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2.6 直角三角形
第 2 章 特殊三角形
第2课时
数学浙教版八年级上册
1.理解“有两个角互余的三角形是直角三角形”的判定定理，能准确表述其逆命题并判断真假，掌握定理证明及应用.
2.理解并能应用“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”的判定定理.
3.通过逆命题猜想、定理证明、例题演练，提升逻辑推理、几何证明能力，体会“逆向思考”“转化思想” 在数学中的应用.
4.感受数学知识的严谨性与关联性，激发对几何学习的兴趣，培养勇于探索、善于推理的学习品质.
重点
难点
直角三角形的定义是什么 它有哪些性质？
定义：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：①直角三角形的两个锐角互余．
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
③在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
┗
300
600
D
=
=
=
=
A
B
C
D
=
=
=
连等式：AD=BD=CD，
三连等——两个等腰三角形
连等式：AD=BD=CD=BC，
四连等——等腰三角形+等边三角形
活动一：探究直角三角形的判定定理
01
说出定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，这个逆命题正确吗？你是怎样判定的？
逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形
A
B
C
已知：如图，在△ABC中，∠A+∠C=90°.
求证：△ABC是直角三角形.
根据“三角形三个内角的和等于180°”，当一个三角形中有两个角互余时，它的第三个角就等于90°，所以这个三角形是直角三角形.
正确
活动一：探究直角三角形的判定定理
证明：因为两个锐角互余，
所以 ∠A+∠C=90°
因为 ∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和定理)
所以 ∠B=180°-(∠A+∠C)=180°-90°=90°
所以 △ABC 是直角三角形.
直角三角形的判定定理：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
在△ABC中，∠A+∠C=90°
则△ABC 是直角三角形.
几何语言：
A
B
C
活动一：探究直角三角形的判定定理
根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由.
(1)有一个外角为90°.
(2)∠A=36°，∠B=54°.
(3)如图，∠1与∠2互余，∠B=∠1.
C
A
B
D
2
1
解：(1)可以.因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
所以这个三角形有两个角互余.
根据有两个角互余的三角形是直角三角形，可以判断△ABC是直角三角形.
活动一：探究直角三角形的判定定理
解：(2)可以.
因为∠A=36°，∠B=54°，所以∠A+∠B=90°.
根据有两个角互余的三角形是直角三角形，可以判断△ABC是直角三角形.
根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由.
(1)有一个外角为90°.
(2)∠A=36°，∠B=54°.
(3)如图，∠1与∠2互余，∠B=∠1.
C
A
B
D
2
1
活动一：探究直角三角形的判定定理
解：(3)可以.
因为∠1+∠2=90°，又∠B=∠1，所以∠B+∠2=90°
根据有两个角互余的三角形是直角三角形，可以判断△ABC是直角三角形.
根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由.
(1)有一个外角为90°.
(2)∠A=36°，∠B=54°.
(3)如图，∠1与∠2互余，∠B=∠1.
C
A
B
D
2
1
活动一：探究直角三角形的判定定理
02
说出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，这个逆命题正确吗？你是怎么判定的？
逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
正确
C
A
D
B
活动一：探究直角三角形的判定定理
C
A
D
B
=
=
=
三角形内角和为180°
活动一：探究直角三角形的判定定理
几何语言：
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，
那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形的判定定理：
这条边是这个直角三角形的斜边.
C
A
D
B
活动一：探究直角三角形的判定定理
在△ABC中，∠A=45°，AC=BC，判断△ABC 的形状.
解：因为AC=BC
所以∠A=∠B（等边对等角）
所以∠C=180°-（∠A+∠B）
=90°（三角形内角和为180°）
所以△ABC为等腰直角三角形.
A
B
C
底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形.
经典例题
如图，CE AD，垂足为E，∠A=∠C.
求证：△ABD是直角三角形.
先根据直角三角形两锐角互余可得∠C+∠D=90°，再求出∠A+∠D=90°，再判定即可.
A
B
D
C
E
证明：因为CE AD，
所以∠CED=90°，
所以∠C+∠D=90°
因为∠A=∠C，
所以∠A+∠D=90°.
所以∠ABD=90°，
所以△ABD是直角三角形.
经典例题
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，且∠CAD=∠CBD.求证：△ABD是直角三角形.
B
C
A
D
证明：在Rt△ABC中，因为∠BAC=90°，所以∠BAD+∠CAD=90°
因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD.
又因为∠CAD=∠CBD，
所以∠ABD=∠CAD，
所以∠BAD+∠ABD=90°
所以△ABD是直角三角形.
教材
练习
1.在如图的方格纸上画三个互不全等的直角三角形，使其顶点都在格点上，并用符号“Rt△”和字母将它们表示出来.
B
C
A
E
F
D
G
H
I
解：Rt△ABC；
Rt△DEF；
Rt△GHI.
教材
练习
2.已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，∠A=∠2.
求证：△ABC是直角三角形.
本题可根据三角形内角和为180°，再结合已知角的等量关系推导出∠B+∠A = 90°，根据
直角三角形两锐角互余可得△ABC是直角三角形.
A
C
B
D
1
2
证明：因为∠ACB=∠1+∠2，
又已知∠1=∠B，∠A=∠2，
所以∠ACB=∠B+∠A.
在△ABC中，
∠A+∠B+∠ACB=180°
所以2(∠B+∠A)=180°
所以∠B+∠A = 90°，
所以△ABC是直角三角形.
3.三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰三角形
设此三角形的三个内角分别是∠1，∠2，∠3（其中∠3最大），
根据题意得∠1=∠3-∠2，所以∠1+∠2=∠3，
又因为∠1+∠2+∠3=180°，
所以2(∠1+∠2)=180°，所以∠1+∠2=90°．
两锐角互余是直角三角形.故选：B.
B
4.如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠AON=30°，当∠A= 时，△AOP为直角三角形.
A
N
P
O
①若∠APO=90°时，△AOP为直角三角形，则∠A=90°-∠AON=90°-30°= 60°
②若∠A=90°时，△AOP为直角三角形.
故答案为: 60°或90°.
60°或90°
5.如图，在△ABF中，BF的垂直平分线分别交AF，BF于C，E.若△ABC是等边三角形，则△ABF为 三角形.
A
B
C
E
F
直角
6.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=62°，CE平分∠ACB.
(1)求∠ACE的度数.
(2)已知CD AB于点D，∠CDF=74°.
求证：△CFD是直角三角形.
A
B
C
E
F
D
6.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=62°，CE平分∠ACB.
(1)求∠ACE的度数.
(2)已知CD AB于点D，∠CDF=74°.
求证：△CFD是直角三角形.
A
B
C
E
F
D
证明：(2)因为CD AB，所以∠CDB=90°.
所以∠BCD=90°-∠B=28°，
所以∠FCD=∠ECB-∠BCD=16°,
因为∠CDF=74°，所以∠CDF+∠FCD=16°+74°=90°.
所以△CFD是直角三角形.
定理1
定理2
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，
那么这个三角形是直角三角形.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形的判定
实践作业：直角三角形判定的实践探究
主题：用“两角互余判定直角三角形”，连接数学与生活.
目标：巩固直角三角形判定定理，提升实践运用能力，感受数学实用性.
步骤：①找三角形：在校园、家里找三角形物体(三角尺、自行车架、户装饰等)，拍照记录.
②用量角器测三角形三个角，算两角和，若和为90°，用定理判定为直角三角形，记录数据(角的度数、物体名称).
成果：提交实践报告，含：实践过程(文字+三角形照片)；数据表格(物体名、角度、判定结果)；(文字)误差分析与总结.

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