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期中综合复习
数学浙教版八年级上册
通过完成导学任务，请同学展示期中的知识结构图.
期中
复习
尺规作图
线段垂直平分线性质
角平分线性质
三角形的性质
边的关系
三条重要线段
角的关系
图形的轴对称
定义、性质
利用轴对称求两点之间最短距离
等腰三角形
等腰三角形定义、性质、判定定理
等边三角形定义、性质、判定定理
逆命题和逆定理
线段垂直平分线定理的逆定理
直角三角形
性质与判定
全等的判定
勾股定理及其逆定理
相关概念
定义、命题、证明
全等三角形
性质
判定方法
三角形内角和定理
三角形内角和外角
应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系.
注意
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形外角性质
三角形的内角和等于180°.
三角形的分类
分类
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
（三个内角都是锐角）
（有一个内角是直角）
（有一个内角是钝角）
三角形按角分类
三角形按边分类
三边都
不相等的三角形
等腰
三角形
等边
三角形
定理
三角形三边关系
(1)理论依据：两点之间线段最短.
(2)三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围.
(3)证明线段之间的不等关系.
注意
三角形任意两边之和大于第三边.
三条重要线段
三角形的重要线段
(1)一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心.
(2)一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点.
(3)三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：
①锐角三角形交点在三角形内；
②直角三角形交点在直角顶点；
③钝角三角形交点在三角形外.
概念
命题、定理与证明
定义：一般地，能明确说明某一名称或术语的意义的句子，叫作该名称或术语的定义.
命题：一般地，判断一件事情的句子，叫做命题.
①命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论.
②判断一个命题是假命题可以运用举反例.
注意
定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.
证明：判断一个命题是真命题，要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实，定理，一步步推得结论的过程叫做证明.
性质
全等三角形的性质与判定
全等三角形对应边相等，对应角相等.
判定
(1)边边边(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等.
(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等；②全等三角形的周长相等，面积相等.
注意
AAA、SSA不能判定三角形全等.
角平分线和线段垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线
线段垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
角平分线
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.折叠后重合的点叫作对称点.
轴对称图形
轴对称
性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段.
轴对称：由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫作图形的轴对称.这条直线叫作对称轴.
图形的轴对称
性质：成轴对称的两个图形是全等图形.
区别：(1)轴对称图形是指一个图形，轴对称是两个图形；
(2)轴对称图形对称轴不一定只有一条，轴对称只有一条对称轴.
区别与联系
轴对称
联系：(1)都能沿着某条直线折叠后重合；都有对称轴．
(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.
概念
等腰三角形
等腰三角形：有两边相等的三角形叫作等腰三角形.
等边三角形：三边相等的三角形叫做等边三角形.
等腰三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，就是顶角的平分线或是底边的高、中线.
等边三角形也是轴对称图形，对称轴有三条，等边三角形是持殊的等腰三角形.
注意
等腰三角形
性质
①等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
②等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”)
③等边三角形的各个内角都等于60°.
判定
①有两条边相等的三角形是等腰三角形.
②有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).
③三个角都相等的三角形是等边三角形；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
逆命题
逆命题和逆定理
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题.
如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.
逆定理
每个命题都有逆命题,但每个定理不一定有逆定理.
如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.
注意
判定
线段垂直平分线的判定
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等;逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意这两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到.
注意
几何语言：
因为PA=PB
所以点P在AB的垂直平分线上.
A
B
P
直角三角形
性质定理(2)的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边(斜边)的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
注意
性质
(1)直角三角形的两个锐角互余；
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(3)含有 30°的直角三角形中， 30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
判定
直角三角形
(1)有一个角是90°的三角形是直角三角形；
(2)两个角互余的三角形是直角三角形；
(3)在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；
(3)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
定理
勾股定理
直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边的平方.
如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，那么a2+b2=c2.
(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系；
(2)理解勾股定理的一些变式：b c -a ，a c -b .
注意
逆定理
勾股定理
如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形.
(1)当a2 + b2(2)当a2 + b2>c2时，此三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边.
注意
即：如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
判定定理
直角三角形全等的判定
若两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则它们全等.
此定理只适用于直角三角形，直角三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS， HL.
注意
角平分线的判定
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
B
A
B
C
D
下列长度的三条线段能构成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．4，5，10
C．5，6，11 D．8，7，14
D
A、因为3+4＜8，所以长度为3，4，8的三条线段不能构成三角形；
B、因为4+5＜10，所以长度为4，5，10的三条线段不能构成三角形;
C、因为5+6＝11，所以长度为5，6，11的三条线段不能构成三角形；
D、因为8﹣7＜14＜8+7，所以长度为8，7，14的三条线段能构成三角形，本选项符合题意．
故选：D．
如图，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠E＝20°，∠BAE＝90°，则∠EAC＝（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
D
因为△ABC≌△ADE，
所以∠D＝∠B＝30°，∠EAD＝∠CAB，
所以∠EAC＝∠BAD，
因为∠E＝20°，
所以∠EAD＝180°﹣∠E﹣∠D＝130°，
因为∠BAE＝90°，
所以∠BAD＝∠EAD﹣∠BAE＝40°，
所以∠EAC＝40°．故选：D．
A
B
E
D
C
如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a＝2，b+c＝12，则d为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
由题意可知：a＝AB2，b＝BC2，c＝CD2，d＝AD2．
如图，连接BD，
在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即a+d＝b+c，
因为a＝2，b+c＝12，
所以d＝12﹣2＝10．
故选：B．
B
如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
B
A
B
E
D
C
F
如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 　 　．
因为∠B＝40°，∠C＝30°，
所以∠BAC＝110°，
由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC，
因为DE∥AB，所以∠BAE＝∠E＝30°，
所以∠CAD＝40°，
所以∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，
故答案为：110°．
A
B
E
D
C
110°
小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝　 　°
设∠ECF＝x，
因为EC＝EF，
所以∠EFC＝∠ECF＝x，
所以∠GEF＝2x，
因为EF＝GF，
所以∠FGE＝∠GEF＝2x，
所以∠DFG＝∠FGE+∠ECF＝3x，
因为DG＝GF，
所以∠GDF＝∠DFG＝3x，
所以∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x，
因为DG＝DA，
所以∠A＝4x，
所以∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x，
因为BC＝BD，
所以∠BDC＝∠BCD＝5x，
所以∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x，
因为AB＝AC，
A
B
F
E
D
C
G
小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝　 　°
67.5
A
B
F
E
D
C
G
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为 　 　．
A
B
P
D
C
B′
A
B
P
D
C
4.8
方法总结
此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，再根据已知条件求解.
求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
如图，边长为2的正方形OABC绕着点O逆时针旋转30°得到正方形ODEF，连接AF，则AF的长为 .
A
B
O
D
C
F
E
G
2
已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6，3n，n+2（n为正整
数）.若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长．
解：①如果n+2＝3n，
解得n＝1，
三角形三边的长为3，3，7，3+3＜7，不符合三角形三边关系；
②如果n+6＝3n，
解得n＝3，
三角形三边的长为5，9，9，符合三角形三边关系．
综上所述，它的三边的长为5，9，9．
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，过点C作
CE∥AD，交BA的延长线于点E．
(1)求证：EC⊥BC；
(2)若∠BAC＝120°，试判定△ACE的形状，并说明理由．
(1)证明：因为AB＝AC，点D是BC边的中点，
所以AD⊥BC，
所以∠ADB＝90°，
又因为CE∥AD，
所以∠BCE＝∠BDA＝90°，
所以EC⊥BC．
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，过点C作
CE∥AD，交BA的延长线于点E．
(1)求证：EC⊥BC；
(2)若∠BAC＝120°，试判定△ACE的形状，并说明理由．
已知：△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°．
(1)如图1，摆放△ACD和△BCE时（点A，C，B在同一条直线上，点E在CD上），连接AE，BD．求线段AE与BD的数量关系，位置关系．
(2)如图2，摆放△ACD和△BCE时，连接AE，BD，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)如图3，摆放△ACD和△BCE时，连接AE，DE．若有AE2＝DE2+2CE2，试求∠DEC的度数．
A
B
C
D
E
图1
A
B
C
D
E
图2
A
B
C
D
E
图3
F
已知：△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°．
(1)如图1，摆放△ACD和△BCE时（点A，C，B在同一条直线上，点E在CD上），连接AE，BD．求线段AE与BD的数量关系，位置关系．
A
B
C
D
E
图1
所以∠DFE＝90°，
所以AF⊥DB，即AE⊥DB，
故线段AE 与BD的数量关系是AE＝BD，位置关系是 AE⊥BD．
(2)如图2，摆放△ACD和△BCE时，连接AE，BD，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
A
B
C
D
E
图2
所以△ACE≌△DCB （SAS），
所以AE＝BD，∠EAC＝∠BDC，
延长AE交BD于点F，交DC于点G，如图2，
在△ACG和△DFG中，
因为∠EAC＝∠BDC，∠AGC＝∠DGF，
所以∠DFG＝∠ACG＝90°，
即AE⊥BD；
F
G
(3)如图3，摆放△ACD和△BCE时，连接AE，DE．若有AE2＝DE2+2CE2，试求∠DEC的度数．
A
B
C
D
E
图3
(3)如图3，摆放△ACD和△BCE时，连接AE，DE．若有AE2＝DE2+2CE2，试求∠DEC的度数．
所以AE＝BD，
因为△BCE是等腰直角三角形，∠BCE＝90°，
所以∠BEC＝45°，CE＝CB，CE2+CB2＝BE2，
所以2CE2＝BE2，
因为AE2＝DE2+2CE2，
所以BD2＝DE2+BE2
所以∠BED＝90°
所以∠DEC＝∠BED﹣∠BEC＝45°.
A
B
C
D
E
图3

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