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2024-2025学年上海市青浦区九年级下学期中考四模数学试题
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知：，则k的值为（ ）
A. 1 B. C. 1或 D. 以上均不是
2.如图，G为的重心，过点G作，交AB、AC分别于D、E两点，若的面积为4，则的面积为（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 18
3.已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（　　）
A. B. C. D. 2
4.如果点C是线段的中点，那么下列结论中错误的是（ ）
A. 与是相反向量 B. 与是相等向量
C. 与是平行向量 D.
5.如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（　　）
A. 4 B. 10 C. D.
6.如图，二次函数图象的顶点为，图象与轴的交点、的横坐标分别为和，与轴交于点，下面四个结论：①；②；③；④使为等腰三角形的的值有且只有个．其中正确的结论有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.如果，那么的结果是 ．
8.计算： ．
9.的三边长为4、5、6，与相似且的最长边是24，则的周长为 ，两三角形的相似比是 ．
10.若点在抛物线上，则 ．
11.抛物线开口向 ；顶点坐标是 ；对称轴是直线 ．当x 时y随x的增大而增大．
12.将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是 ．
13.如图所示，已知点，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个…，则第1个等边三角形的边长为 ；第2024个等边三角形的边长为 ．
14.如图，在梯形中，，，，点E在上，且，过点E作交于点F，则 ．
15.如图，斜坡的坡度为，坡面的长为，则坡顶到水平地面的距离为 ．
16.菱形与矩形按如图所示摆放成一个轴对称图形，D是的中点，点E，F分别在上．若矩形的面积为50，，则菱形的面积是 ．
17.如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到．连接并延长与的延长线交于点，则的值为 ．
18.如图，等腰直角中，斜边，点、分别为线段和上的动点，则的最小值为 .
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
(1) 计算：；
(2) 解不等式组：．
20.(本小题10分)
如图，将平行四边形放在平面直角坐标系中(O为原点)，边在x轴上，连接对角线，已知，且．
(1) 写出点C、A的坐标，C: ，A: ；
(2) 将绕点O旋转，
①当点C刚好落在边上点时，点B对应点为，求出此时点、的坐标；
②若点P是平行四边形两条对角线的交点，连接、，请你直接写出面积的取值范围．
21.(本小题10分)
如图，已知在中，，垂足为点D，，点E是边的中点．
(1) 求边的长；
(2) 求的值．
22.(本小题10分)
如图，在载人飞船发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达B处，此时测得仰角为．
(1) 求点A离地面的高度；
(2) 求飞船从A处到B处的平均速度．（结果不取近似值）
23.(本小题12分)
问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

(1) 问题探究：先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
(2) 再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
(3) 问题拓展：将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
24.(本小题12分)
已知二次函数的图像经过三点，，．
(1) 求二次函数的表达式．
(2) 二次函数的图象上若有两点，且，根据图象直接写出的取值范围．
(3) 点是第一象限内二次函数的图象上的一动点，作轴交于点，作于点．当点运动时，求面积的最大值．
25.(本小题14分)
如图，在中，，，．动点从点出发，沿线段以每秒5个单位长度的速度向终点运动，连结，作点关于的对称点，连结、，设点的运动时间为秒．
(1) 线段的长为 ．
(2) 当点落在内部时，求的取值范围．
(3) 当边把的面积分为的两部分时，求线段的长度．
(4) 当垂直于的一边时，直接写出的值．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】60，4
10.【答案】10
11.【答案】上，，，
12.【答案】
13.【答案】，
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】90
17.【答案】
18.【答案】
19.【小题1】
解：
；
【小题2】
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．

20.【小题1】

【小题2】
解：①如图，作轴于点，

由旋转的性质得，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∴；
②由旋转的性质得，为定值，当点P到的距离最短时，面积取得最小值，当点P到的距离最长时，面积取得最大值，
∴当重合时，面积取得最小值，
此时；
如图，

当在的延长线上时，面积取得最大值，
此时；
∴．

21.【小题1】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：过点E作于点H．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵E是边的中点．
∴，
∴，，
∴，
∴．

22.【小题1】
解：由题意知，，，，，
∴，
∴点A离地面的高度为；
【小题2】
解：由题意知，，
∴，
∴，
∴，
∴飞船从A处到B处的平均速度为．

23.【小题1】
延长过点F作，
∵，
，
∴，
在和中
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．

故答案为：．
【小题2】
解：在上截取，使，连接．
，
，
．
，
．
．
，
．
．

【小题3】
解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，
．
在中，
，
．
，由（2）知，．
．
，
，
，
在上截取，使，连接，作于点O．
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
．


24.【小题1】
解：由交点式设二次函数表达式为，
把带入二次函数得：，
解得：，
二次函数表达式为；
【小题2】
解：由（1）得，二次函数解析式为：，
对称轴为，
关于对称的点为，
二次函数的图象上若有两点，且，
由图象可得的取值范围为；
【小题3】
解：设直线的解析式为：，
将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则点，
则，
当时，，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当最大时，最大，即当时，，
此时：．

25.【小题1】
10
【小题2】
解：①如图1-1，当点落在上时，则，

，，
，
，
，
，
．
②如图1-2中，当点落在上时，则，

过点作于点，则，
设，
，，
．
，
，
，
，
，
，
观察图象可知，满足条件的的值为：．
故答案为：．
【小题3】
解：如图2中，延长交于点，过点作于点，于点，过点作于点，设交于点．

由对称可知，，，，
为角平分线，
，
．
，，，
．
．
边把的面积分为的两部分，
，
，
，
，
，
．
点到和的距离相等，
．
，
，
在中，，，
在中，，．
设，则，
在中，，
，
解得，，
．
故答案为：2．
【小题4】
解：①如图3-1中，当时，延长交于点．

是关于对称，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
，，，
，
．
，
在中，，
在中，，
．
②如图3-2中，当时，

，
，
．
是关于对称，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
，
．
③如图3-3中，当时，过点作于点．

是关于对称，
，
，
，
，
，
，
．
．
在中，，
．
．
．
故答案为：或或．

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