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广东省江门市新会区华侨中学 2026届高三上学期 10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.集合 = { ∈ |0 < < 4}的子集个数为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
2.若复数 = 3 + ( ∈ )在复平面内对应的点在直线 3 = 0上，则 (1 ) =( )
A. 4 4 B. 2 4 C. 3 2 D. 4 2
1 √ 3
3.已知 ∈ (0, )，则“sin( ) = ”是“cos = ”的( )条件．
2 2
A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要
4.已知 = 40.2, = 30.4, = 1. 50.8，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.折扇与书画结合，使其成为书画艺术的特殊载体，具有文化和历史价值.如图是一幅书法折扇的一部分，
则该扇面的面积为( )
A. 1000 2 B. 900 2 C. 800 2 D. 700 2
6.如图，在 中， ⊥ 于 ， = 9, = 3, = 6，矩形 的顶点 与 点重合， =
8, = 4，将矩形 沿 平移，当点 与点 重合时，停止平移，设点 平移的距离为 ，矩形 与
重合部分的面积为 ，则 关于 的函数图象大致为( )
A. B. C. D.
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7.若用二分法求方程 3 + 2 4 = 0在初始区间(0,2)内的近似解，则第三次取区间的中点 3 =( )
7 5 3 1
A. B. C. D.
4 4 4 4

8.已知点 (2,1)，将向量 绕原点 逆时针旋转 得到 ，则点 的坐标为( )
4
√ 2 3√ 2 3√ 2 √ 2 3√ 2 √ 2 √ 2 3√ 2
A. ( , ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
2 2 2 2 2 2 2 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = ( , 1,3)，点 (1,0, 3)， (2,3,6)，则下列选项正确的是( )
A. | | = 3√ 3 B. | | = √ 91
1
C. 若 ⊥ ，则 = 30 D. 若 // ，则 =
3
10.在棱长为1的正方体 1 1 1 1中，下列说法正确的有( )
A. 1 1//平面 1 B. 1 ⊥平面 1
√ 3
C. 点 到平面 1的距离为 D. 与平面 1所成的角为30

3
11.已知函数 ( )的定义域为 ，若 , ∈ ，有 ( + ) + ( ) = 2 ( ) ( ), (1) = 0， (0) ≠ 0，
则( )
1 √ 2
A. (0) = 1 B. ( ) =
2 2
C. ( )为偶函数 D. 4为函数 ( )的一个周期
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 是等差数列{ }的前 项和， 2 = 3, 5 = 8，则 6 = ．
13.已知“ ∈ (0,1], 2 > 0”为假命题，则 的最大值为 ．
14.设 ( )是定义在( ∞, 0) ∪ (0,+∞)上的奇函数，对任意的 1, 2 ∈ (0,+∞)； 1 ≠ 2，满足：
2 ( 2) 1 ( 1) 8> 0，且 (2) = 4，则不等式 ( ) > 0的解集为 ．
2 1
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{ }满足 +1 = 2 + 2
+1，且 1 = 2．

(1)求证：数列{ }是等差数列； 2
(2)求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题15分)
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 + = 2 + 2，sin = 2sin ．
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(1)求角 的大小；
(2)若 = 2√ 3，求 的面积．
17.(本小题15分)
如图，在梯形 中， ⊥ ， = 2， = = = 1，将 沿 折起至 ′ ，使 ′ ⊥
．
(1)求证：平面 ⊥平面 ′ ；
(2)若点 是 的中点，点 是 ′ 的中点，求直线 ′与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题17分)

已知函数 ( ) = 4cos cos ( )
3
(1)求函数 ( )的对称轴方程；
(2)求函数 ( )的最大值及相应的 值；
1
(3)将函数 ( )图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位，得到 ( )的图象，求 ( )的最
2 6
小正周期和单调增区间．
19.(本小题17分)
已知二次函数 ( )对任意的 都有 ( + 2) ( ) = 4 + 4，且 (0) = 0．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)设函数 ( ) = ( ) + ( ∈ ).若存在实数 、 ( < )，使得 ( )在区间[ , ]上为单调函数，且 ( )
的值域为[ , ]，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 15
13.1
14.( 2,0) ∪ (2,+∞)
15.【详解】(1)由 +1 = 2 + 2
+1( ∈ )，
+1 +1
得 +1


2 +2 2 2
+1 2
=
2 2 +1
= +1 = 1． 2

又 1
2
1 = = 1，故数列{ }是以1为首项，1为公差的等差数列． 2 2 2

(2)由(1)可知： = ， ∈ ，故 = 2
2
；
= 1 × 2 + 2 × 2
2 + 3 × 23 + 4 × 24 + + × 2 ，
2 = 1 × 2
2 + 2 × 23 + 3 × 24 + 4 × 25 + + × 2 +1，
两式相减，得
= 2 + 2
2 + 23 + 24 + + 2 × 2 +1，
2 (1 2 )
= × 2 +1，
1 2
= 2 +1 2 × 2 +1，
= (1 ) × 2 +1 2；
故 = ( 1) 2
+1 + 2．
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2+ 2
2
1
16.【详解】(1)在 中，由 2 + = 2 + 2及余弦定理得cos = = ，而0 < < ，
2 2

所以 = ．
3
(2)由sin = 2sin ，得 = 2 ，而 2 + = 2 + 2，且 = 2√ 3，
则(2√ 3)2 + 2 2 = (2 )2 + 2，解得 2 = 4，
1
所以 的面积 = sin =
2sin = 2√ 3．
2 3
17.【详解】(1)在梯形 中， ⊥ ，故 ⊥ ′，
又 ′ ⊥ ， ∩ = , ， 平面 ，所以 ′ ⊥平面 ，
又 ′ 平面 ′ ，所以平面 ⊥平面 ′ ．
(2)由(1)得 ′ , , 两两垂直，故以 为坐标原点，分别以 , , ′所在的直线为 , , 轴，建立如图
所示的空间直角坐标系．
则 (0,0,0)， ′(0,0,1)， (1,0,0)， (0,2,0)， (1,1,0).易知 ′ = (0,0,1)．
1 3 1 3 1
因为 是 的中点，点 是 ′ 的中点，所以 ( , , 0)， ( , , )．
2 2 4 4 2
1 3 1 = (1,0,0)， = ( , , )．
4 4 2
= 0, = 0,
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ 得{1 3 1
= 0, + + = 0,4 4 2
取 = 4，则 = 6，得平面 的一个法向量为 = (0,4, 6)
设直线 ′与平面 所成角为 ，

则sin = |cos
| ′ | 6 6 3√ 13
′ , | = = = = ．
| ′|| | √ 16+36 2√ 13 13

18.【详解】(1)因为 ( ) = 4cos cos ( ) = 4cos (cos cos + sin sin ) = 2 2 + 2√ 3sin cos ，
3 3 3
1+cos2
所以 ( ) = 2 × + √ 3sin2 = √ 3sin2 + cos2 + 1 = 2sin (2 + ) + 1，
2 6
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令2 + = + ， ∈ ，可得 = + ， ∈ ，
6 2 2 6

所以函数 ( )的对称轴方程为 = + ， ∈ ；
2 6

(2)由(1) ( ) = 2sin (2 + ) + 1，
6

故当2 + = 2 + ， ∈ ，即 = + ， ∈ 时，
6 2 6
函数 ( )取得最大值，最大值为3；
1
(3)函数 ( )图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，可得函数 = 2sin (4 + ) + 1的图象，
2 6

再将函数 = 2sin (4 + ) + 1向右平移 个单位，得到 ( )的图象，
6 6

( ) = 2sin [4 ( ) + ] + 1 = 2sin (4 ) + 1 = 2cos4 + 1，
6 6 2
2
故函数 ( )的最小正周期为 = ，
4 2

令2 ≤ 4 ≤ 2 + ， ∈ ，可得 ≤ ≤ + ， ∈ ，
2 2 4

所以函数 ( )的单调递增区间为[ , + ] ( ∈ )．
2 2 4
19.【详解】(1)设二次函数 ( )的解析式为 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)，则 (0) = = 0，
所以， ( + 2) ( ) = ( + 2)2 + ( + 2) 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 4，
4 = 4 = 1
所以，{ ，解得{ ，因此， ( ) = 2 + 4 ．
4 + 2 = 4 = 4
(2)由(1)可得 ( ) = 2 + 4 + ，则函数 ( )的对称轴为直线 = 2，
因为 ( )在区间[ , ]上单调，则 ≤ 2或 ≥ 2，
( ) =
①当 ≤ 2时， ( )在区间[ , ]上单调递增，所以{ ,
( ) =
即 、 为 ( ) = 在( ∞, 2]上的两个不相等的实根，
即方程 2 3 = 0在 ∈ ( ∞, 2]上有两个不相等的实根，
= 9 + 4 > 0 9
所以，{ 2 ，解得 < ≤ 2； 2 3 × 2 ≥ 0 4
②当 ≥ 2时， ( )在区间[ , ]上单调递减，
( ) = 2 + 4 + =
所以，{ 2 , ( ) = + 4 + =
两式相减得 2 2 4( ) = ，即( )( + 5) = 0，
因为 > ，所以 + 5 = 0，则 = 5 ，
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所以， 2 = 2 4 + = 2 4 + 5 = 2 5 + 5，
5 5
由 = 5 > ，可得 < ，又因为 ≥ 2，则2 ≤ < ，
2 2
2 5因为函数 ( ) = 5 + 5在[2, )上单调递减，
2
5 5 5
所以， ( ) < ( ) ≤ (2)，即 < ( ) ≤ 1，即 < ≤ 1．
2 4 4
9 5
综上所述，实数 的取值范围是( , 2] ∪ ( , 1]．
4 4
【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：
(1)二次项系数的符号；
(2)判别式；
(3)对称轴的位置；
(4)区间端点函数值的符号．
结合图象得出关于参数的不等式组求解．
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