资源简介

江苏省无锡市市北高级中学 2026届高三上学期 10月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { 1,1,2,3, }，集合 = { |ln < 1}，则 ∩ =( )
A. {1} B. { 1,1} C. {1,2} D. { 1,1,2}
2.已知复数 满足(3 ) = 10 ，则 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量 = (2, ), = ( 1, 2), = (1,2)，且( )// ，则实数 =( )
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
√ 2
4.已知sin ( + ) = ，则sin (2 ) =( )
5 4 10
3 3 7 7
A. B. C. D.
4 4 9 9
ln
, ≥ 2
5.若函数 ( ) = { 有最大值，则 的最大值为( )
, < 2
ln2 ln2 1 1
A. B. C. D.
4 2 2 2
2+3
6.已知正实数 ， 满足 + 2 = 3，则 的最小值为( )

A. 2√ 2 + 1 B. 4 C. 4√ 2 + 1 D. 6
7.已知{ }是各项均为正整数的递增数列，{ }前 项和为 ，若 = 2024，当 取最大值时， 的最大
值为( )
A. 63 B. 64 C. 71 D. 72
8.已知实数 , 满足 2 + 2 4 = + 4 2 ，则 , 的大小关系不可能是( )
A. < < 1 B. < < 1 C. 1 < < D. 1 < <
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 1, 2, 3，下列说法正确的有( )
A. 若 1 1 = 2 2，则|
2 2
1| = | 2| B. 若 1 + 2 = 0，则 1 = 2 = 0
C. 若 1 2 = 1 3，则 1 = 0或 2 = 3 D. 若| 1 2| = | 1 + 2|，则 1 2 = 0
10.水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族
的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯
性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为6米，圆心距水面的高度为4米，
水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗 到达最高点时开始计时，设水车转动 (
第 1 页，共 9 页
分钟)时水斗 距离水面的高度(水面以上为正，水面以下为负)为 ( )(米)，下列选项正确的是( )
A. ( ) = 6cos4 + 4( ≥ 0)

B. ( ) = 6sin ( + ) + 4( ≥ 0)
2
1
C. 若水车的转速减半，则其周期变为原来的
2
D. 在旋转一周的过程中，水斗 距离水面高度不低于7米的时间为10秒
11.已知函数 ( ) = ( 2)( )，其中 > 0，且当 < 0时， ( ) ≥ 0，则( )
A. = 2
B. = 是 ( )的极小值点
27
C. 若关于 的方程 ( ) = 有3个不同的实数根，则 <
32
4√ 3
D. 若对任意 都有 ( ) ≥ ( + )，则 ≥
3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若直线 = 2 4是曲线 = ln + + 的切线，则实数 的值是 ．
2
13.在 中，已知角 , , 所对的边分别 , , ， 的面积 = ，3cos cos = 1， = 3，则
3sin
的周长为 ．
14.函数 ( )是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过 的最大整数，例如 ( 3.9) = 4，
( ), ≥ 0
(2.4) = 2.已知函数 ( ) = { ( > 0，且 ≠ 1)，若 ( )的图象上恰有3对点关于原点对
( ), < 0
称，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等比数列{ }是递增数列，其公比为 ，前 项和为 ，并且满足 2 + 3 + 4 = 28， 3 + 2是 2和 4
的等差中项．
(1)求数列{ }的通项公式；
1
(2)若 =
+1
2 ， = 1 + 2 + + ，求使 + 2 = 510成立的正整数 的值．
第 2 页，共 9 页
16.(本小题15分)
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 cos √ 3 sin = 2 ．
(1)求角 ；
1
(2)已知 = 2, = 6， 点为 的中点， 点在线段 上且| | = | |，点 为 与 的交点，求
3
∠ 的余弦值．
17.(本小题15分)
1
已知函数 ( ) = 2 + ( 1) ln ．
2
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)当 > 0时，求函数 ( )在[1,2]的最小值 ( )．
18.(本小题17分)
3 3
已知向量 = (cos , sin ) , = (cos , sin )，函数 ( ) = | + | + 1， ∈ [ , ] , ∈ ．
2 2 2 2 3 4

(1)当 = 0时，求 ( )的值；
6
(2)若 ( )的最小值为 1，求实数 的值；
24
(3)是否存在实数 ，使函数 ( ) = ( ) + 2， ∈ [ , ]有四个不同的零点？若存在，求出 的取值
49 3 4
范围；若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
若二元代数式 ( , )满足 ( , ) = ( , )，则称代数式 ( , )为二元轮换式，记∑2 =1 = + ；若三元代
数式 ( , , )满足 ( , , ) = ( , , )，则称代数式 ( , , )为三元轮换式，记∑3 =1 = + + ，
∑3 =1
2 = 2 + 2 + 2．
2
(1)若正实数 ， 满足 > ，且∑2 2 2 =1 = ∑ =1 ，求 的最大值； +1
ln
(2)若代数式 ( , ) = ( ≠ )为二元轮换式，比较 与1的大小；

(3)若对任意的正实数 ， ， ，均有∑3 3 =1 ∑
3
=1
2 ≥ (∑3 =1
2 ∑3 =1
2 )，求整数 的最大值．
第 3 页，共 9 页
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 3
13.【答案】3 + 3√ 3
1 1
14.【答案】[ , )
5 4
15.【答案】(1)解：由题可得 2 + 3 + 4 = 28，2( 3 + 2) = 2 + 4，则2( 3 + 2) = 28 3，解得 3 =
8
所以 2 + 4 = 20．
+ 3 = 20, = 2, 1 = 32,
于是有{ 1 1 解得{ 1 或{ 1
1
2 = 8, = 2 = .
2
又{ }是递增的数列，故 1 = 2， = 2，所以

= 2
1
(2)解：由(1)可得 =

2 = 2 ，
所以 = 1 + 2 + + = (1 × 2 + 2 × 2
2 + + 2 )，①
则2 = (1 × 2
2 + 2 × 23 + + 2 +1)，②
② ①，得 2 +1 = (2 + 2 + + 2 ) 2 ，
即数列{ }的前 项和 = 2
+1 2 2 +1，
则 + 2
+1 = 2 +1 2 = 510，
即2 +1 = 512，解得 = 8．
第 4 页，共 9 页
16.【答案】解：(1) ∵ cos √ 3 sin = 2
则由正弦定理得
sin cos √ 3sin sin = sin 2sin = sin( + ) 2sin
sin cos √ 3sin sin = sin 2sin = sin cos + cos sin 2sin
化简得：2sin = cos sin + √ 3sin sin
∵ ∈ (0, )，∴ sin ≠ 0，

∴ 2 = cos + √ 3sin = 2sin ( + )，则sin ( + ) = 1，
6 6
7
∵ ∈ (0, )，∴ + ∈ ( , )，
6 6 6

∴ + = 即 = ．
6 2 3
1
(2) = | || |cos = 2 × 6 × = 6，
3 2
1
∵ 点为 的中点∴ = ( + )
2
1
∵ | | = | |, =
3
∴
1
= ，
3
1 1 1
∴ = ( + ) ( )
2 2 3
1 2 1 1 2
= +
2 3 6
1 1 1
= × 22 × 6 + × 62 = 2，
2 3 6
2 1 1 2 2
∵ | |2 = = ( + )2 = ( + 2 + ) = 13，
4 4
∴ | | = √ 13
2 1 2 2 2
∵ | |2
1 2
= = ( ) = + = 4，
3 9 3
∴ | | = 2

∴ cos
2 √ 13
, = = = ．
| | | | √ 13×2 13
√ 13
即∠ 的余弦值为 ．
13
1 ( +1)( 1)
17.【答案】解：(1)由题意知 ( )的定义域为(0,+∞)， ′( ) = + 1 = ，

①若 ≤ 0， ′( ) < 0恒成立，所以 ( )在(0,+∞)上单调递减．
第 5 页，共 9 页
1
②若 > 0，由 ′( ) = 0，得 = ，

1 1
所以 ∈ (0, )当时， ′( ) < 0；当 ∈ ( ,+∞)时， ′( ) > 0；

1 1
所以 ( )在(0, )上单调递减，在( ,+∞)上单调递增．

综上：当 ≤ 0时， ( )在(0,+∞)上单调递减；
1 1
当 > 0时， ( )在(0, )上单调递减，在( ,+∞)上单调递增．

1 1
(2)由(1)知， ( )在(0, )单调递减，在( ,+∞)单调递增．

1 1
①当 ≥ 2，即0 < ≤ 时， ( )在[1,2]单调递减，
2
当 = 2时， ( )有最小值 (2) = 4 2 ln2；
1 1 1 1
②当1 < < 2，即 < < 1时， ( )在(1, )上单调递减，在( , 2)上单调递增．
2
1 1 1 1 2 1 1 1
当 = 时， ( )有最小值 ( ) = ( ) + ( 1) ln = 1 + ln ；
2 2
1
③当 ≤ 1，即 ≥ 1时， ( )在[1,2]上单调递增，

1 3
当 = 1时， ( )有最小值 (1) = + 1 = 1；
2 2
1
4 2 ln2,0 < ≤
21 1
综上： ( ) = 1 + ln , < < 1．
2 2
3
{ 1, ≥ 12
3 3 3 3 18.【答案】解：(1) = (cos , sin ) (cos , sin ) = cos cos sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2
3
= cos ( + ) = cos2 ，
2 2
当 = 0时， ( ) = + 1 = cos2 + 1，
3
则 ( ) = cos (2 × ) + 1 = cos + 1 = ；
6 6 3 2

(2) ∵ ∈ [ , ]，
3 4
∴ cos > 0，
∴ | + | = √ 2 + 2cos2 = √ 4 2 = 2cos ，
则 ( ) = cos2 2 cos + 1 = 2 2 2 cos ，
1
令 = cos ，则 ≤ ≤ 1，
2
第 6 页，共 9 页

则 = 2 2 2 ，对称轴 = ，
2
1
①当 < ，即 < 1时，
2 2
1 1 3
当 = 时，函数取得最小值，此时最小值 = = 1，得 = (舍)，
2 2 2
1
②当 ≤ ≤ 1，即1 ≤ ≤ 2时，
2 2
2
当 = 时，函数取得最小值，此时最小值 = = 1，得 = √ 2或 √ 2(舍去)，
2 2

③当 > 1，即 > 2时，
2
3
当 = 1时，函数取得最小值，此时最小值 = 2 2 = 1，得 = (舍)，
2
综上：若 ( )的最小值为 1，则实数 = √ 2．
24 3 4
(3)令 ( ) = 2 2 2 cos + 2 = 0，得cos = 或 ，
49 7 7
3 4
∴方程cos = 或 在 ∈ [ , ]上有四个不同的实根，
7 7 3 4
√ 2 3
≤ < 1 7√ 2 7
2 7 ≤ <6 3
则 √ 2 4
7√ 2 7
≤ < 1，解得 7√ 2 7，则 ≤ < ，
2 7 ≤ < 6 4
3 4 8 4
{ ≠ { ≠ 07 7
7√ 2 7
即实数 的取值范围是[ , )．
6 4
19.【答案】解：(1)第一步：根据已知条件化简式子
已知正实数 、 满足 2
2 2
+ 2 = + ，则 = ，
+1 2+ 2 +
+
(2 )( + ) (2 )( + ) (2 )( + )
对其通分可得 = = ．
( )( + )+ 2+ 2 2 2+ 2+ 2 2 2
(2 )( + ) 2 2+2 2 2 2+ 2 1 1 2 1 1 9展开 2 = 2 = 2 = 1 + ( ) = ( )
2 + ．
2 2 2 2 2 2 2 8
第二步：根据 与 的大小关系求最大值
1 1 9
因为 > > 0，所以0 < < 1.对于二次函数 ( ) = ( )2 + (令 = )，
2 2 8
1 1 1 9 2 9
其图象开口向下，对称轴为 = ，所以当 = 即 = 时， ( )取得最大值 ，也就是 取最大值 ．
2 2 2 8 +1 8
(2)第一步：根据二元轮换式得到等式
ln ln ln
因为代数式 ( , ) = 为二元轮换式，所以 = ，交叉相乘可得 ln = ln ．

第 7 页，共 9 页
第二步：设变量进行转化

不妨设0 < < ，令 = ( > 1)，则 = ，那么 ln = ln( )

，即ln = ln( ) = (ln + ln )，展开可得ln = ln + ln ，移项得ln (1 ) = ln ，
1
所以ln = ln ，ln = ln( ) = ln + ln = ln ln = ln ．
1 1 1
第三步：计算ln( )并判断 的范围
+1 +1
ln( ) = ln + ln = ln ，因为 > 1，ln > 0， > 0，所以ln( ) < 0，
1 1
根据对数函数的单调性可知 < 1．
(3)第一步：进行变量代换并化简不等式
不妨设 是 ， ， 中的最小值，令 = + ， = + ( ≥ 0, ≥ 0)，
∑3 =1
3 ∑3 2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 =1 ≥ (∑ =1 ∑ =1 )等价于2 ( + ) + + ≥ ( )．
当 = 0或 = 0时，该不等式对任意实数 均成立.因为 2 + 2 > 0， > 0，要使不等式成立，只需
考虑 3 + 3 2 ≥ ( )．

当 = 时，该不等式对任意实数 均成立.当 ≠ ，设 = ( > 0, ≠ 1)．

第二步：分情况讨论 的取值范围
3 2+1
当 > 1时：不等式 3 + 3 2 ≥ ( )两边同时除以 3，整理可得 ≥ ．
( 1)
3 2+1 1 2 1 2(3 2 3 +1)
设 ( ) = = + ，对 ( )求导， ′( ) = 1 ，再对 ′( )求导 ′′( ) = > 0，
( 1) ( 1) 2 3[ ( 1)] [ ( 1)]
所以 ′( )在(1,+∞)上单调递增．
2 1
令 ′( ) = 0，即1 4 3 22 = 0，化简得 2 + 2 + 1 = 0，
[ ( 1)]
1 1 1 1
令 = + ，则 2 + 2 =
2 2，原方程可化为( 2 + 2) 2( + ) + 1 = 0，
1
即 2 2 1 = 0，解得 = 1 ± √ 2，因为 > 1，所以 = + > 2，则 = 1 + √ 2．

3 1
存在 0 ∈ ( , 2)，且 0 + = 1 + √ 2，所以 ( )在(1, 0)上单调递减，在( 0, +∞)上单调递增， ( )min =2 0
1
( 0) = 0 + ． 0( 0 1)
3 3 1 1 1
因为 0 ∈ ( , 2)，所以 < 0( 0 1) < 2， > ， ( ) = + > 2． 2 4 0 00( 0 1) 2 0( 0 1)
1 1
又因为 0 + = 1 + √ 2，则
2
0 0 = √ 2 0 1， ( 0) = 0 + ， 0 √ 2 0 1
3 1
因为 0 ∈ ( , 2)，√ 2 0 1 > 1， < 1，所以 ( ) < 3，即2 < ( ) < 3，所以 ≤ 2． 2 √ 2 1 0 00
第 8 页，共 9 页
3 2+1
当0 < < 1时：不等式 3 + 3 2 ≥ ( )两边同时除以 3，整理可得 ≥ ，
( 1)
3 2+1 3 2+1
此时 < 0，当 = 2时， ≥ 恒成立．
( 1) ( 1)
综上，整数 的最大值为2．
第 9 页，共 9 页

展开更多......

收起↑