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广东省深圳市福田区红岭中学 2026届高三上学期第二次统一考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { ∣ 2 2 1 ≤ 0}， = { ∣ > 0}，则 ∩ =( )
1 1
A. [ , 1] B. [ , +∞) C. [0,1] D. (0,1]
2 2
2.若命题“ ∈ R, 2 2 + 6 > 0”是假命题，则 的取值范围是( )
A. (0,6) B. ( ∞, 0) ∪ (6,+∞)
C. [0,6] D. ( ∞, 0] ∪ [6,+∞)
3.设 是平面， ， 是两条直线，则下列命题正确的是( )
A. 若 // ， // ，则 // B. 若 ⊥ ， // ，则 ⊥
C. 若 // ， // ，则 // D. 若 , 与 所成的角相等，则 //
4.若数列{ }满足2 +1 = + +2，其前 项和为 ，若 5 = 0, 10 + 11 = 11，则 11 =( )
A. 0 B. 1 C. 5 D. 11
5.若函数 ( )有唯一零点，且 ( + 1) = 2 1 + (e + e )，则 =( )
1 1 1
A. B. C. D. 1
2 3 2
π 3√ 5 3π
6.已知 ∈ [0, ] , sin + cos = ，则tan ( ) =( )
4 5 4
A. 3 B. 3 C. √ 5 D. 2

7.中国的5 技术领先世界，5 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： = log2(1 + )，它表示：在
受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率 取决于信道带宽 ，信道内信号的平均功率 ，信道内部的高斯

噪声功率 的大小，其中 叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公


式，若不改变带宽 ，而将信噪比 从1000提升至5000，则 大约增加了( )(附：lg2 ≈ 0.3010)

A. 20% B. 23% C. 28% D. 50%
2 2 √ 3
8.已知双曲线 : 2 2 = 1( , > 0)的左焦点为 1，直线 = 与 的右支于点 ，若 的左支上存在点 3
满足( + ) 1 1 = 0，且 + 1 = ( ≠ 0)，则 的离心率为( )
A. 3 B. √ 3 1 C. 2 D. √ 3 + 1
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.若6 = 2，6 = 3，则下列判断正确的是( )
1 1 1
A. + = 1 B. 2 + 2 < C. < D. >
2 4 3
( )+ ( )
10.若函数 = ( )满足：对 1, 2 ∈ ， 1 + 2 ≠ 0都有
1 2 > 0，则称该函数具有性质 ，下列函
1+ 2
数具有性质 的是( )
A. ( ) = e B. ( ) = 3 +
2, ≥ 0
C. ( ) = { 2 D. ( ) = + sin , < 0
1
11.设函数 ( ) = cos2 √ 3sin cos , > 0，则下列结论正确的是( )
2
π π
A. ∈ (0,1), ( )在[ , ]上单调递减
6 4
B. 若 = 1且| ( 1) ( 2)| = 2，则| 1 2|min = π
5 4
C. 若| ( )| = 1在[0, π]上有且仅有2个不同的解，则 的取值范围为[ , )
6 3
π
D. 存在 ∈ (2,3)，使得 ( )的图象向右平移 个单位长度后得到的函数为奇函数
6
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
π
12.已知√ 3cos sin = 1，则cos(2 + ) = ．
3
13.抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件 为“2个骰子的点数不相同”，事件 为“点数之和大于
8”，则在事件 发生的条件下，事件 发生的概率是 ．
14.直线 = 与曲线 1： = e
+ ( ∈ R)及曲线 2： = e
+ 分别交于点 ， .曲线 1在 处的切
线为 1，曲线 2在 处的切线为 2.若 1， 2相交于点 ，则 面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1 1 1
在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，已知 cos + cos = 2 ，且 + = ．
tan tan sin

(1)求 的值；

(2)求tan 的值．
16.(本小题15分)
已知数列{ }的首项为2，前 项和为 ，且 +1 + 2 = + 3 + ．
(1)求数列{ }的通项公式；
3 +5
(2)求满足 > 的 的最小值； 2
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1 1 1
(3)已知 = ，记数列{ }的前 项和为 ，求证： ≤ 6 +6 20 2
< ．
3
17.(本小题15分)
π
如图，在四棱锥 中，底面 是等腰梯形， // ， = 2，∠ = ， = = =
3
4， = 2√ 3．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求二面角 的正弦值．
18.(本小题17分)
2 2 √ 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，焦距为2，过 的左焦点 的直线 与 相交于 ， 两点， 2
与直线 = 2相交于点 ．
(1)求椭圆方程；
(2)若 ( 2, 1)，求证：| | | | = | || |；
1 1 1 1
(3)过点 作直线 的垂线 与 相交于 ， 两点，与直线 = 2相交于点 .求 + + + 的最
| | | | | | | |
大值．
19.(本小题17分)

已知函数 ( ) = ln ．

(1)若 > 1， ( ) > 0，求实数 的取值范围；
√ 1 4 2
(2)设 1, 2是函数 ( )的两个极值点，证明：| ( 1) ( 2)| < ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
1
12. / 0.5
2
4
13.
15
14.2
15.【详解】(1)因为 cos + cos = 2 ，
所以由正弦定理得sin cos + sin cos = 2sin ，
所以sin( + ) = 2sin ，
所以sin(π ) = 2sin ，所以sin = 2sin ，
sin 2sin
所以由正弦定理得 = ，所以 = = = 2；
sin sin sin sin
1 1 1 cos cos 1
(2)因为 + = ，所以 + = ，
tan tan sin sin sin sin
sin cos +sin cos 1 sin( + ) sin 1
所以 = ，即 = = ，
sin sin sin sin sin sin sin sin
所以sin2 = sin sin ，
所以由正弦定理得 2 = ，
由(1)得 = 2 ，所以 2 = 2 2，得 = √ 2 ，
2 2 2 2 2 + 2 4 + 2 3
所以由余弦定理得cos = = 2 = ， 2 4 4
9 √ 7
因为 ∈ (0, π)，所以sin = √ 1 cos2 = √ 1 = ，
16 4
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√ 7
sin 4 √ 7所以tan = = 3 = ． cos 3
4
16.【详解】(1)由已知 +1 + 2 = + 3 + ，
则 +1 = +1 = + 3 2，
即 +1 = 3 2，则 1 = 3 5， 1 2 = 3 8， ， 2 1 = 1，
(3 5+1)( 1) 3 2 7 +4
等式左右分别相加可得 1 = (3 5) + (3 8) + + 1 = = ， 2 2
3 2 7 +4 3 2 7 +8
则 = + 2 1
= ；
2
3 2 7 +8 3 +5
(2)由(1)得 = ，且 > ， 2 2
3 2 7 +8 3 +5
即 > ，
2 2
化简可得(3 1)( 3) > 0，
又 ∈ ，即 > 3，
3 +5
所以满足 > 的 的最小值为4； 2
1 1 1 1 1 1
(3)依题意得， = = = = ( )， 6 2 +6 20 9 15 +4 (3 4)(3 1) 3 3 4 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则 = ( 1 + + + + ) = ( 1 ) = ， 3 2 2 5 5 8 3 4 3 1 3 3 1 3 9 3
1 1
又 ∈ ，所以 ∈ (0, ],
9 3 6
1 1 1 1
所以 = ∈ [ , ), 3 9 3 2 3
1 1
即 ≤
2
< ．
3
π
17.【详解】(1)连接 ，因为底面 是等腰梯形， // ， = 2，∠ = ， = 4，
3
π 1
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos = 16 + 4 2 × 4 × 2 × = 12，
3 2
所以 2 + 2 = 2，则 ⊥ ，
因为 = 2， = 2√ 3， = 4，所以 2 + 2 = 2 ，则 ⊥ ，
因为 ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因此 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)在 中， = = 2√ 3， = 4，
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2+ 2 2 12+12 16 1
由余弦定理可得cos∠ = = = ，
2 2×2√ 3×2√ 3 3
π π
因为∠ = ， ⊥ ，则∠ = ，
3 6
π 2π
因为四边形 为等腰梯形，且 // ，则∠ = ，∠ = ，
3 3
π π
所以，∠ = ∠ ∠ = ，∠ = ∠ ∠ = ，
6 6
故 为等腰三角形，且 = = = 2，
因为 ⊥平面 ，以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴，
平面 内过点 且垂直于 的直线为 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
2√ 3 4√ 6
则 (2,0,0)、 (0,2√ 3, 0)、 ( 1, √ 3, 0)、 (0, , )，
3 3
设平面 的一个法向量为 = ( , , )， = ( 2,2√ 3, 0)，
4√ 3 4√ 6
1 1 1 = (0, , )， 3 3
= 2 1 + 2√ 3 1 = 0
所以{
4√ 3 4√ 6
，取 1 = √ 2，可得 = (√ 6,√ 2, 1)，
= + = 0
3 1 3 1
设平面 的一个法向量为 = ( 2, 2, 2)， = ( 1, √ 3, 0)，
= 2 √ 3 2 = 0
所以{ ，取 = √ 2，可得 = (√ 6, √ 2, 1)，

4√ 3 4√ 6 2
=
3 2
+ 2 = 03
3 1
所以cos , = = = ，
| | | | 3×3 3
1 2 2√ 2
所以sin , = √ 1 cos2 , = √ 1 ( ) = ．
3 3
2√ 2
因此，二面角 的正弦值为 ．
3
√ 2
18.【详解】(1)解：由题意得： = = , 2 = 2，
2
则 = √ 2, 2 = 1，
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2
所以椭圆的标准方程为： + 2 = 1；
2
(2)易知 ( 1,0)， : = + 1，设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
= + 1
4
由{ 2 2 ，得3
2 + 4 = 0，解得 1 = 0, 2 = ，
+ = 1 3
2
2 4
则| | | | = √ 2| 1 + 2| √ 2| 2 + 1| = 2 × × 1 = ， 3 3
1 4
| | | | = √ 2| 2 + 2| √ 2| 1 + 1| = 2 × 2 × = ， 3 3
所以| | | | = | || |；
(3)图所示：
若直线 ， 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线 = 2平行，
1
所以直线 的斜率存在且不为零，设直线 方程为 = ( + 1)，则直线 的方程为 = ( + 1), ≠ 0，

设 ( 1, 1), ( 2, 2)，
= ( + 1)
由{ 2 2 2 2 ，消去 得(1 + 2 ) + 4 + 2 2 2 = 0，
+ 2 = 1
2
2 2
4 2 2
则 = 16 4 8(1 + 2 2)(2 2 2) > 0， 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2，
1+2 1+2
易知 1 > 2, 2 > 2，将 = 2代入直线 的方程得 = ，即 ( 2, )，
1 1 1 1 1 1 1
则 + = + = ( + )，
| | | | 2 2 2 1+2 2+2√ 1+ | √1+2| 1+ | 2+2|
√ 1+
4 2
+4
1 1+ 2+4 1 2= ( ) = ( 1+2 )，
2 1 2+2( 1+ 2)+4
2 2
√ 2 2 2 8 1+ √ 1+ 2 2+4
1+2 1+2
2
1 4+4 2
= ( 2) = ，
√ 2 2+2 2 1+ √ 1+
1 1 2 2| |
同理 + = = ，
| | | | 2 √ 2
√ 1 1+( ) 1+

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2
1 1 1 1 2(1+| |) 1+2| |+
所以 + + + = = 2√ ，
| | | | | | | | 2
√ 2 1+ 1+
2 2
= 2√ 1 + 1 ≤ 2√ 1 + = 2√ 2， +| | 1
| | 2√ | || |
1
当且仅当 = | |，即 = ±1时，等号成立，
| |
1 1 1 1
所以 + + + 的最大值为2√ 2．
| | | | | | | |
1 2 +
19.【详解】(1)依题意， ′( ) = + 2 = 2 ( > 0).
①当 ≤ 0时，在 ∈ (1,+∞)上 ′( ) < 0，所以 ( )在(1,+∞)上单调递减，
所以 ( ) < (1) = 0，所以 ≤ 0不符合题设.
1 1 √ 1 4 2 1+√ 1 4 2
②当0 < < 时，令 ′( ) = 0，得 2 + = 0，解得 1 = ∈ (0,1)， 2 = ∈2 2 2
(1,+∞)，
所以当 ∈ (1, ′2)时 ( ) < 0，所以 ( )在(1, 2)上单调递减，
1
所以 ( ) < (1) = 0，所以0 < < 不符合题设．
2
1
③当 ≥ 时，判别式 = 1 4 2 ≤ 0，所以 ′( ) ≥ 0，
2
所以 ( )在(1,+∞)上单调递增，所以 ( ) > (1) = 0．
1
综上，实数 的取值范围是[ , +∞)．
2
1
(2)由(1)知，当0 < < 时， ( )在(0, 1)上单调递增，在( 1, 2)上单调递减，在( 2, +∞)上单调递增， 2
所以 1是 ( )的极大值点， 2是 ( )的极小值点．
1 √ 1 4 2
由(1)知， 1 2 = 1， 1 + 2 = ，则 2 1 = √ ( 1 + )22 4 1 2 = ．
√ 1 4 2
综上，要证| ( 1) ( 2)| < ，只需证 ( 1) ( 2
) < 2 1，

因为 2 1 ( 1) + ( 2) = ( + 1)( 2
2 2 1
1) ln + 1 1 2
2 2( 2 1) 2 1 2
= 2 ( 2 1) + ( 2 1) ln = + ln 1 1 + 2 √ 1 2 1

2( 2 1)

= 1

+ 2

√ √
1 ln 2，
2+1
1
2 1
1
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2 2( 1) 1设 = > 1， ( ) = + √ ln .
1 +1 √
2
′ 4 1 1 1 4 (√ 1)所以 ( ) = 2 + + = + > 0，
( +1) 2√ 2 √
2
( +1) 2 √
所以 ( )在(1,+∞)上单调递增，所以 ( ) > (1) = 0．
所以 2 1 ( 1) + ( 2) > 0，即得 ( 1) ( 2) < 2 1成立．
所以原不等式成立．
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