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广西南宁市 2026届高中毕业班第一次摸底测试数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知复数 满足 = 2 + 3 ，其中 为虚数单位，则 在复平面内对应点的坐标为( )
A. (3, 2) B. ( 3, 2) C. ( 3,2) D. (3,2)
2.已知集合 = { | 2 2 ≤ 0}， = {1,2,3,4}，则( ) ∩ =( )
A. {4} B. {3,4} C. {2,3,4} D. {1,2,3}
3.若向量 = (2, 3)， = ( 1,2)，则 ( + 2 ) =( )
A. 5 B. 3 C. 5 D. 3
4.下列关于函数 = 4sin ， ∈ [0,2 ]的单调性的叙述，正确的是( )．
A. 在[0, ]上单调递增，在[ , 2 ]上单调递减
3
B. 在[0, ]上单调递增，在[ , 2 ]上单调递减
2 2
3 3
C. 在[0, ]及[ , 2 ]上单调递增，在[ , ]上单调递减
2 2 2 2
3 3
D. 在[ , ]上单调递增，在[0, ]及[ , 2 ]上单调递减
2 2 2 2
5.已知双曲线 ：9 2 16 2 = 144，则 的渐近线方程为( )
4 3 3 4
A. = ± B. = ± C. = ± D. = ±
5 5 4 3
6.已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 < 0时 ( ) = 2 + ，则 (2)的值为( )
A. 2 B. 2 C. 6 D. 6
7.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等且它们的高均为√ 2，则圆锥的体积为( )
A. 2√ 2 B. 3√ 2 C. 6√ 2 D. 9√ 2
8.已知 ( ) = ln ( ≥ 0)，若 ( )有两个零点，则实数 的取值范围为( )
1 1 1 1
A. (0, ) B. (0, 2) C. ( ,+∞) D. [ 2 , +∞)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设 内角 , , 的对边分别为 , , ，若 = ， = 3， = 2，则( )
3

A. = √ 7 B. =
4
7 19
C. 的外接圆面积为 D. 若 为 中点，则 =
3 4
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10.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，抛物线 的准线交 轴于点 ，抛物线 上一点 (4, 0)到点
的距离为6，点 ， 是抛物线 上的两点(异于原点 )，则下列说法正确的是( )
A. = 4
B. 若 中点 的纵坐标为2，则直线 的斜率为2
C. 若 ⊥ ，则直线 恒过点(4,0)
D. 若直线 过点 ，则直线 ， 的斜率之和为0
1
11.已知函数 ( ) = 2 + 4 (4 + 1)ln ，则下列叙述正确的是( )
2
A. ( )有四个单调区间
B. ( )存在最小值
C. ( )有三个极值点，从小到大依次为 , , ，则 , , 成等差数列
D. ( )有三个极值点，从小到大依次为 , , ，则 , , 成等比数列
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知数列{ }是等差数列，若 1 + 3 + 5 = 105， 6 = 41，则数列{ }的公差 = ．
13.若直线 ： 2 + = 0( ≠ 0)被圆 ：( + 1)2 + ( 2)2 = 8裁得的弦长为2√ 3，则 = ．
14.一个3 × 3的正方形花坛被划分为9个1 × 1小方格(如图)，计划种植4种花卉(玫瑰、月
季、百合、郁金香)每个小方格种1种花卉.要求：花坛中任意2 × 2的小区域内，4种花卉
必须全部种植且不重复，则不同的种植方案共有 种.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
√ 3
已知函数 ( ) = cos( + )( > 0, | | < )的最小正周期是 ，且满足 ( ) = ．
2 6 2
(1)求函数 ( )的解析式；

(2)设函数 ( ) = ( + ) + √ 3 ( ).求 ( )在区间[ , ]上的最大值和最小值．
12 6 4 4
16.(本小题15分)
2 2 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，离心率为 ，且过焦点且垂直于椭圆 的 2
长轴的弦长为1．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知过点 2的直线 交椭圆 于 ， 两点，当 1 的面积最大时，求直线 的方程．
17.(本小题15分)
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如图，在斜三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， = ，侧面 1 1 为菱形，且∠ 1 = 60
，点 为
棱 1 的中点，平面 ⊥平面 1 1 .设平面 与平面 1 的交线为 ．
(1)求证： ⊥平面 1 1 ；
(2)若 = 2，求二面角 1 的正弦值．
18.(本小题17分)
流行病学调查表明某种疾病 是由致病菌 和致病菌 共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈．
2 3
(1)若有某种治疗方案 ，有 的概率能杀灭致病菌 .若这种治疗方案能杀灭致病菌 ，则它有 的概率能杀
3 4
1
灭致病菌 .若这种治疗方案不能杀灭致病菌 ，则它有 的概率能杀灭致病菌 .求使用治疗方案 痊愈的条
4
件下，能杀灭致病菌 的概率；
(2)若市面上仅有两款药物 和药物 对疾病 有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天(假定药物使用时，均
按疗程服用3天)，超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经
4 7
过3天也能痊愈.已知药物 杀灭致病菌 和致病菌 的概率分别为 、 ，且对于同一种药物，杀灭两种致病
5 10
9
菌的事件相互独立.药物 杀灭致病菌 和致病菌 的概率均为 .请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天
10
数更短？
(3)已知某种药物 能治愈疾病 的概率为 0.设针对药物 的 ( ≥ 3)次临床试验中有连续3次或连续3次以上
治愈疾病 的概率为 ，且每次治疗结果相互独立.求证：
3 3 3
+1 > ≥ 1 (1 0 )[1 0 (1 0)] ．
19.(本小题17分)
( ) ( )已知数列{ }满足 = ′( +1
)( 为常数)， ( )为可导函数．

(1)若 ( ) = 2且 1 = 1，求数列{ }的通项公式(结果用 表示)；
1
(2)若 ( ) = 2 ( > 0)．
2
(ⅰ)证明：当 ≤ 1时， ( )为单调函数；
1
(ⅱ)若数列{ }为正项数列且 > > 0，证明： > +1 > ( + )． 2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.10
14.72
15.【详解】(1) ∵ ( ) = cos( + )的最小正周期是 ，
2
∴ = = ，解得 = 2，

∴ ( ) = cos(2 + )，
√ 3
∵ ( ) = ，
6 2
√ 3
∴ cos ( + ) = ，
3 2

∴ + = ± + 2 , ∈ ，
3 6

∴ = + 2 或 = + 2 ， ∈ ，
6 2

∵ | | < ，∴ = 0时， = 或 = (舍去)，
2 6 2

∴ ( ) = cos (2 )．
6

(2) ∵ ( ) = ( + ) + √ 3 ( )， ( ) = cos (2 )，
12 6 6

∴ ( ) = cos [2 ( + ) ] + √ 3cos [2 ( ) ] = cos2 + √ 3sin2
12 6 6 6
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1 √ 3
= 2( cos2 + sin2 ) = 2sin (2 + )，
2 2 6
2
∵ ∈ [ , ]，则2 + ∈ [ , ]，
4 4 6 3 3
2
又∵ = sin 在 ∈ [ , ]上单调递增，在 ∈ [ , ]上单调递减．
3 2 2 3

∴当 = ，即 = 时，sin = 1， ( )取得最大值，最大值为2，
2 6
√ 3 √ 3
当 = 时，即 = ，sin = ， ( ) = 2 × ( ) = √ 3，
3 4 2 2
2 √ 3 √ 3
当 = 时，即 = ，sin = ， ( ) = 2 × = √ 3，
3 4 2 2

∴ ( )在[ , ]上的最大值为2，最小值为 √ 3．
4 4
1
16.【详解】(1)设椭圆 的半焦距为 ，由过焦点且垂直于椭圆 的长轴的弦长为1，得点( , )在椭圆 上，
2
2 1 √ 3 √ 3
于是 + 22 2 = 1，由离心率为 ，得 = ，而 =
2 + 2，因此 = 1， = 2, = √ 3，
4 2 2
2
所以椭圆 的方程为 + 2 = 1．
4
(2)由题意， 1( √ 3, 0), 2(√ 3, 0)，直线 不垂直于 轴，设其方程为 = + √ 3，
2
+ 2 = 1
由{ 4 ，得( 2 + 4) 2 + 2√ 3 1 = 0，设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
= + √ 3
2√ 3 1
则 1 + 2 = 2 ， = ， +4 1 2 2+4
1 12 2 4
= | 1 2|| 1 2| = √ 3 √ ( + 21 2 1 2
) 4 1 2 = √ 3 √ +
( 2
2
+ 4)
2 + 4
4√ 3 √ 2+1 4√ 3 4√ 3
= 2 = 3 ≤ = 2， +4 √ 2+1+ 32 √√
2+1
√ 2+1 √ 2+1
3
当且仅当√ 2 + 1 = ，即 = ±√ 2时取等号，
√ 2+1
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所以直线 的方程为 + √ 2 √ 3 = 0或 √ 2 √ 3 = 0．
17.【详解】(1)分别延长 1 , ，设 ∩ 1 = ，连接 ，如图，
则 即为平面 1 与平面 的交线 ，
因为 为棱 1 的中点， 1 // 1，则 是 的中点，
因为 中 = ， ⊥ ，所以 = 2 ，从而 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 1 1 且交线为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 1 1 ，即 ⊥平面 1 1 ；
(2)取 1 1的中点 ，
因为侧面 1 1 为菱形，且∠ 1 = 60
，所以 ⊥ ，
由(1)知 ⊥平面 1 1 ，所以 ⊥ ，分别以 , , 所在直线为 , , 轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
因为 = 2，侧面 1 1 为菱形，且∠ 1 = 60 ，
所以 1(1,0,√ 3), (0,2,0), (2,0,0)，
则 1 = (1,0, √ 3), = (0,2,0), = ( 2,2,0), 1 = ( 1,0, √ 3)，
设平面 1 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
1 = 0 + 3 = 0则{ ，所以{ 1 √ 1 ，可取 = (√ 3, 0, 1)，
= 0 2 1 = 0
设平面 1 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
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= 0 2 + 2 = 0
则{ ，所以{ ，可取 = (√ 3,√ 3, 1)，
1 = 0 2 + √ 3 2 = 0
√ 3 √ 3 1 √ 7
所以cos < , >= = ，
2 √ 7 7
2
√ 7 √ 42
所以二面角 1 的正弦值为√ 1 ( ) = ． 7 7
18.【详解】(1)设使用治疗方案 治愈疾病 为事件 ，使用治疗方案 能杀灭致病菌 为事件 ，
2 2 1 9 3
则 ( ) = + (1 ) × = = ，
3 3 4 12 4
2
因为事件 发生则事件 必发生，故 ( ) = ( ) =
3
2
( ) 8
( | ) = = 33 = ． ( ) 9
4
(2)设 ( )表示药物 能治愈疾病 的概率， ( )表示药物 能治愈疾病 的概率．
4 7 47 9 2 99
则有 ( ) = 1 (1 )(1 ) = ， ( ) = 1 (1 ) = .
5 10 50 10 100
设先用药物 再用药物 来治愈疾病 所需的天数为 1，先用药物 再用药物 来治愈疾病 所需的天数为
2，
则 ( 1 = 3) = ( )， ( 1 = 6) = (1 ( )) × ( )， ( 1 = 9) = (1 ( )) × (1 ( ))，
所以 ( 1) = 3 ( ) + 6(1 ( )) × ( ) + 9(1 ( )) × (1 ( ))
= 9 6 ( ) 3 ( ) + 3 ( ) ( )
47 99 47 99
= 9 6 × 3 × + 3 × × = 3.1818 ≈ 3.18．
50 100 50 100
同理得 ( 2 = 3) = ( )， ( 2 = 6) = (1 ( )) × ( )， ( 2 = 9) = (1 ( )) × (1 ( )).
则有 ( 2) = 3 ( ) + 6(1 ( )) × ( ) + 9(1 ( )) × (1 ( )) = 3.0318 ≈ 3.03．
从而有 ( 1) > ( 2)，
因此需先使用药物 可使得痊愈的平均天数更短．
(3)设针对药物 的 次临床试验中未出现连续3次或连续3次以上治愈疾病 的概率为 ，
因此有 2 +1 = (1 0) + 0[ 0 (1 0) 3]，从而
3
+1 = 0 (1 0) 3 < 0，从而
+1 < ，
由 = 1 可得
3
+1 = 0 (1 0) 3 < 0，所以有 < +1，
这表明 随 增大而增大， 随 增大而减小，所以有 < 3，
另一方面，由 +1 =
3
0 (1 0) 3 <
3
0 (1 0) ，

可得 3 +1 3 +1 < [1 0 (1 0)] ，即 < 1 0
(1 0)，

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注意到 3 = 1
3
0，所以有
= × 1 × × 4 < [1 3 3
0
(1 0)] ，
3 1 2 3
即 < (1 3)[1 3 3 0 0 (1 0)] ，
因为 = 1 ，所以有 > 1 (1
3
0 )[1
3
0 (1 )]
3
0 ，
综上所述， 3 3 3 +1 > ≥ 1 (1 0 )[1 0 (1 0)] ．
19.【详解】(1)由 ( ) = 2，则 ′( ) = 2 ，
2
( ) ( )
2
由 = ′( )，则
+ = 2
+1 +1
，即 +1 = ，
2
1
则 +1 = ( )，又 2 1 = 1 ，
1
所以数列{ }是以1 为首项， 为公比的等比数列， 2
1 1 1 1
则 = (1 ) ( ) ，即 = (1 ) ( ) + ， ≠ 1． 2 2
1
(2)(ⅰ)由 ( ) = 2 , > 0, ≤ 1，则 ′( ) = ，
2
令 ( ) = ， > 0，则 ′( ) = 1 > 0，
所以函数 ( )在(0,+∞)上单调递增，则 ( ) > (0) = 1 ≥ 0，即 ′( ) > 0，
所以函数 ( )在(0,+∞)上单调递增，即 ( )为单调函数．
1
(ⅱ)设 ( ) = ( ) ( ) ′( )( ) = 2 ( ) ( )( )， > > 0，
2
则 ′( ) = ( 1)( ) ( ) = ( 1)( ) < 0
所以函数 ( )在( ,+∞)上单调递减，则 ( ) < ( ) = 0，
( ) ( )
所以 ( ) ( ) ′( )( ) < 0，即 ′( ), > 0．

+ 1 + +
设 ( ) = ( ) ( ) ′ ( ) ( ) = 2 ( ) ( 2 )( )， > >
2 2 2
0，
1 + + +
则 ′( ) = ( 2 1) ( ) ( 2 )
2 2
+ + +
=

2 2 = 2 ( 2 1)，
2 2

由(ⅰ)知，当 = 1, > 0时， ( ) = 1 > (0) = 0，而 > 0，则 ′( ) > 0，
2
所以函数 ( )在( ,+∞)上单调递增，则 ( ) > ( ) = 0，
+ ( ) ( ) +
则 ( ) ( ) ′ ( ) ( ) > 0，即 > ′ ( ) , > > 0，
2 2
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( ) ( ) +
综上所述， ′( ) > > ′ ( ) , > > 0，
2
( ) ( ) +
令 = ，则 ′( ) >
> ′ ( ) , > > 0， 2
(
而
) ( ) +
= ′( +1)，所以 ′( ) > ′(

+1
) > ′ ( ) , > > 0，
2

1
因为函数 ′( )在(0,+∞)上单调递增，所以 > +1 > ( + )． 2
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