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江苏省无锡市怀仁高级中学 2026届高三上学期 10月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | = √ 4 2}， = { | = 2( + 1)(2 )}，则 ∩ =( )
A. { ∣ 0 ≤ < 2} B. { ∣ 0 ≤ ≤ 2} C. {0,1} D. {0,1,2}
2.已知非零实数 ， 满足 > ，则下列不等式中正确的是( )
1 1
A. < B. 3 > 3

1
C. + < 2 D. 3 < 3


3.sin1050 =( )
1 1 √ 3 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
4.已知函数 ( ) = ln 有极值 ，则实数 等于( )
A. 1 B. 2 C. D. 3
5.在等比数列{ }中，若 1 5 12为一确定的常数，记数列{ }的前 项积为 .则下列各数为常数的是
( )
A. 7 B. 8 C. 10 D. 11
3
6.已知 + = , tan tan = 7，则cos( ) =( )
4
√ 2 2√ 2 √ 2 3√ 2
A. B. C. D.
3 3 4 4
√ 5 2
7.已知sin ( + ) = ， ∈ ( , )，则tan ( 2 ) =( )
6 5 2 3
4 4
A. B. C. 2 D. 2
3 3
8.当 ∈ [ 2 , 2 ]时，曲线 = sin 与 = | 1|的交点个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设数列{ }的前 项和为 ， +1 = 1， = 32，则下列说法正确的是( ) +1 1
A. { }是等差数列
B. 3， 6 3， 9 6成等差数列，公差为 9
C. 当 = 16或 = 17时， 取得最大值
D. ≥ 0时， 的最大值为32
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10.一半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心 距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水
轮上点 从水中浮现时(图中点 0)开始计时，则( )
A. 点 第一次到达最高点需要20秒
B. 当水轮转动155秒时，点 距离水面2米
C. 当水轮转动50秒时，点 在水面下方，距离水面2米

D. 点 距离水面的高度 (米)与 (秒)的函数解析式为 = 4sin ( + ) + 2
30 6

11.已知函数 ( ) = sin (3 + )，下列说法正确的是( )
3
2
A. ( )的最小正周期为
3

B. 点( , 0)为 ( )图象的一个对称中心
6
√ 3
C. 若 ( ) = ( ∈ )在 ∈ [ , ]上有两个实数根，则 ≤ < 1
18 9 2
D. 若 ( )的导函数为 ′( )，则函数 = ( ) + ′( )的最大值为√ 10
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 ( )是定义在 上的奇函数， ( + 2)为偶函数.当0 < < 2时， ( ) = 2( + 1)，则
(101) = ．
1
2 , 0 ≤ ≤ 4
13.已知数列{ }满足
2
+1 = { , 1 = ，则 2024 = ． 1
2 1, < < 1
5
2
+3
14.在 中，角 , , 的对边分别是 , , ，且2 cos = ，则 的最小值为 ．

四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ， = (cos + √ 3sin )．
(1)求角 ；
√ 3
(2)若 的面积为 ，且 = 1，求 的周长．
4
16.(本小题15分)
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设函数 ( ) = sin ( ) + sin ( )，其中0 < < 3.已知 ( ) = 0．
6 2 6
(1)求 的值；

(2)将函数 ( )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 个单位长
4
度，得到函数 ( )的图象，求 ( )的单调递增区间．
17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 3．
(1)当 = 1时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ( )有极小值，且极小值小于0，求 的取值范围．
18.(本小题17分)
已知等比数列{ }的各项均为正数，其前 项和为 ，且3 1， 3，5 2成等差数列， 4 + 5 = 5 3．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 = 3 +1，求数列{ }的前 项和 ．
19.(本小题17分)
1
已知函数 = ( )，其中 ( ) = 3 2， ∈ .若点 在函数 = ( )的图象上，且经过点 的切线与函
3
数 = ( )图象的另一个交点为点 ，则称点 为点 的一个“上位点”.现有函数 = ( )图象上的点列
1, 2, , , ，使得对任意正整数 ，点 都是点 +1的一个“上位点”．
(1)若 = 0，请判断原点 是否存在“上位点”，并说明理由；
(2)若点 1的坐标为(3 , 0)( ≠ 0)，请分别求出点 2、 3的坐标．
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参考答案

2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
2
13. ##0.4
5
14.2√ 2
15.解：(1) ∵ = (cos + √ 3sin )，
由正弦定理得sin = sin (cos + √ 3sin )，即sin( + ) = sin cos + √ 3sin sin ，
即sin cos + cos sin = sin cos + √ 3sin sin ，∴ cos sin = √ 3sin sin ，
∵ ∈ (0, ), ∴ sin ≠ 0，
√ 3
∴ cos = √ 3sin , ∴ tan = ,
3

∵ ∈ (0, ). ∴ = .
6
1 1 √ 3
(2) ∵ = sin = sin = , ∴ = √ 3， 2 2 6 4
2
+ 2 1 √ 3
又 = 1, ∴ cos = = , ∴ 2 + 2 = 4，
2 2
所以( + )2 = 4 + 2 = 4 + 2√ 3 = (√ 3 + 1)2，即 + = √ 3 + 1(负值舍去)，
又 = 1，所以 的周长为 + + = √ 3 + 2．

16.解：(1)由 ( ) = sin ( ) + sin ( ) = sin cos cos sin cos
6 2 6 6
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√ 3 1 1 √ 3
= sin cos cos = √ 3 ( sin cos ) = √ 3sin ( )，
2 2 2 2 3

且 ( ) = 0，则√ 3sin ( ) = 0，解得 = ( ∈ )，即 = 2 + 6 ( ∈ )，
6 6 3 6 3
由0 < < 3，则 = 2．

(2)函数 ( )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数 = √ 3sin ( )的图象；
3

再将得到的图象向左平移 个单位长度，得到函数 ( ) = √ 3sin ( )的图象，
4 12
5 7
令 + 2 ≤ ≤ + 2 ( ∈ )，解得 + 2 ≤ ≤ + 2 ( ∈ )，
2 12 2 12 12
5 7
所以函数 ( )的单调递增区间为[ + 2 , + 2 ] ( ∈ )．
12 12
17.解：(1)当 = 1时，则 ( ) = 1， ′( ) = 1，
可得 (1) = 2， ′(1) = 1，
即切点坐标为(1, 2)，切线斜率 = 1，
所以切线方程为 ( 2) = ( 1)( 1)，即( 1) 1 = 0．
(2)解法一：因为 ( )的定义域为 ，且 ′( ) = ，
若 ≤ 0，则 ′( ) ≥ 0对任意 ∈ 恒成立，
可知 ( )在 上单调递增，无极值，不合题意；
若 > 0，令 ′( ) > 0，解得 > ln ；令 ′( ) < 0，解得 < ln ；
可知 ( )在( ∞, ln )内单调递减，在(ln , +∞)内单调递增，
则 ( )有极小值 (ln ) = ln 3，无极大值，
由题意可得： (ln ) = ln 3 < 0，即 2 + ln 1 > 0，
1
构建 ( ) = 2 + ln 1, > 0，则 ′( ) = 2 + > 0，

可知 ( )在(0, +∞)内单调递增，且 (1) = 0，
不等式 2 + ln 1 > 0等价于 ( ) > (1)，解得 > 1，
所以 的取值范围为(1, +∞)；
解法二：因为 ( )的定义域为 ，且 ′( ) = ，
若 ( )有极小值，则 ′( ) = 有零点，
令 ′( ) = = 0，可得 = ，
可知 = 与 = 有交点，则 > 0，
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若 > 0，令 ′( ) > 0，解得 > ln ；令 ′( ) < 0，解得 < ln ；
可知 ( )在( ∞, ln )内单调递减，在(ln , +∞)内单调递增，
则 ( )有极小值 (ln ) = ln 3，无极大值，符合题意，
由题意可得： (ln ) = ln 3 < 0，即 2 + ln 1 > 0，
构建 ( ) = 2 + ln 1, > 0，
因为则 = 2, = ln 1在(0, +∞)内单调递增，
可知 ( )在(0, +∞)内单调递增，且 (1) = 0，
不等式 2 + ln 1 > 0等价于 ( ) > (1)，解得 > 1，
所以 的取值范围为(1, +∞)．
18.解：(1)设数列{ }的公比为 ，
因为3 1， 3，5 2成等差数列，
所以3 1 + 5 1 = 2
2
1 ，
即3 + 5 = 2 2，
1
解得 = 3或 = ，
2
因为{ }各项均为正数，
所以 > 0，
所以 = 3，
由 4 + 5 = 5 3，
41(3 1)
得 + 5 = 5 × 32 ，
3 1 1
解得 1 = 1，
所以 = 3 1 = 3 1 1 ( ∈
)．
(2)由(1)知， = × 3
1，
则 = 1 × 30 + 2 × 3
1 + 3 × 32 + + × 3 1，
所以3 = 1 × 3
1 + 2 × 32 + 3 × 33 + + × 3 ，
1 3
两式相减可得 2 0 1 = 3 + 3 + + 3
1 × 3 = × 3 ，
1 3
2 1 1
整理可得 = × 3 + ． 4 4
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19.解：(1)不存在，理由如下．
1
由已知，当 = 0时，得 ( ) = 3，则 ′( ) = 2，
3
所以 (0) = 0， ′(0) = 0，所以函数经过原点 的切线方程为 = 0，
1
该切线与函数 ( ) = 3图象无其他交点，所以原点 不存在“上位点”．
3
(2)设点 的横坐标为 ， 为正整数，则点 +1的横坐标为 +1．
1
由已知 ( ) = 3 2，则 ′( ) = 2 2 ，
3
则函数 = ( )图象在点 +1处的切线方程为 ( +1) = ′( +1)( +1)，
代入其“上位点” ( , ( ))，得 ( ) ( +1) = ′( +1)( +1)，
1
又 ( 3 2
1 3 2 2
) = ， ( +1) = +1 3 3 +1
， ′( +1) = +1 2 +1，
1 1
所以 3
2 ( 3 2 ) = ( 2 2 )( )， 3 3 +1 +1 +1 +1 +1
1
化简得 ( 2 + +1 +
2
+1) ( +
2
3 +1
) = +1 2 +1，
即( 2 + + 2 2 +1 +1) 3 ( + +1) = 3 +1 6 +1，
故( +1)( + 2 +1) = 3 ( +1)，
因为 ≠ +1，所以 + 2 +1 = 3 ，又点 1的坐标为(3 , 0)，即 1 = 3 ，
3 3 3
所以点 2的横坐标
1
2 = = = 0，纵坐标为 (0) = 0，则点 2的坐标为(0,0)； 2 2
3
3 3 0 3 3 1 3 3 3 2 9
点 3的横坐标 =
2
3 = = ，纵坐标为 ( ) = ( ) ( ) = ，则点 的坐标为2 2 2 2 3 2 2 8 3
3
3 9
( , )．
2 8
3
3 9
综上，点 2的坐标为(0,0)，点 3的坐标为( , )． 2 8
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