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2024-2025学年四川省达州市九年级下学期中考模拟数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题的逆命题是假命题的是（）
A. 若，则 B. 若，则
C. 直角三角形的两锐角互余 D. 全等三角形的三组对应边相等
2.下列各组数中，数值相等的是（）
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
3.不等式组的解在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，点在轴正半轴上，，则的值是（ ）
A. 1 B. C. D.
5.如图，已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2
6.某几何体由8个相同的小立方体构成，它的俯视图如图所示，俯视图中小正方形标注的数字表示该位置上的小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）
A. B. C. D.
7.如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点作射线交于点若则的长为（ ）
A. B. C. D.
8.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，一个边长为的等边三角形木板在平面直角坐标系上绕点按顺时针旋转到的位置，则顶点从开始到结束所经过的路程及的横坐标分别为()
A. B. ， C. ， D. ，
10.已知二次函数图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线，对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④无论为何值时，代数式的值一定不大于．其中正确的个数有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若代数式有意义，则的取值范围是 ．
12.随着科学技术的不断提高，5G网络已经成为新时代的“宠儿”，预计到2025年，中国5G用户将超过460000000人．将460000000用科学记数法表示为 ．
13.如图，已知四边形是长方形，依据尺规作图的痕迹，可知 ．
14.矩形中，，连结，E，F分别在边，上，连结，分别交于点M，N，若，则的长为 ．
15.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E．若点，则k的值是 ．
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
(1) 计算：．
(2) 先化简，再求值：，其中满足．
17.(本小题8分)
如图，已知平行四边形，连接对角线．
(1) 请用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，交于点O，并连接和；（保留作图痕迹）
(2) 若，求四边形的周长．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1) 若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出，并写出点的坐标；
(2) 将绕着点O按逆时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标；
(3) 求出（2）中点A旋转到点所经过的路径长．
19.(本小题8分)
为提升学生的核心素养，长沙市某教育教学联合体开展了城乡读书交流活动．该教育教学联合体的某成员校号召全体师生积极捐书．为了解所捐书的种类，校团委对部分书籍进行了随机抽样调查，所捐书籍分为四类：文学类（记作A类），艺术类（记作B类），科普类（记作C类），其他类（记作D类）．学生张华根据收集的数据绘制了如图①，图②所示的不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下面的问题：
(1) 本次随机抽样调查的书籍的本数是______本，并补全条形统计图；
(2) 扇形统计图中B类所对应扇形的圆心角的度数是 ；
(3) 小钟和小雅参与了本次捐书活动，请用列表或画树状图的方法，求他们捐的书是同类书的概率．
20.(本小题8分)
如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中，，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为．
(1) 求图3中点到地面的距离；
(2) 在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；
(3) 图4中，一辆宽，高的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过﹖若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：，，所有结果精确到）
21.(本小题9分)
如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点．
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式；
(2) 根据图象，直接写出满足的的取值范围；
(3) 若点在线段上，且，求点的坐标．
22.(本小题10分)
某零件制造车间可生产甲、乙两种零件，已知每名工人每天可生产甲种零件的数量比每天可生产的乙种零件的数量多1个，且一天内生产甲种零件180个和生产乙种零件150个所需要的工人数相同．
(1) 求每名工人每天可生产甲种零件的数量；
(2) 已知车间现有工人20名，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元，设该车间每天安排x名工人制作甲种零件，且制造乙种零件的人数不超过制造甲种零件人数的3倍，则怎样的安排才能使获利最大？最大利润为多少？
23.(本小题10分)
如图，是的直径，点D是上一点，且，与交于点F．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若平分，延长交于点P，若，求的长和的半径．
24.(本小题11分)
已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3) 如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
25.(本小题12分)
【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在中，若，，则有；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知．若把①中的替换为，还能推出吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法．
小军 小民
证明：分别延长，至E，F两点，使得…… 证明：∵，∴与均为直角三角形根据勾股定理，得……
【问题解决】
(1) 完成①的证明；
(2) 把②中小军、小民的证明过程补充完整．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】4
16.【答案】【小题1】
．
【小题2】
∵m满足，
∴，
∴原式
．

17.【答案】【小题1】
解：如图，EF即为AC的垂直平分线；
【小题2】
∵EF垂直平分AC，
∴AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°，
平行四边形ABCD中，，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
又∵AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
又∵AE=5
∴

18.【答案】【小题1】
如图，

∵点的对应点，
∴横坐标，纵坐标，
∴点即，
【小题2】
如图，旋转点的坐标为，

【小题3】
如图，点旋转到点所经过的路径是弧长，
由旋转性质可知，，，
∴点旋转到点所经过的弧长为．

19.【答案】【小题1】
解：本次随机抽样调查的书籍的本数是本，
补全条形统计图如图所示：
；
【小题2】
【小题3】
解：画树状图如下：
共有16种等可能结果，小钟和小雅捐的书是同类书的结果有4种，
小钟和小雅捐的书是同类书的概率为．

20.【答案】【小题1】
解：如图1，过点作于点N，交AB于点E，
依题意得：，，，
在中，
答：点到地面的距离约为；
【小题2】
解：点是点C绕点D旋转得到的，
点C经过的路径长为．
答：点C所经过的路径约为．
【小题3】
汽车能安全通过．
解：在OM上取，，作于点F，交AB于点H，交于点G，
即汽车与BC保持安全距离，汽车的宽，
，
依题意得：，，四边形AOFH是矩形，
，，
在中，
汽车高度为，，
汽车能安全通过

21.【答案】【小题1】
解：反比例函数经过，
，
反比例函数为，
在比例函数的图象上，
，
，
直线经过，，
，解得，
一次函数的解析式为；
【小题2】
观察图象，的的取值范围是或；
【小题3】
设，
，
，
即，
，
解得，（舍去），
点坐标为(，)．

22.【答案】【小题1】
解：设每名工人每天可生产甲种零件个，则每名工人每天可生产乙种零件个，
由题可得：，解得：，
经检验，是原方程的解，
每名工人每天可生产甲种零件6个；
【小题2】
解：由（1）可知：每名工人每天可生产甲种零件6个，则每名工人每天可生产乙种零件个，
制造乙种零件的人数不超过制造甲种零件人数的3倍，
，解得：，
设利润为，则有，
由关系式可知：随的增大而减小，故取最小，即时，有最大利润，
此时安排人制作甲种零件，人制作乙种零件，最大利润为：元．

23.【答案】【小题1】
证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴是的切线；
【小题2】
解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，，
∴，即的半径为．

24.【答案】【小题1】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把，，代入函数解析式得：
∴，解得：；
∴；
【小题2】
∵，，
∴设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
设，则：，
∴，，，
∴，
∴
，
∴当时，的最大值为；
【小题3】
存在：
令，
解得：，
∴，
∵，点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：（舍去）或，
∴；
②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点，
则：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作轴，则：，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：（舍去）或，
∴；
综上：或．

25.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小题2】
小军的证明过程：
分别延长，至E，F两点，使得，，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴；
小民的证明过程：
∵，
∴与均为直角三角形，
根据勾股定理，得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．

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