生活中的等腰三角形
任务：观察生活环境，如建筑结构、家具、日常用品等，寻找至少3个含有等腰三角形的物体 ，用手机拍照记录 ．
要求：针对拍摄的含有等腰三角形的物体，分析其中等腰三角形部分的作用，比如稳定性、美观性等 ，并思考这些等腰三角形是否利用了课堂上学到的性质，整理成简单的文字报告，描述物体特征、等腰三角形部分的位置及作用 ．

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