资源简介

天津市滨海新区塘沽第二中学 2026届高三上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.设全集 = {1,2,3,4,5,6,7}， = {1,2,3}， = {2,3,6,7}，则 U( ∪ ) =( )
A. {6} B. {4,5} C. {1,2,3,6,7} D. {1,2,3,4,5,7}
2.已知 ∈ R，则“ 2 > 36”是“ > 6”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设 = 40.4， = log0.40.5， = log50.4，则 ， ， 的大小是( )
A. > > B. < < C. > > D. < <
2
4.某同学用摄影机记录了迁徙中的某种候鸟在某一时刻的飞行姿态如图所示，如果用函数 +4| |+1 ( ) =
2+1
的部分图象来描绘候鸟某一时刻翅膀的飞行姿态，则 ( )的图象大致是( )
A. B.
C. D.
π
5.若直线 + + 1 = 0的倾斜角的大小为 ，则实数 =( )
6
√ 3 √ 3
A. √ 3 B. C. D. √ 3
3 3
6.设 , 是不同的直线， ， ， 是不同的平面，则下面说法正确的是( )
第 1 页，共 9 页
A. 若 // ， ，则 // B. 若 ⊥ ， // ，则 ⊥
C. 若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D. 若 ⊥ ， // ，则 ⊥
7.已知空间三点 (1,0,1)， (0,1,0)， (1,1,1)，则点 到直线 的距离是( )
√ 2 √ 3 √ 6 √ 2
A. B. C. D.
3 3 3 2
3+4i
8.已知复数 = ，则| i| =( )
2+i
A. 4 B. 2√ 2 C. 2 D. 4√ 2
9.已知圆 : 2 + 2 4 2 4 = 0，直线 : + 3 = 0，则直线与圆相交弦长的最小值为( )
A. 4 B. 2 C. 6 D. 2√ 2
10.在一次劳动技术课上，某12人的小组中的同学们利用图(一)的棱长为8cm的正方体胶泥作为原料，每人
制作一个图(二)的冰激淋胶泥模型(上部分为一个半球，下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥)，则制
作完成后剩下的胶泥约为( )(忽略制作过程中的损耗，π ≈ 3.14)
A. 8.7cm3 B. 9.6cm3 C. 10.6cm3 D. 12.4cm3
二、填空题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40分。
11.复数(3 7i)(7 + i)的虚部为 ．
5
12.若二项式( 2
2
+ ) 展开式中的常数项为160，则 = ．
√
13.若一个圆锥的轴截面是面积为4√ 3的等边三角形，则该圆锥的表面积为 ．
14.已知直线 经过点 ( 1,0)，圆 : 2 + 2 + 2 6 + 6 = 0，若直线 与圆 相切，则直线 的方程为
15.在平面直角坐标系 中，已知直线 : = + 2与圆 2 + 2 2 = 0相交于 ， 两点，则直线 的倾
斜角为 ，弦 的长度为
16.已知圆 : 2 + 2 2 2 2 = 0与直线 : + = 0，若直线 与圆 相交于 ， 两点，且
为等边三角形，则圆心 的坐标为 ， = ．
17.若直线 1: + 2 6 = 0与直线 2: + ( 1) 1 = 0平行，则直线 1与 2的距离为 ．
第 2 页，共 9 页
18.已知三棱锥 的所有顶点都在一个球面上且 ⊥平面 ， = = ，∠ = 120°，且
底面 的面积为2√ 3，则此三棱锥外接球的表面积是 ．
三、解答题：本题共 4小题，共 50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.在 中，角 , , 所对的边分别是 , , .已知 = √ 39， = 2， = 120°．
(1)求sin 的值；
(2)求 的值；
(3)求cos( )的值．
20.如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， ⊥ ， = = 2， 1 = 3，点 ， 分别
在棱 1和棱 1上，且 = 1， = 2， 为棱 1 1的中点．
(1)求证： 1 //平面 1 ；
(2)求直线 与平面 1 所成角的正弦值；
(3)求平面 1 与平面 1 夹角的余弦值．
21.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 cos = (3 )cos ．
(1)求cos 的值；
π
(2)若 = 1, = 2，求sin (2 + )的值；
6
(3)若 的面积为3√ 2，且 + = √ 3 ，求 的周长 ．
1
22.如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，∠ = 90°， // ， = = = =
2
1
1， 是 上的点，且 = ．
5
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
第 3 页，共 9 页
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
7
(3)在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离是 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明
12
理由．
第 4 页，共 9 页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. 46
12.2
13.12
14. = 1或5 + 12 5 = 0
15.135
；√ 2
16.(1,1) ； ； ； ；
； ± √ 6
6√ 5 6
17. / √ 5
5 5
18.40π
sin 2×sin120° √ 13
19.解：(1)由正弦定理有： = sin = = = ，
sin sin √ 39 13
√ 13
所以sin = ；
13
1
(2)由余弦定理有： 2 = 2 + 2 2 cos120° = 4 + 2 2 × 2 × ( ) = 39，
2
即 2 + 2 35 = 0，解得 = 5或 = 7(舍去)，
所以 = 5；
√ 13 1 11
(3)由(1)有sin = ，所以cos2 = 1 2sin2 = 1 2 × = ，
13 13 13
又 = 120°，所以0° < < 60°，
第 5 页，共 9 页
1 2√ 39
所以cos = √ 1 sin2 = √ 1 = ，
13 13
√ 13 2√ 39 4√ 3
所以sin2 = 2sin cos = 2 × × = ，
13 13 13
又 = 180° ( + ) = 60° ， = 2 60°，
11 1 4√ 3 √ 3 23
所以cos( ) = cos(2 60°) = cos2 cos60° + sin2 sin60° = × + × = ．
13 2 13 2 26
20.解：(1)由题意，以 为原点，以 ， ， 1所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为 = = 2， 1 = 3， = 1， = 2， 为棱 1 1的中点，
可得 (0,0,0)、 (2,0,0)、 (0,2,0)、 1(0,0,3)、 1(2,0,3)、 1(0,2,3)、 (2,0,1)、 (0,0,2)、 (1,1,3)，
则 1 = (1,1,0)，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
因为 1 = (0,2,1)， = (2,0, 1)，

且{ 1
= 0 2 + = 0
，可得{ ,
= 0 2 = 0
取 = 1，则 = 1， = 2，所以 = (1, 1,2)，
则 1 = 0，故 1 ⊥ ，
因为 1 平面 1 ，所以 1 //平面 1 ．
(2)由(1)可得 = (1, 1,2)为平面 1 的一个法向量，
又 = ( 2,2,0)，
4 √ 3
所以cos , = = =
| | | | 2√ 2×√ 6 3
√ 3
所以直线 与平面 1 所成角的正弦值为 ． 3
(3)易知 = (2,0,0)是平面 1 的一个法向量，
第 6 页，共 9 页
2 √ 6
则cos , = = =
| | | | 2×√ 6 6
√ 6
所以平面 1 与平面 1 夹角的余弦值为 ． 6
21.解：(1)解法1：因为 cos = (3 )cos ，

由正弦定理 = = 得sin cos = (3sin sin )cos
sin sin sin
即3sin cos = sin cos + sin cos = sin( + ) = sin(π ) = sin ，
1
因为 ∈ (0, π)，则sin > 0，故cos = ；
3
解法2：因为 cos = (3 )cos ，
2
+ 2 2 2
2
+ 2
由余弦定理得 × = (3 ) × ，
2 2
2
整理得2 = 3 2 + 3 2 3 2，可得 2 + 2 2 = ，
3
2 2 + 2 1
由余弦定理可得cos = = ．
2 3
1 2√ 2
(2)因为cos = ，且 ∈ (0, π)，则sin = √ 1 cos2 = ，
3 3

∵ = , = 1, = 2，
sin sin
1 2 √ 2
∴ = , ∴ sin = ，
sin 2√ 2 3
3
π √ 7
∵ < ∴ ∈ (0, ) ∴ cos = ．
2 3
√ 2 √ 7 2√ 14
∴ sin2 = 2sin cos = 2 × × = ，
3 3 9
√ 7 5
∴ cos2 = 2(cos )2 1 = 2 × ( ) 12 = ，
3 9
π π π 2√ 14 √ 3 5 1 2√ 42+5
∴ sin (2 + ) = sin2 cos + cos2 sin = × + × = ．
6 6 6 9 2 9 2 18
1 √ 2
(3) ∵ = sin = = 3√ 2, ∴ = 9， 2 3
因为由余弦定理得2 cos = 2 + 2 2，
于是( + )2 2 = 2 + 2 2 + 2 = 2 (cos + 1) = 24，
因为 + = √ 3 ，则( + )2 2 = 2 2 = 24，所以 = 2√ 3，
因此 + = √ 3 = 6，于是 的周长 + + = 6 + 2√ 3．
22.解：(1)由 ⊥平面 ，∠ = 90°，结合 , 平面 ，
第 7 页，共 9 页
故 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，
以 为原点，分别以 , , 为 , , 轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示：
1
由 = = = = 1有： (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,2,0), (0,0,1)，
2
所以 = (1,0,0), = (0,2, 1), = (0,0,1)，
1 2 1 2 1 2 4
由 = = (0, , )，所以 = + = (0,0,1) + (0, , ) = (0, , )，
5 5 5 5 5 5 5
所以 = 1 × 0 + 0 × 2 + 0 × ( 1) = 0，即 ⊥ ，
所以
2 4
= 0 × 0 + × 2 + × ( 1) = 0，即 ⊥ ，
5 5
又 ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
2 4
(2)由(1)有 = (0, , ) , = (1,0,0), = (1,1,0)，
5 5
设平面 的法向量为 = ( , , )，
2 4 = + = 0
所以{ 5 5 ，令 = 1，得 = (0,2, 1)，
= = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，

2 4
= + = 0
所以{ 5 5 ，令 = 1，得 = ( 2,2, 1)，
= + = 0
设平面 与平面 的夹角为 ，
→ →
→ → | | |0×( 2)+2×2+( 1)×( 1)| √ 5
所以cos = |cos< , >| = → → = = ，
| || | √ 5×3 3
√ 5
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ；
3
7
(3)假设线段 上存在点 ，使得点 到平面 的距离是 ，
12
设 = = (1,0, 1),0 ≤ ≤ 1，所以 ( , 0,1 ), = ( 1, 1,1 )，
第 8 页，共 9 页
由(2)知平面 的一个法向量为 = ( 2,2, 1)，
所以 = 2 × ( 1) + 2 × ( 1) + ( 1) × (1 ) = 1，
| | | 1| 7 3
所以点 到平面 的距离为 = = = ，解得 = ，
| | 3 12 4

所以当 = 3时，存在点 满足题意．

第 9 页，共 9 页

展开更多......

收起↑