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天津市第十四中学 2026届高三上学期 10月月考数学试卷
一、单选题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { ∈ | 1 < < 5 }， = {0,1,3}， = {1,4}，则( ) ∪ =( )
A. {2,3} B. {1,2,4} C. {0,1,2} D. {0,1,2,4}
2.设 ∈ R，则“| | < 2”是“log2 < 1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知 = ln0.3, = 30.2, = 0.20.3，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
4.已知 log94 = 1，则2
=( )
1 1 1
A. B. C. D. 3
9 8 3
1
5.函数 ( ) = ( ) sin| |在[ π, 0) ∪ (0, π]的图象大致是( )

A. B.
C. D.
6.设 , 是两条直线， , 是两个平面，下列说法错误的是( )
A. 如果 // , ，那么 // ．
B. 若 ⊥ , ⊥ ，则 //
C. 若 ∩ = ， // , // ，则 //
D. 若 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，则 ⊥
7.下列命题错．误．的是( )
A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B. 设 ( , )，若 [ ] = 30, [ ] = 20，则 = 90
C. 线性回归直线 = + 一定经过样本点的中心( , )
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D. 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样
本，用随机变量 表示样本中黄球的个数，则 服从二项分布，且 [ ] = 8

8.若函数 ( ) = (1 +
1 e
)是偶函数，则 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
1 2
9.已知函数 ( ) = 1过定点 ，点 在直线 + = 1上且 , > 0，则 + 的最小值为( )

A. 3 + 2√ 2 B. 4 + 2√ 2 C. 3 + √ 2 D. 4 + √ 2
10.已知函数 ( ) = sin2 + cos2 ，其中正确的是( )
π
A. ( )的最小正周期为2π； B. ( )的图象关于直线 = 对称；
8
π π π
C. ( )的图象关于点( , 0)对称； D. ( )在区间( , )上单调递增．
8 8 8
( 2) 1, ≤ 1 1
11.已知函数 ( ) = { ，若 ( )在 上单调递增，则实数 的取值范围为( )
log , > 1 +1
1 1 1
A. ( , ] B. ( , 1] C. (2,3] D. (2,+∞)
3 2 2
12.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成(如
图1)，也可由正方体切割而成(如图2).在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积
为( )
A. √ 2 B. 2 C. 2√ 2 D. 4
二、填空题：本题共 6小题，每小题 5 分，共 30分。
1 2i
13.若复数 满足 = (i为虚数单位)，则| | = ．
2 i
1
14.已知二项式(2 ) 展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为 ．

15.已知直线 过点( 1,0)且与直线2 = 0垂直，则圆 2 + 2 4 + 8 = 0与直线 相交所得的弦长
为
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1 1 2
16.已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为 ， ， ，且每个人射
2 3 3
击相互独立，若每人各射击一次，则至少有一人命中的概率为 ；在三人中恰有两人命中的前提下，
甲命中的概率为 ．
17.已知 中，点 是 中点，点 满足 = 2 ，记 = ， = ，请用 ， 表示
= ；若 = 5，向量 在向量 上的投影向量的模的最小值为 ．
2 + 1, < 0
18.设 ∈ ，函数 ( ) = { ，若 ( )恰有两个零点，则 的取值范围是 e , ≥ 0
三、解答题：本题共 4小题，共 50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，满足(2 )cos = cos ．
(1)求角 的大小；
(2)设 = 4， = 2√ 7．
( )求边 的值；
( )求sin(2 )的值．
cos 2cos 2
20.在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ，已知 = ．
cos
sin
(1)求 的值；
sin
1
(2)若cos = , = 2．
4
( )求 的面积；
π
( )求sin (2 + )的值．
6
21.如图， // 且 = 2 , ⊥ , // 且 = , // 且 = 2 , ⊥平面 , =
= = 2
(1)若 为 的中点， 为 的中点，求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的正弦值；
(3)若点 在线段 上，且直线 与平面 所成的角为60°，求线段 的长．
22.已知函数 ( ) = (ln 1), ∈ ，.
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(1)若 = 2，求曲线 = ( )在点(e, (e))处的切线方程；
(2)当 > 1时，求函数 ( )的单调区间；
(3)若对于任意 ∈ [e, e2]，都有 ( ) < 4ln 成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.1
14. 160
15.2√ 15
8 5
16. ；
9 7
4 5 20
17. ；
3 3 3
18.(e,+∞)
19.(1)由(2 )cos = cos ，
根据正弦定理得，(2sin sin )cos = sin cos ，
可得2sin cos = sin( + ) = sin ，
1
因为0 < < π，故sin ≠ 0，则cos = ，
2
π
又0 < < π，所以 = ；
3
π
(2)由(1)知， = ，且 = 4， = 2√ 7，
3
2 2 2 + 1 16+ 2 28
( )则cos = ，即 = ，
2 2 2×4×
解得 = 6或 = 2(舍)，故 = 6；
( )由(2 )cos = cos ，
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1
得(2 × 4 6) × = 2√ 7cos ，
2
2
√ 7 √ 7 3√ 21
解得cos = ，则sin = √ 1 ( ) = ，
14 14 14
3√ 3 13
则sin2 = 2sin cos = ，cos2 = 2cos2 1 = ，
14 14
3√ 3 1 13 √ 3 4
所以sin(2 ) = sin2 cos cos2 sin = × ( ) × = √ 3．
14 2 14 2 7

20.(1)由正弦定理 = =
sin sin sin
cos 2cos 2 2sin sin
= = ，
cos sin
即sin cos 2sin cos = 2sin cos sin cos ，
∴ sin( + ) = 2sin( + ) sin = 2sin ，
sin
所以 = 2．
sin
sin
(2)( )由(1)知 = = 2，即 = 2 ，又 = 2，
sin
2+ 2
2

由余弦定理，得cos = ，
2
解得 = 1, = 2，
√ 15
∈ (0, ) sin > 0，则sin = √ 1 cos2 = ，
4
1 √ 15
∴ = sin = ． 2 4
√ 15 7
( )sin2 = 2sin cos = , cos2 = 2cos2 1 = ，
8 8
π π π 3√ 5 7
sin (2 + ) = sin2 cos + cos2 sin = ．
6 6 6 16
21.(1)因为 ⊥平面 , , 平面 ，
所以 ⊥ , ⊥ ，
因为 ⊥ ，所以 , , 两两垂直，
所以以 为原点，分别以 , , 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，
3
(0,0,0), (2,0,0), (1,2,0), (0,2,0), (2,0,2), (0,1,2), (0,0,2), (0, , 1) , (1,0,2)
2
所以 = (0,2,0), = (2,0,2)．
设 0 = ( , , )为平面 的法向量，
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则{ 0
= 2 = 0,
0 = 2 + 2 = 0,
令 = 1，则 0 = (1,0, 1)．
3
因为 = (1, , 1)，
2
所以 0 = 1 1 = 0，
因为直线 平面 ，所以 //平面 ．
(2)依题意，可得 = ( 1,0,0), = (1, 2,2), = (0, 1,2)．
设 = ( 1, 1, 1)为平面 的法向量，
= 1 = 0,则{
= 1 2 1 + 2 1 = 0,
令 1 = 1，则 = (0,1,1)，
设 = ( , , )为平面 的法向量，
= = 0,
则{
= + 2 = 0,
令 = 1，则 = (0,2,1)，
2+1 3√ 10
所以cos , = = = ，
| || | √ 5×√ 2 10
90 √ 10
所以平面 与平面 的夹角的正弦值为√ 1 cos2 , = √ 1 = ．
100 10
(3)设线段 的长为 ( ∈ [0,2])，则点 的坐标为(0,0, )，可得 = ( 1, 2, )．
易知 = (0,2,0)为平面 的一个法向量，
| |
所以|cos
2
, | = = ，
| || | √ 2 +5
2 √ 3 √ 3
由题意得 = sin60° = ，解得 = ∈ [0,2]．
2 2 3√ +5
√ 3
所以线段 的长为 ．
3
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1
22.(1)解：当 = 2时，函数 ( ) = (ln 3) ，可得 ′( ) = + ln 3 = ln 2，

所以 ′(e) = 1且 (e) = 2e，即切线的斜率为 = 1，切点为(e, 2e)，
所以 = ( )在点(e, (e))处的切线方程为 + 2e = ( e)，即 + + e = 0．
1
(2)解：因为函数 ( ) = (ln 1), > 1，可得 ′( ) = + ln 1 = ln ，

①当 ≤ 0时，由 > 1时，可得 ′( ) = ln > 0，
所以函数 ( )的单调增区间是(1,+∞)，无单调减区间；
②当 > 0时，令ln = 0，解得 = e ，
当1 < < e 时， ′( ) < 0；当 > e ， ′( ) > 0，
所以函数 ( )的单调减区间是(1, e )，单调增区间是(e , +∞)，
综上：当 ≤ 0时， ( )的单调增区间是(1,+∞)，无单调减区间；
当 > 0时，函数 ( )的单调减区间是(1, e )，单调增区间是(e , +∞)，
(3)解：因为对于任意 ∈ [e, e2]，都有 ( ) < 4ln 成立，
所以( 4)ln ( + 1) < 0对于 ∈ [e, e2]恒成立，
( 4)ln
即 + 1 > 对于 ∈ [e, e2]恒成立，

( 4) ′ 4ln + 4令 ( ) = ，则 ( ) = ，
2
4
令 ( ) = 4ln + 4, ∈ [e, e2]，可得 ′( ) = + 1 > 0，

所以 ( )在区间[e, e2]上单调递增，故 ( )min = (e) = 4 + e 4 = e > 0，即
′( ) > 0，
8
所以 ( )在区间[e, e2]上单调递增，所以 ( ) = (e2max ) = 2 ， e2
( 4)ln
要使 + 1 > 对于 ∈ [e, e2
8
]恒成立，只需 + 1 > ( )max，即 + 1 > 2 2，所以实数 的取值 e
8
范围是(1 ,+∞)．
e2
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