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2025-2026学年北京市西城区第三十五中学高三上学期10月月考
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，集合，若，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，在上为增函数的是( )
A. B.
C. D.
3.已知，，，则 ．
A. B. C. D.
4.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知角的终边上有一点，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的图象是连续不断的，且的两个相邻的零点是，，则“，”是“，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度单位：和燃料的质量单位：、飞行器除燃料外的质量单位：的函数关系是已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为和时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
9.函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作，类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数，一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数若，则( )
A. B. C. D.
10.若对，，使得成立，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.函数的定义域是 ．
12.已知复数满足，则的虚部为 ．
13.请写出一个值，使命题“，使”为假命题，则 ．
14.在数列中，，数列满足若是公差为的等差数列，则的通项公式为 ，的最小值为 ．
15.已知函数给出下列四个结论：
存在实数，使为减函数；
的零点为；
若存在实数，使有三个不同的解，则实数的取值范围为；
“”是“恰有个极值点”的充要条件．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.如图，在平面直角坐标系中，钝角的终边与单位圆交于点，角的终边逆时针旋转后与角的终边重合，角的终边与的终边关于轴对称．
求的值；
求的值．
17.已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间．
18.某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过个月其覆盖面积为平方米，经过个月其覆盖面积达到平方米．该生物覆盖面积单位：平方米与经过时间个月的关系适合函数模型
求出该模型的函数解析式；
问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍？
参考数据：，，月份保留到整数
19.已知函数，记，已知曲线在点
处的切线方程为．
求实数，的值：
若直线既是曲线的切线又是曲线的切线，试判断的条数，并给出证明．
20.设函数，直线是曲线在点处的切线．
当时，求的单调区间；
判断直线是否过点？并说明理由；
当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？
21.对在平面直角坐标系第一象限内的任意两点，作如下定义：若，那么称点是点的“下位点”．
点是点的“下位点”吗？请简单说明理由．
若点是点的“下位点”，试判断，，之间的大小关系．
设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得点是点的“下位点”，且点是点的“下位点”，求正整数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.

15.
16.因为，，是钝角，所以．
由于角的终边与的终边关于轴对称，所以，．
．
因为，所以．
．

17.若，则，，
，，则切线方程为；
函数的定义域为．
．
当时，令，解得．
单调递减 极小值 单调递增
当时，令，解得．
单调递减 极小值 单调递增
综上，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是．

18.该生物覆盖面积单位：平方米与经过时间个月的关系适合函数模型，
又经过个月其覆盖面积为平方米，经过个月其覆盖面积达到平方米，
，解得
该模型的函数解析式为
，
当时，，
此生物的初始投放面积为平方米，
设经过个月该水域的生物的面积是当初投放的倍，则
，即，解得．
，取，
约经过个月，该水域中此生物的面积是当初投放的倍．

19.因为曲线在点处的切线方程为，
所以，．
，，．
，，．
综上，，．
设直线与的切点为，，
则切线斜率，切线方程为，即．
设直线与的切点为，，
则切线斜率，切线方程为，
即．
因为直线是公切线，所以
由可得，代入中，得，
整理得，
令，，
因为恒成立，所以，
当时，为上的增函数，
当时，为上的减函数，
因为，所以在区间上存在唯一一个零点．
因为，，
所以在区间上存在唯一一个零点．
综上，在上仅有个零点，即切线仅有条

20.当时，，．
令，得；令，得．
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
，，
方程为．
若直线过点，则，即．
设，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，所以只有这一个解，
因为，所以恒成立，所以不存在过点的直线．
当时，，由知，，
所以，
由知，恒成立，则有
若，则，即，
即，令，则，
由知，恒成立，
则为单调递增函数，又，则有唯一解．
又因为，所以，不存在点，使得成立．

21.因为，．
因为，即，
所以点是点的“下位点”．
点是点的“下位点”，
，
由题意知和都是第一象限内的点，可知，，，均为正数，
故，即，同理，即．
综上所述，．
由已知得
，，为正整数，
，解得
该式对集合内的每个都成立，
，
正整数的最小值为．

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