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海南省海口市琼山中学 2026届高三上学期第二次月考数学
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.设集合 = { ∣ = lg }， = { ∣ = √ }，则 ∩ =( )
A. { ∣ ≥ 0} B. { ∣ > 0} C. R D.
2.设 , ∈ ，则“ > ”是“ > | |”的( )
A. 充要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知定义在 上的奇函数 ( )满足： > 0时， ( ) = e 1 + ，则 ( 2) + (0) =( )
3
A. e + B. 0 C. e 1 D. e 2
4
1
4.函数 ( ) = e +1 2 1的零点所在的区间为( ) +2
A. ( 2, 1) B. ( 1,0) C. (0,1) D. (1,2)
3 3
5.函数 ( ) = 的大致图象是( )
2| |
A. B.
C. D.
log ( + 1), > 0,
6.已知 > 0，且 ≠ 1.若函数 ( ) = { 2 在 上单调递减，则实数 的取值范围是 2 + 1 2 , ≤ 0
( )
1 1
A. (0,1) B. (2,+∞) C. (0, ] D. [ , 1)
2 2
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7.已知函数 ( )的定义域为 , ( ) + (2 ) = 0, ( + 2)为偶函数，且 (2) = 1，则 (2025) +
(2026) =( )
A. 47 B. 1 C. 1 D. 2
ln2 1 2ln3
8.已知 = ， = (e = 2.718. ..为自然对数的底数)， = ，则 ， ， 的大小关系为( )
2 e 9
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 , ∈ ，且 > ，则下列不等式一定成立的是( )
1 1
A. > 0 B. > C. 2 > 2 D. 3 > 3

10.设函数 ( ) = 3 3 2 9 + 1，则( )
A. ( )有极大值点
B. ( )仅有2个零点
C. ( )在点(0,1)处切线方程为9 + 1 = 0
D. ( )的对称中心是(1, 10)
11.已知正实数 , 满足 = + + 3，则( )
A. + 的最小值为6 B. 的最小值为20
1 1 2
C. + 的最小值为 D. + 2 的最小值为4√ 2 + 3
3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.计算：3log3π + √ (π 4)2 + lg2 + lg5 = ．
1
13.已知函数 ( ) = 3 + 2 sin ，则不等式 (2 2 1) + ( ) ≤ 0的解集为 ．
3
14.已知函数 ( ) = |2 3|，若关于 的方程[ ( )]2 2 ( ) + 3 = 0有4个不同的实数根，则 的取值
范围是
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某校为了加强本校中学生的身体素质，规定学校每学期都必须组织学生的跳高测试，要求跳过1.2米高才算
合格，否则体育成绩不达标，某班有甲、乙两位同学独立参加跳高测试，他们两人在每次试跳中能合格的
4 3
概率分别为 和 ，每人有两次试跳机会，且每次试跳是否成功互不影响．
5 4
(1)求甲能通过测试的概率；
(2)记 表示甲和乙试跳的次数之和，求随机变量 的分布列及数学期望 ( )．
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16.(本小题15分)
已知 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且2 sin = (2sin + sin ) + (2sin + sin ) ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 4, = 8，∠ 的角平分线交 于点 ，求 的长度．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 上，底面 为直角梯形， /\!/ ，∠ = 90°，平面 ⊥平面
1
， 为 的中点， 是棱 上的点(不含端点)， = = 2， = = 1， = √ 3．
2
(1)求证：平面 ⊥平面 ；

(2)若二面角 大小为30 ，求 的值．

18.(本小题17分)
2 2 √ 6
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 (2,0)，点(2, )在椭圆 上. 3
(1)求椭圆 的标准方程；
(2) 为坐标原点，设点 (3, )( > 0)，过 作 的垂线交椭圆于 , 两点.求 面积的最大值．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = ln + 2 ，
(1)若曲线 = ( )在(1, (1))处的切线方程为 = + ，求 , 的值；
(2)若 ( )在区间(1,2)上单调递增，求 的取值范围；
3 1
(3)求证：当 > 3时， ( )存在极大值，且极大值小于 ln2．
2 2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5
1
13.[ 1, ]
2
14.(√ 3, 2)
15.【详解】(1)记 表示甲第 次试跳通过测试，( = 1,2)，则“甲通过测试”表示为 1 + 1 2
4 4 4 24
∴ ( 1 + 1 2) = ( 1) + ( 1 2) = ( 1) + ( 1) ( 2) = + (1 ) × = ． 5 5 5 25
(2)记 表示乙第 次试跳通过测试，( = 1,2)，
4 3 3
( = 2) = ( 1 1) = × = ； 5 4 5
4 3 4 3 1 3 7
( = 3) = ( 1 1 + 1 1) = × (1 ) + (1 ) × = + = ； 5 4 5 4 5 20 20
4 3 1
( = 4) = ( 1 1) = (1 ) × (1 ) = ； 5 4 20
所以 的分布列为：

2 3 4
3 7 1

5 20 20
6 21 4 49
∴ ( ) = + + =
5 20 20 20
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16.【详解】(1)因为2 sin = (2sin + sin ) + (2sin + sin ) ，
由正弦定理得2 2 = 2 2 + + 2 2 + ，整理得 2 + 2 2 = ，
2 2 + 2 1
由余弦定理得cos = = = ，
2 2 2
2π
因为 ∈ (0, π)，所以 = ；
3
(2)在 中，
因为 = + ，
1 1 1
所以 sin = sin + sin ，
2 2 2 2 2
2π √ 3
sin 4×8×
3 2 32 8则 = π = = = ；
( + )sin √ 3(4+8)× 12 33 2
1
17.【详解】(1)证明：∵ /\!/ ， = ， 为 的中点，
2
∴四边形 为平行四边形，∴ // ，
又∵ ∠ = 90°，∴ ∠ = 90°，即 ⊥ ，
又∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ；
(2)解：∵ = ， 为 的中点，∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
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易知平面 的法向量为 = (0,0,1)，
又 = √ 3，∴ (0,0, √ 3)， ( 1,√ 3, 0)， = ( 1,√ 3, √ 3)， = (0,0, √ 3)，
设 = = ( , √ 3 , √ 3 )， ∈ (0,1)，
∴ = + = ( , √ 3 , √ 3 √ 3 )，又 = (0,√ 3, 0)，
= 0 + √ 3 + (√ 3 √ 3 ) = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ ，即{ ．
= 0 √ 3 = 0

令 = √ 3，得 = (√ 3, 0, )，
1

| | | | √ 3 3
∵二面角 为30 ，∴ cos30° = = 1 = ，解 = ，
| | | | 2 2 4
√ 2 1× (√ 3) +( )
1
即
3 3= ，∴ = ．
4 4
18.【详解】(1)由右焦点为 (2,0)，得 = 2，所以 2 = 2 + 2 = 2 + 4，
2
√
6 22
6
√ ( )3 4 2
又点(2, )在 上，所以 2 + 2 = 1，即 2 + 2 = 1， 3 3
2 = 2 + 4 2
联立{ 4 2 ，解得{ = 6,
2 + 2 = 1 2 = 23
2 2
所以椭圆 的标准方程为 + = 1．
6 2
(2)

因为 (3, )( > 0)， (2,0)，所以 = = ， 3 2
1
因为 ⊥ ，所以 = ，
1
故直线 的方程为 = ( 2)，即 = + 2，

2 2
联立{ + = 16 2 并整理得(3 + 2) 2 4 2 = 0，
= + 2
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4 2
设 ( 1, 1), ( 2, 2)，则 1 + 2 = , = ， 3+ 2 1 2 3+ 2
4 2 2 2√ 6√ 1+ 2
所以| 1 2| = √ ( 1 + 22) 4 √1 2 = ( ) + 4 = ， 3+ 2 3+ 2 3+ 2
1 1 2√ 6√ 1+ 2 2√ 6√ 1+ 2
所以 的面积 = | | | 1 2| = × 2 × = ， 2 2 3+ 2 3+ 2
2 2√ 6 2√ 6 2√ 6令 = √ 1 + > 1，则 2 = 2 1， = 2 = 2 ≤ = √ 3， 2+ + 2√ 2

2
当且仅当 = ，即 = √ 2, = 1时取等号，

所以 面积的最大值为√ 3．
1
19.【详解】(1)由 ( ) = ln + 2 可得 (1) = 1 ， ′( ) = + 2 ，

3 = 1 = 4
则 切 =
′(1) = 3 ，由题意，可得{ ，解得{ ,
1 = 1 + = 2
即 = 4, = 2；
1
(2)由 ( )在区间(1,2)上单调递增，可知 + 2 ≥ 0在区间(1,2)上恒成立，

1
即2 2 + 1 ≥ 0在区间(1,2)上恒成立，也即 ≤ 2 + 在区间(1,2)上恒成立．

1 1
因函数 ( ) = 2 + = 2( + )在区间(1,2)上为增函数，故 ( ) > (1) = 3，
2
则 的取值范围为( ∞, 3]；
′ 2
2 +1
(3)因 ( ) = ( > 0)，要使 ( )存在极大值，需使关于 的方程2 2 + 1 = 0有正实根，

±√ 2 8
而当 > 3时， = 2 8 > 0，此时方程有两正根为 = ，
4
′ √
2 8 +√ 2 8 ′ √
2 8 +√ 2 8
由 ( ) > 0可得0 < < 或 > ，由 ( ) < 0可得 < < ，
4 4 4 4
√ 2 8 +√ 2 8 √ 2 8 +√ 2 8
故函数 ( )在(0, )和( , +∞)上单调递增，在( , )上单调递减，
4 4 4 4
√ 2 8
故当 = 时，函数 ( )取得极大值．
4
√ 2 8 2 1
不妨设 = = ，由 > 3可得 + √ 2 8 > 3 + √ 32 1 = 4，即得0 < < ，
4 +√ 2 8 2
则 ( )的极大值为 ( ) = ln + 2 ，且因 > 3，则得ln + 2 < ln + 2 3 ，
3 1 2 3 1要证函数的极大值小于 ln2，只需证ln + 3 < ln2，
2 2 2 2
3 1 1 1 2 2 3 +1 ( 1)(2 1)
设 ( ) = ln + 2 3 + + ln2,0 < < ，则 ′( ) = + 2 3 = = ，
2 2 2
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1 1
因0 < < ，则有 ′( ) > 0，故函数 ( )在(0, )上单调递增，
2 2
1 1 1 3 3 1 1 1
则 ( ) < ( ) = ln + ( )2 + + ln2 = ( ln2) < 0，
2 2 2 2 2 2 2 2
3 1
即ln + 2 3 < ln2，
2 2
3 1
故 > 3时，函数 ( )的极大值小于 ln2．
2 2
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