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2025-2026学年清华大学附属中学永丰学校高三上学期十月统一练习
数学试卷
一、选择题：本大题共 10小题，共 50分。
1.已知集合 = { |1 < 2 < 9}, = { 2, 1,0,1,2}，则 ∩ =( )
A. {0,1,2} B. {1,2} C. { 2,2} D. { 2, 1,1,2}
2.下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递增的是( )
1 1
A. ( ) = B. ( ) = ( 1) 2 C. ( ) = 2 D. ( ) = ( )

√ 2
3.已知 < ，则下列结论中正确的是
A. 0, + B. < 0, < + C. > 0, > + D. > 0, < +
4.已知 , 均为第二象限角，则“sin > sin ”是“cos > cos ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数 (2 + 1)是奇函数，则函数 = (2 )的图象成中心对称的点为( )
1 1
A. (1,0) B. ( 1,0) C. ( , 0) D. ( , 0)
2 2

6.函数 ( ) = sin(2 + ), ∈ [0, ]的最大值和最小值分别为( )
6 2
1 √ 3 1
A. 1, B. 1, C. , 1 D. 1, 1
2 2 2
7.已知10 = 2，10 = 5，则下列不成立的是( )
1 1 5
A. < B. > 2 C. 2 + 2 > D. 10 =
4 2 2
8.若过点( , )可以作曲线 = 的两条切线，则( )
A. < B. < C. 0 < < D. 0 < <
2
9.若 ( )
, ≥ ,
= { 满足 , ∈ ， > ， ( ) < ( )，则 的取值范围是( )
2 + 3, < 1 2 2 1 2 1
A. [ 1, +∞) B. [3, +∞) C. ( ∞, 3) D. ( ∞, 1)
10.已知， (2,0)， (3,2)， 在函数 = √ 2 1， ≥ 1图像上，则下列判断错误的是( )
A. 存在 > 0，使得 = 的点 有且只有一个
B. 任意 > 0，使得 = 的点 至少一个
C. 存在 > 0，使得 = 的点 有且仅有两个
D. 任意 > 0，使得 = 的点 最多两个
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二、填空题：本大题共 5小题，共 25分。
√ 2
11.函数 = 的定义域为 ．
| | 3
12.已知方程 2 ( + 2) + + 1 = 0的两根一个比2大另一个比2小，则实数 的范围是 ．
13.能说明“若 ( ) + ( )是 上的增函数，则 ( )， ( )至少一个是 上的增函数”为假命题的函数
( ) = ， ( ) = ．
2
14.设函数 ( ) = sin ，若对于任意 ∈ [ , ]，都存在 ∈ [0, ]，使得 ( ) + ( ) = 0，则 的最小值
3
为 ．
15.生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就
会随种群数量的增加而逐渐减小.为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯蒂模型： ( ) =
0
,其中 0， ， 是常数， +( ) 0
表示初始时刻种群数量， 是种群的内秉增长率， 是环境容纳
0 0
量， ( )可以近似刻画 时刻的种群数量.下面给出三个关于函数 ( )的判断：

①若 0 = ,则存在 > 0， ( ) = 2 3 0
；
②若0 < 0 < ，则对任意 ≥ 0， ( ) < ；
③若0 < 0 < ，则存在 > 0，使得导数 ′( ) < 0．
判断正确的全部序号为 ．
三、解答题：本题共 6小题，共 75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1
16.已知函数 ( ) = ．
( +1)2
(1)已知曲线 = ( )切线的倾斜角是0，求该切线方程；
(2)求 ( )的单调区间；
(3)直接写出函数 ( )的零点个数．
17.已知函数 ( ) = 2(4 )， > 0．
(1)当 = 4时，求 ( )在[ 1,1]上的值域；
(2)若 ( )的极小值为 2，求 的值．

18.已知函数 ( ) = sin ( + ) , ( ) = cos ( + )，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
6 6
个作为已知，求：
(1) ( )的单调递增区间；

(2) ( )在区间[0, ]的取值范围．
2
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条件①： ( ) = ( ) + √ 3 ( )；
条件②： ( ) = ( ) ( )；
条件③： ( ) = ( ) ( )．
19.已知函数 ( ) = 2 ．
(1)求 ( )的单调区间与极值；
(2)若 ( ) < ( + 1)在 ∈ ( 2, +∞)上有解，求 的取值范围．
20.已知函数 ( ) = + ln ( ∈ )．
(1)若 = 1时，求曲线 = ( )在 = 1处切线的斜率；
(2)求 ( )的单调区间；
(3)设 ( ) = 2 2 + 2，若对任意 1 ∈ (0, +∞)，均存在 2 ∈ [0,1]，使得 ( 1) < ( 2)，求 的取值范
围．
21.已知正整数 , 0，若正整数集的子集 1, 2, , 同时满足
条件①：对任意 ∈ ，存在唯一 ∈ {1,2,3, , }，使得 ∈ ；
条件②：对任意整数 ≥ 0，及任意 ∈ {1,2,3, , }，均存在{ , } ，使得 + = ，则称
1, 2, , 为“ 0可表集合组”．
(1)若 = 2, 1 = {1,4,6,8,10,12, }, 2 = {2,3,5,7,9,11, }，则 1, 2是否为“7可表集合组”？说明理由，
(2)若 = 2, 1, 2为“ 0可表集合组”，求 0的最小值；
(3)若 1, 2, , 为“15可表集合组”，求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.{ | ≤ 2且 ≠ 3}
12.{ | > 1}
13. 2 + 2 (答案不唯一) ； ； ； ；
； 2 + 答案不唯一)
4 4
14. /
3 3
15.①②
( +1)2 2( 1)( +1) +3
16.(1) ′( ) =
( +1)4
=
( +1)3
，
= ( )切线的倾斜角是0，则切线斜率为tan0 = 0，
+3
设切点为( 0, 0)，则
0
3 = 0，解得 ( +1) 0 = 3， 0
3 1 1 1
故 0 = 2 = ，故切点坐标为(3, )， (3+1) 8 8
1
故该切线方程为 = ；
8
1
(2) ( ) =
( +1)2
中，令 + 1 ≠ 0，解得 ≠ 1，
故定义域为( ∞, 1) ∪ ( 1, +∞)，
+3
由(1)知， ′( ) = ，令 ′( ) > 0得 1 < < 3，
( +1)3
令 ′( ) < 0得 < 1或 > 3，
1
所以 ( ) = 在( 1,3)上单调递增，在( ∞, 1), (3, +∞)上单调递减，
( +1)2
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所以 ( )单调递增区间为( 1,3)，单调递减区间为( ∞, 1), (3, +∞)；
1
(3)令 ( ) = 0得 2 = 0，解得 = 1， ( +1)
1
故 ( ) = 2的零点为1，函数 ( )的零点有1个． ( +1)
17.(1)当 = 4时， ( ) = 2(4 4) = 4 3 4 2，则 ′( ) = 12 2 8 ，
2
令 ′( ) = 0，得 = 0或 ，
3
当 变化时， ′( )， ( )的变化情况如表所示：
2 2 2
1 ( 1,0) 0 (0, ) ( , 1) 1 3 3 3
′( ) + 0 0 +
16
( ) 8 单调递增 极大值0 单调递减 极小值 单调递增 0
27
所以 ( )在[ 1,1]上的值域为[ 8,0]．
(2)由 ( ) = 2(4 ) = 4 3 2，得 ′( ) = 12 2 2 ，

令 ′( ) = 0，得 = 0或 ，
6
因为 > 0，

令 ′( ) < 0，得0 < < ；
6

令 ′( ) > 0，得 < 0或 > ，
6

所以 ( )在( ∞, 0)和( , +∞)上单调递增，在(0, )上单调递减，
6 6

( )在 = 处取得极小值，
6
1
令 ( ) = 3 = 2，
6 108
解得 = 6，故 的值为6．

18.(1)选①： ( ) = ( ) + √ 3 ( ) = sin ( + ) + √ 3cos ( + ) = 2sin ( + + )
6 6 6 3

= 2sin ( + ) = 2cos ，
2
则其单调递增区间为[2 , 2 ]( ∈ )；
1
选②： ( ) = ( ) ( ) = sin ( + ) cos ( + ) = sin (2 + )，
6 6 2 3
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5
令2 ≤ 2 + ≤ 2 + , ∈ ，解得 ≤ ≤ + , ∈ ，
2 3 2 12 12
5
故单调递增区间为[ , + ] , ∈ ；
12 12

选③： ( ) = ( ) ( ) = sin ( + ) cos ( + ) = √ 2sin ( + )
6 6 6 4

= √ 2sin ( )，
12
5 7
令 + 2 ≤ ≤ + 2 , ∈ ，解得2 ≤ ≤ 2 + , ∈ ，
2 12 2 12 12
5 7
故单调递增区间为[2 , 2 + ] , ∈ ．
12 12

(2)选①： ( ) = 2cos ，当 ∈ [0, ]时，cos ∈ [0,1]，
2
故 ( ) = 2cos 的值域为[0,2]；
1 4
选②： ( ) = sin (2 + )，当 ∈ [0, ]时， ≤ 2 + ≤ ，
2 3 2 3 3 3
√ 3
则 ≤ sin (2 + ) ≤ 1，
2 3
1 √ 3 1
故 ( ) = sin (2 + )的值域为[ , ]；
2 3 4 2

选③： ( ) = √ 2sin ( )，
12
5 5
当 ∈ [0, ]时， ≤ ≤ ， = sin 在[ , ]上单调递增，
2 12 12 12 12 12
√ 3 √ 2 1 √ 2
由于sin ( ) = sin ( ) = (sin cos cos sin ) = ( × × )
12 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2
√ 6 √ 2
= ，
4
5 1 √ 2 √ 3 √ 2 √ 2+√ 6
sin = sin ( + ) = sin cos + cos sin = × + × = ，
12 6 4 6 4 6 4 2 2 2 2 4
√ 6 √ 2 √ 6+√ 2
则 ≤ sin ( ) ≤ ，
4 12 4
1 √ 3 √ 3+1
故 ( ) = √ 2sin ( )的值域为[ , ]．
12 2 2
19.(1) ′( ) = ( 2 + 2 ) ，
令 ′( ) > 0得 < 2或 > 0；令 ′( ) < 0得 2 < < 0，
∴ ( )在( 2,0)上递减，在( ∞, 2)和(0, +∞)上递增，
4
∴ ( )在 = 2处取极大值，且极大值为 ( 2) = 2，在 = 0处取极小值，且极小值为 (0) = 0．
(2)当 = 1时，不等式 ( ) < ( + 1)无解．
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( ) ( ) ( 2+2 +2)
当 2 < < 1时， < ，设 ( ) = , ′( ) = 2 ， +1 +1 ( +1)
4
当 ∈ ( 2, 1)时， ′( ) < 0，∴ ( )在( 2, 1)上递减，∴ < ( 2) = 2，
( )
当 > 1时， > ，令 ′( ) < 0，得 1 < < 0；令 ′( ) > 0，得 > 0，
+1
∴ ( )min = (0) = 0，∴ > 0，
4
综上， 的取值范围为( ∞, 2) ∪ (0, +∞)．
1
20.(1)当 = 1时， ( ) = + ln ，则 ′( ) = 1 + ，

∴ ′(1) = 2，∴ = ( )在 = 1处切线的斜率为2．
1 +1
(2)由题意知： ( )的定义域为(0, +∞)， ′( ) = + = ，

1
①当 ≥ 0时，∵ + 1 > 0， > 0，∴ ′( ) = + > 0，

∴ ( )在(0, +∞)上单调递增；
1
②当 < 0时，令 ′( ) = 0，解得： = > 0，

1 1
∴当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0；当 ∈ ( , +∞)时， ′( ) < 0；

1 1
∴ ( )在(0, )上单调递增，在( , +∞)上单调递减；

综上所述：当 ≥ 0时， ( )的单调递增区间为(0, +∞)，无单调递减区间；当 < 0时， ( )的单调递增区
1 1
间为(0, )，单调递减区间为( , +∞)．

(3) ∵对任意 1 ∈ (0, +∞)，均存在 2 ∈ [0,1]，使得 ( 1) < ( 2)，∴ ( 1)max < ( 2)max；
∵ ( ) = 2 2 + 2 = ( 1)2 + 1，∴当 2 ∈ [0,1]时， ( 2)max = (0) = 2，
2 ln
∴ ( ) < 2在(0, +∞)上恒成立，即 + ln < 2在(0, +∞)上恒成立，∴ < ；

2 ln ln 3
令 ( ) = ，则 ′( ) = 2 ，
令 ′( ) = 0，解得： = 3，
∴当 ∈ (0, 3)时， ′( ) < 0；当 ∈ ( 3, +∞)时， ′( ) > 0；
1
∴ ( )在(0, 3)上单调递减，在( 3, +∞)上单调递增，∴ ( ) ≥ ( 3) = ，
3
1 1
∴ < 3，即实数 的取值范围为( ∞, 3)．
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21.(1) 1, 2不是“7可表集合组”．
因为 1 = {1,4,6,8,10,12, }，其元素中仅有一个奇数，
则 { , } 1，若 + 为偶数，则必为 1中两个偶数元素之和，至少为4 + 6 = 10，
可得 { , } 1, + ≠ 8，所以 1, 2不是“7可表集合组”．
(2) 0的最小值为7.首先给出 0 = 7的例子：
令 1 = {1,2,6,8,10,12, }, 2 = {3,4,5,7,9,11, }，
可知则 1, 2为“7可表集合组”．
下面假设某个 0 ≤ 6满足题设要求，则对任意 ∈ {1,2}，存在{ , } ，使得 + = 6．
注意到6表示为两个不同正整数的和只能是1 + 5,2 + 4，
不妨设{1,5} 1, {2,4} 2，
因为对任意 ∈ {1,2}，存在{ , } ，使得 + = 7，
注意到7表示为两个不同正整数的和只能是1 + 6,2 + 5,3 + 4，
所以{1,5,6} 1, {2,3,4} 2，
注意到8表示为两个不同正整数的和只能是1 + 7,2 + 6,3 + 5，
所以对任意{ , } 2，均有 + ≠ 8，
与 1, 2是“ 0可表集合组”矛盾．
所以假设不成立，综上所述： 0的最小值为7．
(3) 的最大值为3．
首先给出 = 3的例子：
令 1 = {1,2,3} ∪ {3 | = 4,5,6, }， 2 = {4,5,6} ∪ {3 1| = 4,5,6, }，
3 = {7,8,9} ∪ {3 2| = 4,5,6, }，
则 1, 2, 3为“15可表集合组”．
下面假设某个 ≥ 4满足题设要求，
显然 1, 2, 3, 4 ∪ 5 ∪ ∪ 也满足题设要求，故可不妨设 = 4，
令 = ∩ {1,2,3, ,23}( = 1,2,3,4)，
显然对任一下标 , 15,16, ,24这10个数中任一数均可写成 的两个元素之和，
从而 中元素至少有五个，
注意 1, 2, 3, 4的元素个数之和为23，从而必存在某个 ，使得 的元素个数不大于5，
设 = { 1, 2, 3, 4, 5}，
可知 中两个不同元素之和所表示的15,16, ,24这10个数恰可被 中两个不同元素之和所表示，
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则这些数的和为4( 1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 15 + 16 + + 24 = 195，
与 1, 2, 3, 4, 5均为正整数矛盾，所以假设不成立．
综上所述： 的最大值为3．
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