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2024-2025学年甘肃酒泉第三中学九年级第二次月考数学试卷
一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，关于的一元二次方程是( )
A. B.
C. D.
2.用配方法解一元二次方程时，方程变形正确的是( )
A. B. C. D.
3.若是方程的一个解，则的值为( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是( )
A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
5.矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，是的中点，点在上，当的周长最小时，点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.如图是一根空心方管，它的俯视图是( )
A. B. C. D.
7.菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为( )
A. B. C. 或 D.
8.若，则的值为( )
A. B. C. D.
9.函数与在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共7小题，共25分。
10.若一元二次方程有一根为，则______．
11.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的乘积为______．
12.当______时，关于的方程是一元二次方程．
13.如果，那么的值是________．
14.把多项式分解因式的结果为______．
15.如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，反比例函数的图象与线段交于点，且若的面积为，则的值为______．
16.如图是由个棱长均为的正方体组成的几何体，该几何体的表面积为______．
三、解答题：本题共10小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解下列方程：
；
；
；
．
18.本小题分
已知关于的方程的一个解与方程解相同．
求的值；
求方程的另一个根．
19.本小题分
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？
20.本小题分
四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、．
求证：≌；
若，，求的面积．
21.本小题分
先化简，再求值：，其中．
22.本小题分
如图，九年级班的小明与小艳两位同学去操场测量旗杆的高度，已知直立在地面上的竹竿的长为某一时刻，测得竹竿在阳光下的投影的长为．
请你在图中画出此时旗杆在阳光下的投影，并写出画图步骤；
在测量竹竿的影长时，同时测得旗杆在阳光下的影长为，请你计算旗杆的高度．
23.本小题分
前两年，“碳中和，碳达峰”成为高频热词，为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：表示“从未听说过”，表示“不太了解”，表示“比较了解”，表示“非常了解”根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图，请结合统计图，回答下列问题：
参加这次调查的学生总人数为______人；将条形统计图补充完整；
扇形统计图中，部分扇形所对应的圆心角是______；
若该中学共有学生人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对“碳中和、碳达峰”知识达到“比较了解”和“非常了解”程度的总人数；
在类的学生中，有名男生和名女生，现需从这名学生中随机抽取名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的名学生恰好是名男生和名女生的概率．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，已知点的横坐标为．
求的值；
求的面积；
直接写出关于的不等式的解集．
25.本小题分
某水果经销商销售一种新上市的水果，进货价为元千克，售价为元千克，月销售量为千克．
经销商降价促销，经过两次降价后售价定为元千克，请问平均每次降价的百分率是多少？
为增加销售量，经销商决定本月降价促销，经过市场调查，每降价元，能多销售千克，请问降价多少元才能使本月总利润达到元？
26.本小题分
已知，如图，在中，，是中线，是的中点，连接并延长到，使，连接、．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
参考答案
1.【答案】
解：下列方程中，关于的一元二次方程是，
故选：．
2.【答案】
解：，
移项得：，
两边都加上得：，
即，
则用配方法解一元二次方程时，方程变形正确的是．
故选：．
3.【答案】
解：若是方程的一个根，则有
，
变形得，，
故．
故选：．
4.【答案】
解：
对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确；
对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；
对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确；
对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确；
故选：．
5.【答案】
解：如图，作点关于直线的对称点，连接与的交点为，此时的周长最小，
，，
，
设直线解析式为，
把点和代入，得：
，解得：
直线解析式为，
时，，
点坐标是
故选B．
6.【答案】
解：如图所示：俯视图应该是．
故选：．
7.【答案】
解：，
，
或，
所以，，
菱形的一条对角线长为，
边的长是，
菱形的周长为．
故选：．
8.【答案】
解：设，
则，，，
所以．
故选：．
9.【答案】
解：、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项正确；
故选：．
10.【答案】
解：把代入一元二次方程得：，
即．
故答案是：．
11.【答案】
解：，
，
，
二次项系数是，一次项系数是，常数项是，
，
故答案为：．
12.【答案】
解：由题意得，解得，
当时，不符合题意．
当时，．
13.【答案】
解：，
，
，
，
两边同时除以得，．
故答案为：．
14.【答案】
解：原式
．
故答案为：．
15.【答案】
解：连接，如图，
轴于点，是线段的中点，
，
而，
又，
．
故答案为：．
16.【答案】
解：主视图上有个正方形，左视图和俯视图上有个正方形，
表面积为．
故答案为：．
17.解：，
，
或，
，；
，
，
，
，
或，
，；
，
，
或，
，；
，
，
，
，．
18.解：由，解得，
经检验是方程的解．
把代入方程，
得：，
解得：；
由知方程化为：，
方程的一个根为，则设它的另一根为，
则有：
．
19.解：设每件衬衫降价元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽快减少库存，
．
答：每件衬衫应降价元．
20.证明：四边形是正方形，
，，
而是的延长线上的点，
，
在和中
，
≌；
解：，
，
在中，，，
，
可以由绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到，
，，
的面积．
21.解：原式
，
当时，原式．
22.解：如图，线段就是此时旗杆在阳光下的投影．
作法：连接，过点作，交直线于点，则线段即为所求．
，
．
又，
∽．
，
， ， ，
，
．
旗杆的高度为 ．
23.解：参加这次调查的学生总人数为人，类别人数为人，补全图形如下：
故答案为：；
扇形统计图中，部分扇形所对应的圆心角是，
故答案为：；
人；
答：估计该中学学生中对“碳中和、碳达峰”知识达到“比较了解”和“非常了解”程度的总人数为人；
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中恰好选中名男生和名女生的结果数为，
所抽取的名学生恰好是名男生和名女生的概率．
24.解：在中，令，得，
，
，
；
设直线交轴于，如图：
由得或，
，
在中令得，
，
；
由图象可知：不等式的解集是或．
25.解：设平均每次降价的百分率是，由题意，得
，
解得：舍去，，
答：每次降价的百分率为．
设降价元能使本月总利润达到元，由题意，得
，
解得：，，
答：降价元或元能使本月总利润达到元．
26.证明：是的中点，
，
，，
≌，
，，
，
，是的中线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：如图，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
，是中线，
，
，，
，
，
：：：，
．

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