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河北省唐山市遵化市新店子中学 2026届高三上学期 10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { 4,0,1,2,8}, = { ∣ 3 = },则 ∩ =( )
A. {0,1,2} B. {1,2,8} C. {2,8} D. {0,1}
2.命题 : > 1, 2 + 2 3 > 0，则 是( )
A. > 1, 2 + 2 3 ≤ 0 B. ≤ 1, 2 + 2 3 ≤ 0
C. > 1, 2 + 2 3 < 0 D. > 1, 2 + 2 3 > 0
3.已知函数 = ( )的图象如下，则 ( )的解析式可能为( )
| | | |
A. ( ) = B. ( ) = C. ( ) = 2 D. ( ) = 1 | | | | 1 1 2 1
4.设 = 4.2 0.2, = 4.20.2, = log4.20.2，则 , , 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.函数 = ( )的导函数 = ′( )的图象如图所示，则( )
A. 3是函数 = ( )的极小值点
B. 1是函数 = ( )的一个零点
C. 2是函数 = ( )的极大值点
D. 函数 = ( )在区间( 2, 1)上单调递减
2 2 , < 0
6.已知函数 ( ) = { 在 上单调递增，则 的取值范围是( ) + ln( + 1), ≥ 0
A. ( ∞, 0] B. [ 1,0] C. [ 1,1] D. [0, +∞)
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7.定义域为 的函数 ( )周期为4，且 ( )的图象关于 轴对称，当 ∈ ( 2,0)时， ( ) = 2 1，则
(2025 + log29) =( )
1 17 1 17
A. B. C. D.
9 9 8 8
e +2sin
8.设函数 ( ) = 2 ，则曲线 = ( )在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( ) 1+
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
5
9.已知复数 = ，则( )
3 4i
3 4 3 4
A. = + i B. 的共轭复数为 + i
5 5 5 5
C. | | = 1 D. > 0
10.下列不等关系正确的是( )
2 2 1 1A. 若 > ，则 > B. 若 > 且 > ，则 < 0


C. 若 > > 0且 < 0，则 2 > 2； D. 若 > > 0 > > ，则 >
11.已知 ( )是定义在 上的奇函数，且当 > 0时， ( ) = ( 2 3) + 2，则( )
A. (0) = 0 B. 当 < 0时， ( ) = ( 2 3) 2
C. ( ) ≥ 2当且仅当 ≥ √ 3 D. = 1是 ( )的极大值点
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知函数 ( ) = ( 2 3 3) 是幂函数，则 的值为 ．
1 1
13.设 , > 0, + = 1，则 + 的最小值为 ．

14.若曲线 = + 在点(0,1)处的切线也是曲线 = ln( + 1) + 的切线，则 = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求下列各式的值：
2 1
3 23 2√ 2 1 2
(1) (3 ) + (0.008) 3 × ÷ ( ) (π 3)0；
8 5 50
1
(2)(lg5)2 + lg2lg5 + lg4 log34 × log23． 2
1 1 + 1
(3)已知 2 2 = 2√ 3，求式子 1 1的值．
2 + 2
16.(本小题15分)
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已知集合 = { | 2 ≤ 1 ≤ 5}、集合 = { | + 1 ≤ ≤ 2 1}( ∈ ).
(1)若 ∩ = ，求实数 的取值范围；
(2)设命题 ： ∈ ；命题 ： ∈ ，若命题 是命题 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 2 3 2 + 12 + ，当 = 2时， ( )取得极小值5．
(1)求 , 的值；
(2)当0 ≤ ≤ 3时，求 ( )的最小值．
18.(本小题17分)
+
已知函数 ( ) =
2
是定义在[ 1,1]上的奇函数，且 (1) = 1．
+1
(1)求 , 的值；
(2)判断 ( )的单调性，并用定义法证明你的结论；
(3)求使 ( 1) + ( 2 1) < 0成立的实数 的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 2 + ln ( + 2) , ( ) = ln + 1, ∈ ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若 ( )有两个零点，求 的取值范围；
(3)若 ( ) + 1 ≥ ( ) + ln 对任意 ≥ 1恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1或4
13.4
14.ln2
2
3 2 8 3 2√ 2 1
15.【详解】(1)原式= [( )3] 3 + ( ) × × 1
2 1000 5 √ 50
2
2 3×( )3 3×( ) 2 3 2√ 2 1
= ( ) 3 + ( ) × × 1
2 10 5 5√ 2
3 2 1 2 4 13= ( ) + ( ) 2 × 1 = + 1 = ．
2 5 25 9 9
(2)原式= lg5(lg5 + lg2) + lg2 2log32 × log23
= lg5 + lg2 2 = 1 2 = 1．
1 1 1 1 2
(3) ∵ 2 2 = 2√ 3，∴ ( 2 2) = 12，∴ + 1 = 14，
1 1 2 1 1 2 1 1
∵ ( + ) = ( ) + 4 = 16且 +
1
2 2 2 2 2 2 = √ + > 0，
√
1 1 + 1 14 7
∴ + 2 2 = 4，∴ 1 1 = = ． 4 2
2

+ 2
16.【详解】(1)由题意可知 = { | 2 ≤ 1 ≤ 5} = { | 1 ≤ ≤ 6}，
又 ∩ = ，当 = 时， + 1 > 2 1，解得 < 2，
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当 ≠ 时， + 1 ≤ 2 1， + 1 > 6或2 1 < 1，解得 > 5，
综上所述，实数 的取值范围为( ∞, 2) ∪ (5, +∞)；
(2) ∵命题 是命题 的必要不充分条件，∴集合 是集合 的真子集，
当 = 时， + 1 > 2 1，解得 < 2，
+ 1 ≤ 2 1
7
当 ≠ 时，{ + 1 ≥ 1 (等号不能同时成立)，解得2 ≤ ≤ ，
2
2 1 ≤ 6
7
综上所述，实数 的取值范围为( ∞, ]．
2
17.【详解】(1)由题意函数 ( ) = 2 3 2 + 12 + ，当 = 2时， ( )取得极小值5，
可得 ′( ) = 6 2 2 + 12，
所以 ′(2) = 24 4 + 12 = 0，得 = 9，
此时 ′( ) = 6 2 18 + 12 = 6( 1)( 2)；
当 ∈ (1,2)时， ′( ) < 0，当时 ∈ ( ∞, 1) ∈ (2, +∞)， ′( ) > 0，
所以 ( )在 = 2时取极小值，符合题意；
所以 = 9， ( ) = 2 3 9 2 + 12 + .又 (2) = 4 + = 5，所以 = 1．
即实数 = 9， = 1；
(2)由(1)可得 ( ) = 2 3 9 2 + 12 + 1，所以 ′( ) = 6( 1)( 2)，
令 ′( ) = 0解得 = 1或 = 2，
′( )、 ( )随 的变化情况如下表：
[0,1) (1,2) (2,3]
1 2
′( ) + +
0 0
( )
递增 极大值 递减 极小值 递增
而 (0) = 1， (2) = 5，由此可得函数的最小值为1．
18.【详解】(1)由题意可知 (0) = 0，故 = 0，

又由 (1) = 1可得 (1) =
12
= 1，解得 = 2；
+1
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2
所以 ( ) = , ∈ [ 1,1]，
2+1
2 2
此时 ( )定义域关于原点对称，且 ( ) = 2 = = ( )，
( ) +1 2+1
故 ( )是定义在[ 1,1]上的奇函数，满足题意，
所以 = 2, = 0．
(2) ( )在[ 1,1]上单调递增，证明如下：
取任意 1, 2 ∈ [ 1,1]，且 1 < 2，
2 2 2 1(
2
2+1) 2 2(
2
( ) ( ) 1 2 1
+1) 2( 1 2)(1 则 = = = 1
2)
1 2 2+1 2+1 ( 2+1)( 2 2
；
1 2 1 2+1) ( 1+1)(
2
2+1)
因为 1, 2 ∈ [ 1,1]，且 1 < 2，
所以 < 0, 2 + 1 > 0, 21 2 1 2 + 1 > 0， 1 2 < 1，
所以1 1 2 > 0，
2( )(1 )
所以 ( ) ( ) = 1 2 1 21 2 < 0，即 ( 1) < ( 2)，
( 2 21+1)( 2+1)
因此 ( )在[ 1,1]上单调递增．
(3)由(1)(2)可知， ( )是在[ 1,1]上单调递增的奇函数，
所以由 ( 1) + ( 2 1) < 0可得 ( 1) < ( 2 1) = (1 2)，
1 ≤ 1 ≤ 1 0 ≤ ≤ 2
因此需满足{ 1 ≤ 2 1 ≤ 1，解得{ √ 2 ≤ ≤ √ 2，即0 ≤ < 1；
1 < 1 2 2 < < 1
故实数 的取值范围为[0,1)．
19.【详解】(1) ( )的定义域为(0, +∞)，
2 2 ( + 2) + ( 1)(2 )
′( ) = 2 + ( + 2) = = ．

当 ≤ 0时， ∈ (0,1)时， ′( ) < 0； ∈ (1, +∞)时， ′( ) > 0；
当 = 2时， ∈ (0, +∞)时， ′( ) ≥ 0；

当0 < < 2时， ∈ ( , 1)时， ′( ) < 0； ∈ (0, ) ∪ (1, +∞)时 ′( ) > 0；
2 2

当 > 2时， ∈ (1, )时 ′( ) < 0； ∈ (0,1) ∪ ( , +∞)时 ′( ) > 0；
2 2
综上， ≤ 0时， ( )的递减区间是(0,1)，递增区间是(1, +∞)；
= 2时， ( )的递增区间是(0, +∞)，无递减区间；
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0 < < 2时， ( )的递增区间是(0, )和(1, +∞)，递减区间是( , 1)；
2 2

> 2时， ( )的递增区间是(0,1)和( , +∞)，递减区间是(1, )．
2 2
(2)令 ( ) = 0得 ln = 1，
设 ( ) = ln ，则 ′( ) = ln ，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0, ( )在(0,1)上递减；当 ∈ (1, +∞)时， ′( ) > 0, ( )在(1, +∞)上递增，
则 ( )min = (1) = 1,．
又因 → 0+时， ( ) → 0 , → +∞时， ( ) → +∞,作出函数 ( ) = ln 的图象，
由图可得，要使直线 = 1与函数 ( )的图象有两个交点，须使 1 < 1 < 0，
即0 < < 1，故 的取值范围是(0,1)．
(3)由 ( ) + 1 ≥ ( ) + ln 得 2 ln + ≥ 0，

因 ≥ 1，即得， 1 ln + ≥ 0( )，

易得 = 1时，不等式成立，

设 ( ) = 1 ln + ， > 1，

2
′ 1 ( 1) 则 ( ) = 1 = =
2 2 2
，
当 ≤ 0时， ′( ) > 0，函数 ( )在(1, +∞)上单调递增，故 ( ) > (1) = 0，( )恒成立；
当 > 0时，设 ( ) = 2 ，
则方程 2 = 0有两根 1, 2， 1 + 2 = 1, 1 2 = < 0，可得 1 < 0, 2 > 1,
当1 < < 2时， ( ) < 0，则
′( ) < 0， ( )在(1, 2)上单调递减；
又 (1) = 0，所以当1 < < 2时， ( ) < 0，不满足条件，
综上， 的取值范围是( ∞, 0]．
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