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2.3等腰三角形的性质定理
第2课时
第2章 特殊三角形
数学浙教版八年级上册
1．掌握等腰三角形三线合一的性质，明确这一性质是等腰三角形特有的几何特征．
2．能够通过全等三角形的判定，严谨推导出三线合一的结论，理解其与等腰三角形对称性的内在联系．
3．熟练运用三线合一简化几何证明，并能在实际题目(如求周长、面积或构造辅助线)中灵活应用该性质．
4．体会数学中的转化思想，将等腰三角形的问题转化为全等三角形等已学知识来解决，提高知识迁移能力．
重点
难点
难点
已知△ABC是等腰三角形，
则AB= ，∠B= .
等边三角形的各个内角都等于 ．
AC
60°
性质定理1：等腰三角形的两个底角相等.
也可以说成：在同一个三角形中，等边对等角.
等腰三角形性质定理1的内容？
∠C
A
B
C
A
B
C
在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线．在图中找出所有相等的线段和相等的角．
活动一：探究等腰三角形性质定理
由此你发现等腰三角形还有哪些性质
相等的线段 相等的角
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B与∠C
∠BAD与∠CAD
∠ADB与∠ADC
A
B
C
D
活动一：探究等腰三角形的性质
猜想等腰三角形的性质：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合．
我们猜想的等腰三角形的性质是否正确，你有什么方法能够证明吗？
A
B
C
D
活动一：探究等腰三角形性质定理
通过探究发现：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合．
你能写出证明过程吗
活动一：探究等腰三角形性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=AC， AD是△ABC的角平分线．
求证：AD⊥BC，BD=CD．
所以BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°．
那么AD⊥BC．
A
B
C
D
1
2
(已知)
(角平分线的定义)
(公共边)
活动一：探究等腰三角形性质定理
由上面证明过程可知，等腰三角形性质定理2：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一．
几何语言：
在△ABC中，AB=AC．
(1)因为AD⊥BC，所以∠BAD＝∠CAD，BD=CD．
(2)因为AD是中线，所以AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
(3)因为AD是角平分线，所以AD⊥BC，BD=CD．
A
B
C
D
1
2
　　　 已知：如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC．
求证：AD⊥BC．
教材
例题
先作辅助线，再利用等腰三角形的定义和性质，结合全等三角形的方法ASA，即可求出AD⊥BC．
A
B
C
D
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD=∠CAD(角平分线的定义)．
而AD=AD(公共边)，∠ADB=∠ADC(已知)
可得△ABD≌△ACD(ASA)．
所以AB=AC(全等三角形的对应边相等)．
由此可得△ABC是等腰三角形(等腰三角形的定义)．
又因为AE是等腰三角形ABC顶角的平分线，
所以AE⊥BC(等腰三角形三线合一)， 即AD⊥BC．
E
教材
例题
证明：如图，延长AD，交BC于点E．
A
B
C
D
　　　已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，底边BC边上的高线长为h．
教材
例题
要作出等腰三角形ABC，关键是作出顶点A．设底边BC上的高线为AD，根据“等腰三角形三线合一”的性质，AD也是底边BC上的中线．因此，只要作BC的垂直平分线l，然后在l上截取DA=h，连结AB，AC，就得到所求作的等腰三角形．
教材
例题
作法：如图
(1)作线段BC=a；
A
B
(2)作线段BC的垂直平分线l，
交BC于点D；
(3)在直线l上截取DA=h；
D
l
C
(4)连结AB，AC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
经典例题
根据等腰三角形的性质解题即可.
　 如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB = AC，AD =AE，
求证：BD=CE．
证明： 如图，过点A作AP⊥BC于P．
P
因为AB=AC，所以BP =PC；
因为AD =AE，所以DP=PE．
所以BP-DP=PC-PE，
所以BD=CE．
在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D ．
所以∠BAD=∠CAD．
因为EF⊥AB，EG⊥AC，所以∠AFE=∠AGE=90°．
又因为AE=AE，所以△AEF≌△AEG(AAS)．
所以EF=EG．
1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．E为AD上一点，EF⊥AB，EG⊥AC，F，G分别为垂足．求证：EF=EG．
教材
练习
根据等腰三角形的性质解题即可.
A
B
C
D
E
F
G
2．将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗
教材
练习
解：因为图中的三角尺是等腰三角形．当重锤线经过三角尺底边的中点时，重锤线(底边上的中线)与底边上的高叠合(等腰三角形三线合一)，即三角尺的底边与重锤线垂直，可以确定三角尺的底边与横梁是水平的．否则梁就不是水平．
3.等腰三角形的“三线合一”指的是( )
A.中线、高线、角平分线互相重合
B.腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合
C. 顶角的平分线、 中线、高线互相重合
D.顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线互相重合
D
4.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数.
根据等腰三角形的性质解题即可.
A
B
C
D
解：因为AB=AC，所以∠C= ∠B=30°，
因为BD = CD，所以AD⊥BC，
所以∠ADB=∠ADC = 90°.
∠ BAD =90°– ∠B = 60°.
5. 如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分 ∠ABC，交CD于点 E，已知AC =6，DE=2，则△BCE的面积是　　　　．
作EF⊥BC于F，
6
F
6.如图，在△ABC中，AB=BC，BE是△ABC的中线，AD⊥BC于点D，若∠DAB=36°，求则∠EBC的度数.
根据三角形外角的性质得∠ABC=∠DAB+∠D=126°，由等腰三角形的性质可得BE是∠ABC的平分线，即可求出∠EBC的度数．
性质定理2
辅助线
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一．
顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
实践作业：测量等腰三角形
任务：假设你家有一个等腰三角形形状的花园，现在需要测量花园底边中点到顶点的距离，但你只有一把足够长的卷尺和一个直角三角板 ．
要求：请你设计一个利用等腰三角形“三线合一”性质进行测量的方案 ．写出详细的测量步骤，并说明每一步的目的．测量完成后，记录下测量的数据，并根据测量数据计算花园的相关边长(如果需要)．

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