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2.6 直角三角形
第 2 章 特殊三角形
第1课时
数学浙教版八年级上册
1.理解直角三角形的概念，掌握直角三角形两锐角互余的性质及其应用.
2.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质定理，并能运用其进行简单的推理和计算.
3.经历观察、猜想、验证、归纳等过程，提升逻辑推理能力和数学抽象素养.
4.感受数学与生活的紧密联系，体会数学的应用价值，增强学习数学的兴趣.
重点
难点
芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，它在设计和施工过程中，直角三角形的相关原理被广泛应用，尤其是在测量和结构计算方面.例如，在计算拉索长度、桥塔高度以及评估桥梁稳定性时，工程师会利用直角三角形的边角关系进行精确计算.
这种几何原理的应用确保了大桥的结构安全和精准施工，体现了数学在大型工程中的重要作用.
直角三角形都有哪些性质呢？我们今天一起来学习吧！
活动一：探究直角三角形的性质
这个图是由七巧板拼成的，你能从图中找出多少个直角三角形
01
七巧板包含5个等腰直角三角形，其中2个大的、1个中的、2个小的.
5个
活动一：探究直角三角形的性质
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
表示：“Rt△”
直角三角形ABC可以记为Rt△ABC
在现实生活中，你接触过哪些直角三角形？
02
直角边
直角边
斜边
A
C
B
广告牌支架
雨棚骨架
塔吊框架
活动一：探究直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角有什么关系？
03
从Rt△ABC三个内角数量关系看：
∠A+∠B+∠C=180°
从∠C看，∠C是直角，等于90°
综合得∠A+∠B=90°
直角边
直角边
斜边
A
C
B
直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余.
文字表达
活动一：探究直角三角形的性质
如图，CD是Rt△ABC斜边上的高.
(1)图中有几个直角三角形？
3个：Rt△ACD、Rt△BCD、Rt△ABC.
(2)图中有几对互余的角？
从三条相交线看：∠1与 ∠2
(3)图中有几对相等的角？
∠1=∠ B，∠2=∠A
从Rt△ABC看：∠A与∠B
从Rt△ACD看：∠A与∠1
从Rt△BCD看：∠B与∠2
看小的，再看大的，从小看到大
B
A
C
D
2
1
练习
活动一：探究直角三角形的性质
1.已知直角三角形两个锐角的度数之比为3：2，求这两个锐角的度数.
活动一：探究直角三角形的性质
2.已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD=CD.
求证：AD=CD.
证明：因为∠ACB=90°，
所以∠A+∠B=90° ，∠ACD+∠BCD=90°.
因为BD=CD，所以∠B=∠BCD，
所以∠A=∠ACD(等角的余角相等),
所以AD=CD.
B
A
C
D
活动一：探究直角三角形的性质
2.已知：如图，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，BD=CD.
求证：AD=CD.
B
A
C
D
位置特殊：点D是斜边AB的中点
线段特殊：CD是斜边AB上的中线
这幅图特殊性在哪里？
活动一：探究直角三角形的性质
直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
B
A
C
D
活动一：探究直角三角形的性质
证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
中点 倍长中线法
04
A
B
C
D
∟
活动一：探究直角三角形的性质
A
B
C
D
E
=
=
3
⌒
2
⌒
1
⌒
∟
证明：延长CD至E，使CD=DE.
因为CD是Rt △ ABC斜边AB上的中线，
所以AD=BD
在△ ACD和△ BED中
所以△ ACD≌BED(SAS)
所以AC=BE，∠1=∠2
因为∠1+∠3=90°
所以∠2+∠3=90°
所以∠ACB=∠EBC=90°
在△ ACB和△ EBC中
教材
例题
如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30 °的斜坡，从A滑行至B．已知AB=200m，问这名滑雪运动员的高度下降了多少米？
D
=
=
=
=
B
C
A
30°
如图，作AC BC于点C，这样问题就归结为求直角边AC的长.
已知AB=200m，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得斜边上的中线等于100m.
添上这条中线后，就构成含已知线段和所求线段的新三角形ADC，由此就能找到未知量和已知量之间的关系.
教材
例题
如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30 °的斜坡，从A滑行至B．已知AB=200m，问这名滑雪运动员的高度下降了多少米？
故AC=AD=100(m)
答：这名滑雪运动员的高度下降了100m.
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
D
=
=
=
=
B
C
A
30°
直角三角形还有以下性质定理：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
几何语言：
B
C
A
30°
直角三角形斜边中线定理
经典例题
右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m， ∠A＝ 30 °，立柱BC，DE要多长？
B
A
D
C
E
答：立柱BC，DE分别要3.7m，1.85m.
教材
练习
1.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB.找出所有互余的角.
B
C
A
D
解：因为AC⊥BC，
所以 A+ B=90； ACD+ BCD=90°.
又因为CD⊥AB，
所以 A+ ACD=90°； B+ BCD=90°.
综上，互余的角有 A与 B， ACD与 BCD， A与 ACD， B与 BCD.
互余的角是指两角之和为90°
教材
练习
2.已知在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=5cm，求斜边AB的长.
直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
解：因为在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=5cm，
所以斜边AB=2CD(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)
因为 CD=5cm
所以AB=2×5=10(cm).
答：斜边AB的长为10cm.
3.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，
∠A＝30°. 若CD＝6，则BC的长度为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
C
4.如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D.若AF平分∠CAB分别交CD，BC于E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.
证明：在Rt△AFC中，∠CFA+∠CAF=90°，
同理在Rt△AED中，∠AED+∠DAE=90°.
又因为AF平分∠CAB，所以∠CAF＝∠DAE，所以∠AED＝∠CFE，
因为∠CEF＝∠AED，
所以∠CEF＝∠CFE.
5.如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系 为什么
解：∠CAE= ∠DBE，理由如下：
在Rt△ACE中，
∠CAE=90°- ∠AEC
在Rt△BDE中，
∠DBE=90°- ∠BED
因为∠AEC= ∠BED
所以∠CAE= ∠DBE
C
D
E
A
B
6.如图，直角三角形ABC中，O是BC中点且BD⊥CD，试说明AO与DO的关系．
B
C
A
D
O
7.已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点.
(1)如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，
求证：△DEF为等腰直角三角形.
B
C
A
F
E
D
所以ED=FD，∠BDE=∠ADF .
所以∠EDF=∠EDA+∠ADF
=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°
所以△DEF为等腰直角三角形.
7.已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点.
(2)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，
其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？
证明你的结论.
B
C
A
F
E
D
所以△BDE≌△ADF（SAS）
所以 FD=ED，∠FDA=∠EDB
所以∠EDF=∠EDB+∠FDB
=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°
所以△DEF仍为等腰直角三角形.
概念
性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
直角三角形的两个锐角互余.
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形.
用符号“Rt△”表示.
直角三角形
直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.
实践作业：直角三角形性质的生活探索
主题：探寻生活中直角三角形性质的体现与应用
目标：理解直角三角形性质(两锐角互余、斜边中线性质等)，学会从生活中抽象数学模型，感受数学实用性.
步骤：①找房屋墙角、直角尺、秋千支架等含直角三角形的场景，拍照或画下来，标注直角边、斜边.
②测房屋墙角的直角三角形一个锐角，算另一个，验证和为90°；
量长方形门框对角线及其中线，看中线是否为斜边一半.
成果：
报告：附场景图、标注及验证数据，说明性质在生活里怎么体现.

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