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陕西省渭南市瑞泉中学 2026届高三上学期 10月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | 2 3 + 2 = 0}， = { | < }，若 ，则实数 的取值范围是( )
A. > 2 B. < 2 C. ≤ 2 D. ≥ 2
1 √ 3
2.已知 ∈ (0, π)，则“sin(π ) = ”是“cos = ”的( )条件．
2 2
A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要
3.下列函数中既是奇函数又是增函数的为( )
1 3
A. ( ) = 3 B. ( ) = 2| | C. ( ) = D. ( ) = √

4.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 cos = (2 )cos ，则 为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
2 + 4 + 3, ≤ 0
5.已知函数 ( ) = { 1 + log , > 0，若函数 ( ) = ( ) 恰有3个零点，则 的取值范围( ) 1
3
A. ( 1,3] B. [0,3] C. ( 1,0] D. [3, +∞] ∪ { 1}
1 4
6.设0 < < 1，若 + ≥ 2 8 恒成立，则 的最小值为( )
1
A. 9 B. 8 C. 1 D. 2
π
7.设函数 ( ) = sin ( + ) , ( > 0)在区间(0, π)恰有三个极值点 两个零点，则 的取值范围是( )
3
5 13 5 19 13 8 13 19
A. [ , ) B. [ , ) C. ( , ] D. ( , ]
3 6 3 6 6 3 6 6
( ) 1
8.已知 ( )是定义在 上的偶函数，且 (2) = 1，当 > 0时， ′( ) + ( ) > 1，则不等式 < 0的解

集为( )
A. ( ∞, 2) ∪ (2, +∞) B. ( ∞, 2) ∪ (0,2)
C. ( 2,0) ∪ (2, +∞) D. ( 2,0) ∪ (0,2)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
π
9.把函数 ( ) = sin2 + √ 3cos2 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 ( )的图象，则下列说法正确的
6
是( )．
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π
A. ( )的最小正周期为π B. 直线 = 是 ( )图象的一条对称轴
6
π π
C. (0) = 0 D. ( )在( , )上单调递增
12 4
10.已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 2在 = 1处取得极值0，则下列说法正确的是( )
A. = 3
B. 当0 < < 1时， ( 2) < ( )
C. 当 > 1时， ( 2) > ( )
D. 过点(0,2)可作一条切线与曲线 = ( )相切
11.已知函数 ( )， ( )的定义域均为R， ( + 1) + ( 1) = ( )， ( 3)是偶函数，且 ( ) +
( 3) = 2，若 ( 3) = 1，则( )
1 3
A. (1) = B. ( )的图象关于点( , 0)中心对称
2 2
C. ( ) = ( + 6) D. ( )为奇函数
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.函数 ( ) = √ ln(1 )的定义域为
π 5π π 4 5π 5
13.已知 , ∈ ( , )，若sin ( + ) = ，cos ( ) = ，则sin( )的值为 ．
3 6 6 5 6 13
1
14.已知函数 ( ) = ln 2 恰有2个极值点，则实数 的取值范围为 ．
2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
已知函数 ( ) = cos(2 + )(0 ≤ < π), (0) = ．
2
(1)求 ;
π
(2)设函数 ( ) = ( ) + ( )，求 ( )的值域和单调区间．
6
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = ln ．
(1)当 = 1时，求曲线 = ( )在点(e, (e))处的切线方程；
(2)设函数 ( )的最小值是2，求实数 的值．
17.(本小题15分)
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且sin ( cos + cos ) = cos ．
(1)求 ；
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3
(2)设 为边 的中点，若cos = ， 的面积为14，求 的长
5
18.(本小题17分)
2 1+1
已知函数 ( ) = 1 是定义域为R的奇函数， , ∈ R． 2 +1
(1)求 , 的值；
(2)用定义法证明 ( )的单调性；
(3)当 ∈ [1,4]时， ( ) + ( 2 4) > 0恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题17分)
1
已知函数 ( ) = 4 ln 2 2，其中 为正实数．
2
(1)求函数 = ( )的单调区间；
(2)若函数 = ( )有两个极值点 1， 2，求证： ( 1) + ( 2) < 6 ln ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( ∞, 0]
16
13.
65
1
14.(0, )
e
1 π
15.【详解】(1)由题意 (0) = cos = , (0 ≤ < π)，所以 = ；
2 3
π
(2)由(1)可知 ( ) = cos (2 + )，
3
π π
所以 ( ) = ( ) + ( ) = cos (2 + ) + cos2
6 3
1 √ 3 3 √ 3 π
= cos2 sin2 + cos2 = cos2 sin2 = √ 3cos (2 + )，
2 2 2 2 6
所以函数 ( )的值域为[ √ 3, √ 3]，
π π 5π
令2 π ≤ 2 + ≤ π + 2 π, ∈ Z，解得 + π ≤ ≤ + π, ∈ Z，
6 12 12
π 5π 11π
令π + 2 π ≤ 2 + ≤ 2π + 2 π, ∈ Z，解得 + π ≤ ≤ + π, ∈ Z，
6 12 12
π 5π
所以函数 ( )的单调递减区间为[ + π, + π] , ∈ Z，
12 12
5π 11π
函数 ( )的单调递增区间为[ + π, + π] , ∈ Z．
12 12
16.【详解】(1)当 = 1时， ( ) = ln ，
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将 = e代入得： (e) = e 1，
1
函数 ( )的导数为 ′( ) = 1 ，

1
曲线 = ( )在点(e, (e))处切线的斜率为 ′(e) = 1 ，
e
因此，曲线 = ( )在点(e, (e))处的切线方程为：
1 1
(e 1) = (1 ) ( e)，即： = (1 ) ．
e e
1 1
(2)对 ( )求导： ′( ) = = ( > 0)，

①当 ≤ 0时，恒有 ′( ) < 0，
于是 ( )在(0, +∞)上单调递减，
此时， ( )无最小值；
1
②当 > 0时，令 ′( ) = 0，得 = ，

1 1
当 ∈ (0, )都有 ′( ) < 0, ( )在(0, )上单调递减；

1 1
当 ∈ ( , +∞)都有 ′( ) > 0, ( )在( , +∞)上单调递增

1 1
因此 ( )在 = 处取得最小值 ( )，

1 1 1
依题意， ( ) = 1 ln ( ) = 2，即：ln ( ) = 1

解得： = e．
综上，当 = e时，函数 ( )的最小值是2．
17.【详解】(1)由正弦定理可得sin (sin cos + sin cos ) = sin cos ，
即sin sin( + ) = sin cos ．
在 中，由 + + = π，得sin( + ) = sin(π ) = sin ，
2 π所以sin = sin cos ，又 ∈ (0, π)，sin ≠ 0，所以tan = 1，所以 = ．
4
3 4
(2)因为cos = ，0 < < ，所以sin = ，
5 5
7√ 2
所以sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = ，
10
sin 7 5
所以 = = ，即 = ，
sin 5 7
1 1 5 4
因为 2 = sin = × × × = 14，即 = 49，所以 = 7， 2 2 7 5
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在三角形 中，由余弦定理可得
2
2 = 2 + 2
7 7 3 65
2 cos = ( ) + 25 2 × × 5 × = ，
2 2 5 4
√ 65
所以 = ．
2
18.【详解】(1)因为函数 ( )是定义域为R的奇函数，

+1
所以 (0) = 2 = 0，得 = 2，
+1
2
1
+1 2+1
又 ( 1) = (1)，即 2 = ，解得 = 2，
+1 +1
4
2 +1
则 ( ) = ，经检验符合题意． 2 +1
2 +1 2
(2)由已知得 ( ) = ，则 ( ) = 1 + ， 2 +1 2 +1
2 2
任取 1, 2，且令 1 < 2，则 ( 1) ( 2) = 1 + ( 1 + ) 2 1+1 2 2+1
2 2 2(2 2 + 1) 2(2 1 + 1)
= = 2 1 + 1 2 2 + 1 (2 1 + 1)(2 2 + 1) (2 1 + 1)(2 2 + 1)
2(2 2 2 1)
= > 0，得到 ( 1) ( 2) > 0， (2 1+1)(2 2+1)
故 ( 1) > ( 2)，则 ( )是减函数．
(3)由题意得 ( ) > ( 2 4)在 ∈ [1,4]时恒成立，
因为 ( )是单调递减的奇函数，
所以 ( ) > (4 + 2)，即 < 4 + 2在 ∈ [1,4]时恒成立，
4 4
得到 < + ，且令 ( ) = + ，即 < ( )min恒成立，
4 4
又 + ≥ 2√ × = 4，当且仅当 = 2时等号成立，

得到 ( )min = 4，得到 < 4，即 ∈ ( ∞, 4)．
1
19.【详解】(1)因为函数 ( ) = 4 ln 2 2，
2
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′
2 4 +
所以 ( ) = 4 = ，函数 = ( )的定义域为(0, +∞)，

令 = 2 4 + ，
①若16 4 ≤ 0，即 ≥ 4时，则 ′( ) ≤ 0，此时 ( )的单调减区间为(0, +∞)；
②若16 4 > 0，即0 < < 4时，
令 ′( ) = 0，得 = 2 ± √ 4 ，
当0 < < 2 √ 4 或 > 2 + √ 4 时， ′( ) < 0，
当2 √ 4 < < 2 + √ 4 时， ′( ) > 0，
此时 ( )的单调减区间为(0,2 √ 4 )，(2 + √ 4 , +∞)，
单调增区间为(2 √ 4 , 2 + √ 4 )．
(2)由(1)知，当0 < < 4时，函数 = ( )有两个极值点 1， 2，且 1 + 2 = 4， 1 2 = ．
1 1
因为 ( 1) + ( 2) = 4 1 ln 1
2
1 2 + 4 2 ln 2
2
2 2， 2 2
1
= 4( + ) ln( ) ( 2 + 21 2 1 2 ) 4， 2 1 2
1
= 16 ln (42 2 ) 4 = 4 + ln ，
2
要证 ( 1) + ( 2) < 6 ln ，只需证 ln ln + 2 > 0．
构造函数 ( ) = ln ln + 2，
1 1
则 ′( ) = 1 + ln 1 = ln ，

′ 1 ( )在(0,4)上单调递增，又 ′(1) = 1 < 0， ′(2) = ln2 > 0，且 ′( )在定义域上不间断，
2
1
由零点存在定理，可知 ′( ) = 0在(1,2)上唯一实根 0，且ln 0 = ． 0
则 ( )在(0, 0)上递减，( 0, 4)上递增，所以 ( )的最小值为 ( 0)
1 1
因为 ( 0) = 1 0 + 2 = 3 ( 0 + )， 0 0
1 5
当 0 ∈ (1,2)时， 0 + ∈ (2, )，则 ( 0) > 0， 0 2
所以 ( ) ≥ ( 0) > 0恒成立．
所以 ln ln + 2 > 0，
所以 ( 1) + ( 2) < 6 ln ，得证．
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