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四川省绵阳市东辰学校2025--2026学年九年级上学期九月开学数学测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线，的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．都有最大值 C．对称轴都是轴 D．顶点都是原点
5．要由抛物线得到抛物线，则抛物线（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
6．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
7．等腰三角形两边长为方程x2﹣7x+10=0的两根，则它的周长为（ ）
A．12 B．12或9 C．9 D．7
8．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？
若设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．关于未知数x的方程kx2+4x﹣1=0只有正实数根，则k的取值范围为（　　）
A．﹣4≤k≤0 B．﹣4≤k＜0 C．﹣4＜k≤0 D．﹣4＜k＜0
12．欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
二、填空题
13．若是关于的二次函数，则的值是 ．
14．已知，是抛物线上的两点，则
15．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为73，则每个支干长出 个小分支．
16．若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 0．（填写“>”“<”或“=”）
17．若，是方程的两根，则的值为 ．
18．已知，且，则代数式的值为 ．
三、解答题
19．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
20．关于x的一元二次方程x2＋2（k﹣1）x＋k2＋1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求k的值．
21．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．
(1)求这条抛物线的解析式．
(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？
22．如图，在中，，，，动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合）．若、两点同时移动；
当移动几秒时，的面积为．
设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？
23．某商场将进货价为元的台灯以元售出，月份销售个，月份和月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，月份的销售量达到个，设月份和月份两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求月份和月份两个月的销售量月平均增长率；
(2)从月份起，在月份销售量的基础上，商场决定降价促销经调查发现，售价在元至元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加个若商场要想使月份销售这种台灯获利元，则这种台灯售价应定为多少元？
24．综合与实践．实践主题：黄金分割数．
(1)材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．
若设线段，的长为x，则可表示为，
∵， ∴，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）．
(2)实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）．
25．如图1，抛物线与轴交于点A，（A点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接，，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2所示，当点在直线上方运动时（不含、点），设面积为S，写出S与点横坐标的函数关系，并写出的取值范围．
(3)在（2）的条件下，求S的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《四川省绵阳市东辰学校2025--2026学年九年级上学期九月开学数学测试卷》参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D A D A D C D
题号 11 12
答案 A B
二、填空题
13．
解：∵是关于的二次函数，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．
解：∵，是抛物线上的两点，
∴，，
∴，
故答案为：．
15．8
解：设每个支干长出x根小分支，
根据题意可得：，
解得或（不符合题意，舍去），
∴每个支干长出8根小分支，
故答案是：8．
16．<
解：∵，∴，，，∴，
故答案为：<．
17．12
解：∵，是方程的两根，
∴，，
∵是方程的根，
∴将代入得，即，
再将其代入到中得
，
将，代入得
，
故答案为：12．
18．11
解：将可得，方程两边同时除以，
得，即，
∵，
∴m和同时满足，
又∵，
∴，
∴m和是的两个不同根，
∴，
∵
，
将代入，原式，
故答案为：11．
三、解答题
19．（1）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得，；
（2）解：，
，
∴，
∴，；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得，；
（4）解：
，
∴
，
∴，．
20．解：（1）根据题意得，
解得：；
（2）根据题意得：，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∵，
∴．
21．（1）解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为：
把代入抛物线的解析式得：
解得：
所以抛物线为：
（2）解：因为一艘宽为4米，高出水面3米的货船行驶时航线在正中间，
所以当时，
而
所以一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过.
22．解：（1）运动时间为t秒时（0≤t＜6），PB=AB-2t=12-2t，BQ=4t，
∴S△BPQ=PB BQ=24t-4t2=32，
解得：t1=2，t2=4．
答：当移动2秒或4秒时，△BPQ的面积为32cm2．
（2）S=S△ABC-S△BPQ=AB BC-（24t-4t2）=4t2-24t+144=108，
解得：t=3．
答：当移动3秒时，四边形APQC的面积为108cm2．
23．（1）解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，
根据题意，得，
解得，舍去，
答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为；
（2）解：设这种台灯售价应定为元，
根据题意，得，
解得，，
售价在元至元范围内，
，
答：这种台灯售价应定为元．
24．（1）解：∵，
∴
∴，
整理得：
解得：，（舍去），
故黄金分割数为；
（2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长为．
25．（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
又∵，，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
如图，过点P作轴交于E点，
∵点横坐标为，
∴设，，
∴，
∴
，
∵点在直线上方运动，
∴x的取值范围为；
（3）解：由（2）得，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为6．
答案第1页，共2页
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