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吉林省长春市第八中学 2026届高三上学期 10月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.若复数 满足 (1 + ) = 3 ，则| | =( )
A. 2√ 2 B. √ 5 C. 5 D. 8

2.已知sin + 2sin ( ) = 0，则tan ( + ) =( )
2 4
1 1
A. 3 B. C. 3 D.
3 3
3.“点 的坐标是( , 0)， ∈ ”是“ ( ) = tan 的图象关于点 对称”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
+ +
4.设公差 ≠ 0的等差数列{ }中， ， ， 成等比数列，则
1 3 5
3 5 8 =( ) 1+ 4+ 7
5 3 4 4
A. B. C. D.
4 4 5 3
5.已知单位向量 , 的夹角为 ，若| + | > 1，则 的取值范围为( )
2 2 2
A. [0, ) B. [0, ) C. ( , ) D. ( , )
3 3 3 3 3
6.已知在梯形 中， // ， = 2 ，点 在线段 上，且 = 2 ，则 =( )
2 2 2 1 1 2 1 1A. + B. + C. + D. +
3 3 3 2 3 3 3 2

7.函数 ( ) = 2√ cos ( 3 )的单调递减区间是( )
4
2 2 2 5 2
A. [ + , + ] ( ∈ ) B. [ + , + ] ( ∈ )
4 3 12 3 12 3 12 3
2 2 2 2
C. [ + , + ] ( ∈ ) D. [ + , + ] ( ∈ )
12 3 12 3 12 3 4 3
8.如果复数 满足| + 2 | + | 2 | = 4，那么| + + 1|的最小值是( )
A. 1 B. √ 2 C. 2 D. √ 5
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知函数 ( ) = sin( + ) ( > 0, | | < )的部分图象如图所示，则下列选项正确的有( )
2

A. =
6

B. ( )的最小正周期为
2
5
C. ( )的图象关于直线 = 对称
6

D. 将 ( )的图象向左平移 个单位长度得到的函数图象关于 轴对称
6
10.已知 , , 分别为 内角 , , 的对边，下面四个结论不正确的是( )
A. 若 cos = cos ，则 为等腰三角形
B. 在钝角 中， , 为锐角，则不等式sin > cos 恒成立
C. 若∠ = 120 ，∠ 的平分线交 于点 ， = 1，则4 + 的最小值为9

D. 若 = ， = 2√ 3，且 有两解，则 的取值范围是(2,2√ 3)
3
1
11. 中， 为 上一点且满足 = ，若 为 上一点，且满足 = + ， 、 为正实
3
数，则下列结论正确的是( )
1
A. 的最小值为16 B. 的最大值为
16
1 1 1 1
C. + 的最大值为16 D. + 的最小值为4
4 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
→ → 1 1
12.已知向量 = (3,2cos )， = ( , )，且 ⊥ ，则cos = ．
2 5 2
2√ 2
13.已知 ， 均为锐角，sin( ) = ，tan tan = 3，则cos( + ) = ．
3

14.已知向量 , 满足√ 3| | = 2| |，且向量 , 的夹角为 ，则 在 方向上的投影向量是 ．
6
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)若复数 = 1 2 3 + 5 ，求| |；
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(2)在复数范围内，求方程 2 10 + 30 = 0的解．
16.(本小题15分)
已知平面向量 = ( 1,2)， = (2, )．
(1)若 // ，求实数 的值；
(2)若 ⊥ ，求| + 2 |；
(3)若 = 0，求 + 与 夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
√ 2
在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 cos + = 0， = ．
4
(1)求cos ；
1 3
(2)若 的面积为 ， 是 上的点，且∠ = ，求 的长．
4 4
18.(本小题17分)
已知{ }是等差数列，满足 1 = 2， 4 = 14，数列{ }满足 1 = 1， 4 = 6，且{ }是等比数列．
(1)求数列{ }和{ }的通项公式；
(2)若 ∈ ，都有 ≤ 成立，求正整数 的值．
19.(本小题17分)
记 的内角 , , 所对的边分别为 , , ，已知 = 2 , cos + 2cos = 0．
(1)求cos ；
1
(2)若 是边 上一点， = ，且 = √ 17，求 的面积．
2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
7
12.
25
1
13.
6
3
14.
4
15.【详解】(1)由 = 1 2 3 + 5 = 2 + 3 ，可得 = 2 3 ，所以 = 2 4 ，
所以| | = √ ( 2)2 + ( 4)2 = 2√ 5；
(2)由 2 10 + 30 = 0，可得( 5)2 = 5，所以 5 = ±√ 5 ，
所以 = 5 ± √ 5 ．
16.【详解】(1)因为 // ， = ( 1,2)， = (2, )，
所以 1 × 2 × 2 = 0，解得： = 4．
(2)因为 ⊥ ， = ( 1,2)， = (2, )，
所以 1 × 2 + 2 × = 0，解得： = 1．
所以 = (2,1)， + 2 = ( 1,2) + 2(2,1) = (3,4)，
则| + 2 | = √ 32 + 42 = 5．
(3)当 = 0时， = (2,0)，所以 + = (1,2)，
1×( 1)+2×2 3
所以cos + , = = ，
√ 12
5
+22√ ( 1)2+22
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3
则 + 与 夹角的余弦值是 ．
5
2 2 + 2
17.【详解】(1)因为 cos + = 0，所以， + = 0，即 2 + 3 2 2 = 0，
2
√ 2
因为 = ，则 = 2√ 2 ，即 2 + 3 2 8 2 = 0，故 = √ 5 ，
4
2 2 2 2 2 2 + 5 + 8 √ 5
由余弦定理可得cos = = 2 = ． 2 2√ 5 5
2
√ 5 2 √ √ 5 2√ 5(2)因为cos = ，则sin = √ 1 = 1 ( ) = ，
5 5 5
1 √ 5 1 √ 5
因为 △ = sin = = ，可得 = ， 2 5 4 4
√ 5 1
因为 = √ 5 ， = 2√ 2 ，故 = ， = ， = √ 2，
2 2
3 3
是 上的点，且∠ = ，则∠ = ，
4 4

∠ = ，
4
3 3 3 √ 2 √ 5 √ 2 2√ 5 √ 10
所以，sin∠ = sin ( ) = sin cos cos sin = × ( ) + × = ，
4 4 4 2 5 2 5 10

在 中，由正弦定理可得 = ，
sin∠ sin∠
1 √ 10
sin∠ × √ 5
故 = = 2 10 = ．
sin∠ √ 2 10
2

18.【详解】(1)设{ }的公差为 ，则 =
4 1 = 4，
3
所以 = 2 + ( 1) × 4 = 4 2．
故{ }的通项公式为 = 4 2( ∈
).
设 = ，则{ }为等比数列．
1 = 1 1 = 2 1 = 1， 4 = 4 4 = 14 6 = 8，

设{ }的公比为 ，则
3 = 4 = 8，故 = 2．
1
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则 = 2 1 ，即
1
= 2 ．
所以 = 4 2 2
1( ∈ )
故{ }的通项公式为 = 4 2 2
1( ∈ ).
(2)由题意， 应为数列{ }的最大项．
由 +1 = 4( + 1) 2 2 4 + 2 + 2
1 = 4 2 1( ∈ )
当 < 3时， +1 > 0， < +1，即 1 < 2 < 3；
当 = 3时， +1 = 0，即 3 = 4；
当 > 3时， +1 < 0， > +1，即 4 > 5 > 6 >
综上所述，数列{ }中的最大项为 3和 4．
故存在 = 3或4，使 ∈ ，都有 ≤ 成立．
2 2 2 + 2
2
+ 2
19.【详解】(1)由cos + 2cos = 0和余弦定理可得， + 2 × = 0，
2 2
2 2 2 2 2 2 +4 + 4 2 2 3√ 5将 = 2 代入得， + 2 × = 0，化简得5 = 9 ，即 = ，
2 2 2 5
2 2 2 9 2
+ 2 2 +4 4
由余弦定理可得，cos = = 52 = ； 2 4 5
2
+ 2 2
2 9 2 2
+ 4 √ 5
(2)如图，由(1)和余弦定理可得，cos = = 5 = ,则 ∈ ( , )，
2 6√ 5 2 5 2
5
√ 5 2√ 5
故sin = √ 1 ( )2 =
5 5
由
1 1
= ，结合图形可得， = ( )，
2 2
2 1
整理得， = + ，两边取平方可得，
3 3
| 2
2 1 | = ( +
4 1 4
)2 = 2 + 2 + cos ，因 = √ 17，
3 3 9 9 9
4 1 9 4 3√ 5 √ 5 17
代入可得，17 = 2 + × 2 + × × ( ) 2，整理得： 2 = 17，
9 9 5 9 5 5 45
3√ 5
解得 = 3√ 5，则 = × 3√ 5 = 9．
5
1 1 2√ 5
故 的面积为： = sin = × 9 × 3√ 5 × = 27．
2 2 5
第 6 页，共 6 页

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