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2025年山东省青岛市市南区超银学校中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）
1．（3分）中国空间站位于距离地面约400km的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上150℃，其背阳面温度可低于零下100℃．若零上150℃记作+150℃，则零下100℃记作（　　）
A．+100℃ B．﹣100℃ C．+50℃ D．﹣50℃
2．（3分）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占0.0000007mm2，将0.0000007用科学记数法表示应为（　　）
A．0.7×10﹣7 B．0.7×10﹣6 C．7×10﹣7 D．7×10﹣6
4．（3分）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）下列计算中，结果正确的是（　　）
A．（﹣3）﹣2 B．（a+b）2＝a2+b2
C．±3 D．（﹣x2y）3＝x6y3
6．（3分）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）
C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）
7．（3分）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（　　）
A． B．3（x﹣1）＝6210
C． D．
8．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（　　）
A．60° B．62° C．72° D．73°
9．（3分）平行四边形ABCD中，AB＝6，，∠B＝30°，AF是BC边上的高，AE平分∠BAF，交BC于点E．连接DF，交对角线AC于点G，以下结论：
①△ACE是等边三角形；
②；
③；
④．
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10．（3分）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 　 　 .（精确到0.01）
11．（3分）不等式组的整数解有 　 　 个．
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件　 　 ，使平行四边形ABCD是矩形．
13．（3分）如图，已知函数y与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx0的解为 　 　 ．
14．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为　 　 ．
15．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．则下列说法正确的序号为 　 　 ．
①；
②当时，代数式a2+b2﹣5b+8的最小值为3；
③对于任意实数m，不等式am2+bm﹣a+b≥0一定成立；
④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且x1＜x2，当x1+x2+2＞0时，一定有y1＜y2．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
16．（4分）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．
四、解答题（本大题共9小题，共71分）
17．（6分）（1）化简：；
（2）解方程组：．
18．（6分）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
80≤x＜90的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．
根据以上信息解决下列问题：
（1）请补全频数分布直方图；
（2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是 　 　 分；
（3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
（4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按3：2的比例确定这次活动各人的综合成绩．
某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：
模型设计 科技小论文
甲的成绩 94 90
乙的成绩 90 95
通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？
19．（9分）一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．
（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；
（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
20．（9分）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DF平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，CD＝1.2米，AD＝0.8米，∠AGC＝32°．
（1）求支架CG的长（精确到0.01）；
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．
（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）
21．（9分）阅读材料：
转化思想是常用的数学思想之一，在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决，例如，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝　 　 ，x3＝　 　 ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小华把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求AP的长．
22．（9分）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式mx+n的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标．
23．（9分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．
（1）求证：BM＝CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求的长．
24．（9分）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等．
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
25．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，AD＝4cm．点P从点A出发沿AD向点D匀速运动，速度是1cm/s；同时，点Q从点C出发沿CA向点A匀速运动，速度是1cm/s，当一个点到达终点，另一个点立即停止运动．连接PQ，BP，BQ，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥CD？
（2）设△BPQ的面积为s（cm2），求s与t之间的函数关系式；
（3）连接BD，是否存在某一时刻t，使得BP平分∠ABD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
2025年山东省青岛市市南区超银学校中考数学三模试卷
参考答案
一．选择题（共9小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B D C C A C C C C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
10．解：由题意可知，盖面朝上频率在0.53左右波动，
∴根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为0.53．
故答案为：0.53．
11．解：解不等式x得，
x＞﹣2，
解不等式5x﹣3＜9+x得，
x＜3，
所以不等式组的解集为：﹣2＜x＜3．
所以不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2，
即不等式组有4个整数解．
故答案为：4．
12．解：若使 ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形），∠ABC＝90°等（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
故答案为：任意写出一个正确答案即可，如：AC＝BD或∠ABC＝90°．
故答案为AC＝BD或∠ABC＝90°
13．解：∵P的纵坐标为1，
∴1，
∴x＝﹣3，
∵ax2+bx0化为关于x的方程ax2+bx的形式，
∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，
∴x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
14．解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，
∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AMBC2，
∵AD＝AE＝1，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴ENAM，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）2（），
故答案为：．
15．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝﹣1．
∴1．
∴b＝2a．
∴2，故①正确．
将b＝2a代入a2+b2﹣5b+8，
∴a2+b2﹣5b+8＝a2+4a2﹣5×2a+8
＝5（a2﹣2a+1）+3
＝5（a﹣1）2+3．
∵，
∴当a时，a2+b2﹣5b+8取最小值为5×（1）2+3，故②错误．
∵b＝2a，
∴am2+bm﹣a+b＝am2+2am﹣a+2a
＝am2+2am+a
＝a（m2+2m+1）
＝a（m+1）2．
∵a＞0，（m+1）2≥0，
∴am2+bm﹣a+b＝a（m+1）2≥0，即am2+bm﹣a+b≥0，故③正确．
∵x1+x2+2＞0，
∴1．
∴x1，x2的中点在对称轴的右侧．
∵x1＜x2，
∴点P离对称轴的距离比Q离对称轴的距离近．
∵抛物线开口向上，
∴y1＜y2，故④正确．
故答案为：①③④．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
16．解：如图，△ABC为所作．
四、解答题（本大题共9小题，共71分）
17．解：（1）
＝1
＝1
；
（2），
①×2﹣②得，﹣4y＝﹣8，
解得y＝2；
把y＝2代入①得，x﹣1＝2，
解得x＝3，
故方程组的解为．
18．解：（1）∵5÷10%＝50，而80≤x＜90有20人，
∴70≤x＜80有50﹣20﹣5﹣10＝15，
补全图形如下：
（2）∵5+15＝20，
而80≤x＜90的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．
∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：83，83；
中位数为：，
故答案为：83；
（3）全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为：
（人）
答：估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数约600人；
（4）甲的成绩为：（分）；
乙的成绩为：（分）；
∴甲的综合成绩比乙高．
19．解：（1）所有可能性如下表：
甲 乙 红1 红2 白1 白2
红1 （红，红） （白，红） （白，红）
红2 （红，红） （白，红） （白，红）
白1 （红，白） （红，白） （白，白）
白2 （红，白） （红，白） （白，白）
总共12种情况．
（2）摸到两个小球的颜色相同有4种，摸到两个小球颜色不同有8种
∴甲获胜概率，乙获胜概率
∴这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高．
20．解：（1）∵CD＝1.2米，AD＝0.8米，
∴AC＝CD﹣AD＝0.4米，
∵tan∠AGC，∠AGC＝32°，
∴0.62，
∴CG≈0.65米；
（2）该运动员能挂上篮网．理由：
如图2，延长OA，ED交于点M，
∵OA⊥OB，DE∥OB，
∴OA⊥DE，
∴∠M＝90°，
∵CG⊥CD，
∴∠ACG＝90°，
∵∠AGC＝32°，
∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝58°，
∴∠DAM＝∠GAC＝58°，
∵在Rt△ADM中，∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°，
∴AM＝ADsin∠ADM≈0.8×0.53＝0.424（米），
∴OM＝OA+AM＝2.5+0.424≈2.92＜3．
∴该运动员能挂上篮网．
21．解：（1）方程6x3+14x2﹣12x＝0的左边因式分解，得：
2x（3x2+7x﹣6）＝0，
∴2x＝0或3x2+7x﹣6＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣3，x3；
故答案为：﹣3；；
（2）方程x的两边平方，得：
2x+3＝x2，
即x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
经检验，当x＝﹣1时，1，因此﹣1不是原方程的解，
∴方程x的解是：x＝3；
（3）设AP＝x m，则PD＝（21﹣x）m，
∵BP+CP＝27，BP，CP，
∴27．
∴27．
∴x2﹣21x+90＝0，
∴x1＝15，x2＝6．
经检验，x1＝15，x2＝6都是方程的解，
∵AP＞PD，
∴x＝6，不合题意，舍去．
答：AP的长为15m．
22．解：（1）∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），
∴k＝1×3＝﹣3×a，
∴k＝3，a＝﹣1，
∴反比例函数解析式为y，
一次函数y＝mx+n图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3），
，解得，
一次函数解析式为y＝x+2；
（2）由图象可知，不等式mx+n的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1．
（3）在一次函数y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），D（0，2）
∴S△OBD1，
∴S△OCP＝4S△OBD＝4，
设点P的坐标为（m，），
∴4，
解得m，
∴点P（，﹣4）．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴，
∵M为中点，
∴，
∴，即，
∴BM＝CM；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴⊙O的周长为4π，
∵，
∴，
∴的长4π4ππ．
24．解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴（70﹣x﹣y）×1＝2y，
整理得：；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100﹣2（x﹣10）]，
∴w＝2y×24+（70﹣x﹣y）×48+x[100﹣2（x﹣10）]，
整理得：w＝（﹣16x+1120）+（﹣32x+2240）+（﹣2x2+120x），
∴w＝﹣2x2+72x+3360（x＞10），
任务3：由任务2得w＝﹣2x2+72x+3360＝﹣2（x﹣18）2+4008，
∴当x＝18时，获得最大利润，
，
∴x≠18，
∵开口向下，
∴取x＝17或x＝19，
当x＝17时，，不符合题意；
当x＝19时，，符合题意；
∴70﹣x﹣y＝34，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
25．解：（1）∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴，
∵PQ∥CD，
∴△APQ∽△ADC，
∴，即，
解得；
（2）作QE⊥BC于E，又∠ABC＝90°，
∴△CQE∽△CAB
∴，
即，
解得，，
∴S＝S△ABQ+S△APQ﹣S△APB
；
∴．
（3）作PF⊥BD于F，
则当PF＝PA时，BP平分∠ABD，
在Rt△ABD中，，
∵∠DFP＝∠DAB＝90°，∠PDF＝∠BDA，
∴△DPF∽△DBA，
∴，即，
解得，，
∴当时，BP平分∠ABD．

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