资源简介

四川省广安友实学校 2026届高三上学期 10月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { ∣ 2 < 3}, = { 1,0,1,2,3}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,1,2,3} B. { 1,0,1,2} C. { 1,0,1} D. {0,1,2}
1 1
2.设 , ∈ ，则“ > 是“ < ”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.记等比数列{ }的前 项和为 ，若 = 2
4，则 1 =( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4.已知等比数列{ }中， 1 + 3 = 2， 4 + 6 = 16，则 10 + 12 =( )
A. 26 B. 32 C. 512 D. 1024
2 π
5.已知sin + √ 3cos = ，则cos (2 ) =( )
3 3
63 7 24 4
A. B. C. D.
65 9 25 5
+3
6.函数 ( ) = e e + lg 是( )
3
A. 偶函数且在(0,3)上单调递减 B. 奇函数且在( 3,0)上单调递减
C. 偶函数且在(0,3)上单调递增 D. 奇函数且在( 3,0)上单调递增
1 1
7.已知sin( + ) = ，sin( ) = ，则cos2 cos2 =( )
2 3
1 1 1 1
A. B. C. D.
36 36 6 6
e , ≤ 0,
8.已知函数 ( ) = { ( ) = 3,方程 ( ( )) = 3 ( )有两个不同的根，分别是 1, 2,则ln , > 0,
1 + 2 =( )
A. 0 B. 3 C. 6 D. 9
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.已知数列{ }满足 = , = 1 +1 , ∈
，则( )
2 2 +3
1
A. 3 = 26
1 1 1 1
B. 若 + + + + = 36，则 = 3
1 2 3
第 1 页，共 7 页
C. = 3 1
1 1
D. 若数列{ }满足 = 3 +1
，记 为{ }的前 项和，则 = 4 2 3 +1 2
10.已知函数 ( )的定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞), ( ) = ( ) + ( ) 1，且当 > 1时， ( ) > 1，则( )
A. (1) = 1
B. ( )是偶函数
1 1
C. ( ) + ( ) + (1) + (2) + (3) = 3
3 2
1
D. 不等式 (2) + ( ) < ( + 1) + 1的解集为( , 0) ∪ (0,1)
3
11.已知函数 ( ) = 3 |3 2 3| ，则( )
A. ( )只有1个极小值点
B. 曲线 = ( )在点(3, (3))处的切线斜率为9
C. 当 ( )有3个零点时， 的取值范围为( 3,1)
D. 当 ( )只有1个零点时， 的取值范围为( ∞, 3) ∪ (1, +∞)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
112.已知 , ∈ R，且 3 + 6 = 0，则2 + 的最小值为 ． 8
sin10°
13. = ．
1 √ 3tan10°
2
14.已知不等式 e4 + (8 2 ) 2 2 < e + 2ln 对任意 > 0恒成立，则实数 的取值范围
为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数 ( ) = 2( 1)e 2．
(1)求曲线 = ( )在 = 0处的切线方程；
(2)若 = e2，求函数 ( )在[1,3]上的最值．
16.(本小题15分)
3 3
已知数列{ }的首项 1 = ，且满足

5 +1
= ．
2 +1
1
(1)求证：数列{ 1}为等比数列．

1 1 1 1
(2)若 + + + + < 100，求满足条件的最大整数 ．
1 2 3
17.(本小题15分)
第 2 页，共 7 页
已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴正半轴重合，终边在直线 = 2 上.
(1)求cos 2 的值；
√ 10
(2)若 ∈ (0, ) , sin ( + ) = , < < 0，求sin( 2 )的值．
2 4 10 2
18.(本小题17分)
已知{ }是各项均为正数的等比数列，且 1 + 2 = 3, 3 2 = 2
(Ⅰ)求数列{ }的通项公式；
(Ⅱ)如图，在平面直角坐标系 中，依次连接点 1( 1, 1), 2( 2, 2) … +1( +1, + 1)得到折线
1 2 … +1，求由该折线与直线 = 0， = 1, = +1所围成的区域的面积 ．
19.(本小题17分)
+
已知函数 ( ) = ( ∈ )
ln
(1)若曲线 = ( )在点(e, (e))处的切线在 轴上的截距为 e，求 的值；
(2)若函数 = ( )存在唯一极值点，求 的取值范围；
(3)若函数 = ( )存在极大值，记作 ( )，求证：ln( ( )) + | | < 1．
第 3 页，共 7 页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
1
12.
4
1
13.
4
14. > 3
15.【详解】(1)由函数 ( ) = 2( 1)e 2，可得 ′( ) = 2 e 2 = 2 (e )，
可得 ′(0) = 0，且 (0) = 2，所以切线的斜率为 = 0，切点为(0, 2)，
则所求切线方程为 = 2．
(2)由(1)，当 = e2时，可得 ′( ) = 2 (e e2), ∈ [1,3]，
当 ∈ [1,2)时， ′( ) < 0，函数 ( )在[1,2)上单调递减，
当 ∈ (2,3]时， ′( ) > 0，函数 ( )在(2,3]上单调递增，
而 (1) = e2， (2) = 2e2， (3) = 4e3 9e2，
故所求最大值为4e3 9e2，最小值为 2e2．
3 1 2 +1 1 1 2
16.【详解】(1)由题意，数列{ }满足 +1 =
，可得 = = + ，
2 +1 +1 3 3 3
1
1
1 1 1 2 1 1
可得 1 = + 1 = ( 1)，即 +1
1
= ，
+1 3 3 3
1
1 3

3 1 2
又由 1 = ，所以 1 = ， 5 1 3
第 4 页，共 7 页
1 2 1
所以数列{ 1}表示首项为 ，公比为 的等比数列．
3 3
1 2 1 1 1 2 1 1
(2)由(1)可得 1 = × ( ) 1 = 2 ( ) ，所以 = × ( ) 1 = 2 ( ) + 1
3 3 3 3 3 3
1
设数列{ }的前 项和为 ，

1 1 1 1 1 1 1 1
则 = + + + + = 2( + 3 32
+ 2 + + ) +
1 2 3 3 3
1 1
[1 ( ) ] 1
= 2 × 3 31 + = + 1 ，
1 3
3
1
若 < 100，即 + 1 < 100， 3
1
因为函数 = + 1 为单调递增函数， 3
所以满足 < 100的最大整数 的值为99．
cos2 sin2 1 tan2 3
17.【详解】(1)依题意tan = 2，故cos2 = cos2 sin2 = = = ．
cos2 +sin2 1+tan2 5
(2)由(1)知tan = 2，
sin
∴ { = 2
1
cos , ∴ cos
2 = ,
sin2
5
+ cos2 = 1
√ 5 2√ 5
∵ ∈ (0, )，∴ cos = , sin = ，
2 5 5
√ 10
∵ sin ( + ) = , < < 0，∴ + ∈ ( , )，
4 10 2 4 4 4
3√ 10
∴ cos ( + ) = ,
4 10
√ 2 √ 2
∴ cos = cos [( + ) ] = cos ( + ) + sin ( + )，
4 4 2 4 2 4
√ 2 3√ 10 √ 2 √ 10 2√ 5
= + = ，
2 10 2 10 5
2
2√ 5 √ 5
∴ sin = √ 1 cos2 = √ 1 ( ) = .
5 5
√ 5 2√ 5 4
∴ sin2 = 2sin cos = 2 ( ) = ,
5 5 5
2
2√ 5 3
cos2 = 2cos2 1 = 2 ( ) 1 = ,
5 5
2√ 5 3 √ 5 4 2√ 5
∴ sin( 2 ) = sin cos2 cos sin2 = × × ( ) = ．
5 5 5 5 5
第 5 页，共 7 页
18.【详解】( )设数列{ }的公比为 ，由已知 > 0．
1 + 1 = 3
由题意得{ 2 ，所以3
2 5 2 = 0，
1 1 = 2
因为 > 0，所以 = 2, 1 = 1，
因此数列{ }的通项公式为 = 2
1.
( )过 1, 2, 3, … … +1向 轴作垂线，垂足分别为 1, 2, 3, … … +1，
由( )得 +1 = 2
2 1 = 2 1 .
记梯形 +1 +1 的面积为 ．
( + +1)
由题意 = × 2 1 = (2 + 1) × 2
2，
2
所以
= 1 + 2 + 3 + … +
= 3 × 2 1 + 5 × 20 + 7 × 21 + … + (2 1) × 2 3 + (2 + 1) × 2 2 ①
又2 = 3 × 2
0 + 5 × 21 + 7 × 22 + … + (2 1) × 2 2 + (2 + 1) × 2 1②
① ②得
= 3 × 2 1 + (2 + 22+. . . . . . +2 1) (2 + 1) × 2 1
3 2(1 2 1)
= + (2 + 1) × 2 1.
2 1 2
(2 1)×2 +1
所以 = . 2
+
+ ln ln
19.【详解】(1)由 ( ) = ，则 (e) = + e，求导可得 ′( ) = = ，
ln 2 2ln ln
′ e e 所以切线斜率 = (e) = = ，切线方程为 (e) = ( e)，
e e e

整理可得 = + 2 + e，令 = 0，解得 = 2 + e，则2 + e = e，解得 = e．
e
ln
(2)由(1)可知函数 ( )的导数 ′( ) = 2 ，
ln
由函数 ( )存在唯一极值点，则导数 ′( )存在唯一变号零点，
即方程 ln = 0存在唯一根，整理可得 ln = ，
令 ( ) = ln ，即函数 ( )的图像与直线 = 存在唯一交点，
求导可得 ′( ) = ln ，由当0 < < 1时 ′( ) < 0，当 > 1时 ′( ) > 0，
则函数 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，
由当0 < < 1时， ( ) < 0，当1 < < e时， ( ) < 0，当 > e时， ( ) > 0，则 ≥ 0，
第 6 页，共 7 页
当 ≥ 0时，设方程 ln = 的唯一根为 0，
当 ∈ (0,1) ∪ (1, 0)时， ln < ，即
′( ) < 0，当 > 0时，
′( ) > 0，
则函数 ( )存在唯一极值点 = 0，
所以 的取值范围为[0, +∞)．
ln
(3)由(1)可知函数 ( )的导数 ′( ) = 2 ，令 = 1，则 ln = 1，
ln
当 1 < < 0时，易知方程 ln = 存在两个根，设为 1, 2，则0 < 1 < 1 < 2 < e，
当0 < < 1时， ln > ，即
′( ) > 0，当 ∈ ( 1, 1) ∪ (1,
′
2)时， ( ) < 0，当 > 2时，
′( ) >
0，
+
则函数 ( )在 = 1处取得极大值，由 1ln 1 1 = ，则ln
1
1 = ， 1
1+ + 所以 ( ) = ( 1) = =
1 = ，
ln + 1 1
1
1
故ln( ( )) + | | 1 = ln 1 + | 1ln 1 1| 1 = ln 1 1ln 1 + 1 1 = (1 1)(ln 1 1)，
由0 < 1 < 1，则(1 1)(ln 1 1) < 0，故ln( ( )) | | < 1．
第 7 页，共 7 页

展开更多......

收起↑