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2025年陕西省西安市铁一中湖滨中学中考数学八模试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）我国部分地区的日温差较大，“早穿棉袄午穿纱”这句谛语描绘的就是某地这种奇妙的气温变化现象．若某市某日上午温度上升15℃记作+15℃，那么傍晚温度下降9℃记作（　　）
A．9℃ B．﹣9℃ C．﹣15℃ D．+15℃
2．（3分）一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（　　）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥
3．（3分）春节假期陕西全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了快速发展、平安有序、安全文明、优质高效的目标，期间共接待游客约2283万人次，数据2283万用科学记数法表示为（　　）
A．2.283×108 B．2.283×106 C．22.83×106 D．2.283×107
4．（3分）如图，直线l1∥l2，线段AB交l1，l2于D，B两点，过点A作AC⊥AB交直线l1于点C，若∠1＝15°，则∠2＝（　　）
A．105° B．115° C．100° D．95°
5．（3分）一次函数y＝2x+4的图象如图，下列说法正确的是（　　）
A．点B的坐标是（﹣4，0）
B．△AOB的面积是4
C．y随x的增大而减小
D．点（1，5）在函数图象上
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC的延长线上，且∠ADC＝30°．若AB＝2，则CD的长度为（　　）
A．1 B． C． D．22
7．（3分）如图，半径为10的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE＝12，∠BAC+∠EAD＝180°，则点A到BC的距离等于（　　）
A．8 B．6 C． D．
8．（3分）关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+3a+1（a＞1）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）比较大小： 　 　 ．
10．（3分）如果一个n边形的外角和是内角和的一半，那么n＝　 　 ．
11．（3分）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别是a、b（b＞a），则（a+b）2的值为 　 　 ．
12．（3分）如图，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y（x＜0）的图象上，点C在x轴上，连接AB，BC，AO，组成 ABCO．若S ABCO＝7，则k＝　 　 ．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为　 　 cm．
三、解答题（本大题共13小题，共81分）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式，并在数轴上表示它的解集．
16．（5分）化简：，并在﹣1、0、1、2中选一个你喜欢的数求值．
17．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD．在BC上求作一点P使△ABP≌△ADP．（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF、CE．
求证：AF∥CE．
19．（5分）如图，平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，1），C（4，4）．将△ABC平移后得到△A1B1C1，且点A的对应点是A1（﹣3，1），点B、C的对应点分别是B1、C1．
（1）点A、A1之间的距离是　 　 ；
（2）请在图中画出△A1B1C1．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
20．（5分）有三枚普通硬币，其面值数字分别为1，1，2．现规定：掷一枚硬币，若该硬币正面朝上，则所得的数字为面值数字；若该硬币反面朝上，则所得的数字为0．
（1）若用其中一枚硬币，随机掷10次，其中正面朝上的次数为6次，则在这10次掷币中，该硬币正面朝上的频率为 　 　 ；
（2）若依次掷出这三枚硬币，用画树状图的方法，求掷出这三枚硬币所得数字之和是2的概率．
21．（6分）小华和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度PA，检验自己掌握知识和运用知识的能力．如图所示，旗杆直立于旗台上的点P处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F处．此时，量的小华的影长FG＝2m小华身高EF＝1.6m；然后，在旗杆影子上的点D处，安装测频器CD．测得旗杆顶端A的仰角为49°，量得CD＝0.6m，DF＝5m，旗台高BP＝1.2m．已知在测量过程中，点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于BG，求旗杆的高度PA（参考数据：sin49°≈0.8，cos49°≈0.7．tan49°≈1.2）．
22．（7分）最美人间四“阅”天，4月23日是“世界读书日”，某书店购进了甲、乙两类学生最喜欢的书籍共200套，设购进甲类书籍x套，销售完这两类书籍所获得的利润为y（元），已知这两类书籍的进价与售价如表所示：
甲类书籍 乙类书籍
进价（元/套） 15 22
售价（元/套） 20 30
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若购进甲类书籍的套数不少于乙类书籍套数的3倍，求销售完这两类书籍该书店所获得的最大利润．
23．（7分）对九年级学生进行一次安全知识问答测试，成绩x分（x为整数），评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A，B，C，D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
等级 频数（人数） 频率
A a 20%
B 16 40%
C b m
D 4 10%
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ；
（2）样本中的中位数所在等级是 　 　 ，请补全条形图；
（3）学校决定对C，D等级的学生进行安全再教育，提高学生安全意识，若该校九年级共有500名学生，请估计该校九年级进行安全再教育的学生人数．
24．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，E的CD的中点，连接BE，OE，且BC与OE相交于点F．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）若，BE＝3，求AB的长．
25．（8分）如图①是某大型文化主题乐园中的过山车项目实景图．过山车的一部分轨道，可以各看成一段抛物线，以O为原点，竖直方向为y轴，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，其图象如图②所示，其中OE＝4米，OF＝8米（轨道厚度忽略不计）．
（1）求左侧过山车轨道所在抛物线的函数表达式；
（2）在轨道距离地面4.5米处有两个点P和G（点P在点G的左侧），当过山车运动到点G处时，平行于地面向前运动了5米至点K，又进入下坡段K→H．已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，求OH的长．
26．（10分）【问题提出】在一个直角三角形中，以斜边上任意一点向两直角边做垂直，所截取的矩形的最大面积是多少？
【规律探究】如图①，是一个直角三角形，∠B＝90°，在AC上任取点E，作ED⊥BC，EF⊥AB，得到矩形BDEF，我们可以设EF＝x，证明得到△AEF∽△ACB后，经过推导，用含有x的代数式表示出该矩形的面积S，从而求得答案．
探究：如图①，AB＝8，BC＝6，请根据材料，
填空：①AF＝　 　 x；
②S＝　 　 ；
③矩形BDEF的最大面积的值　 　 ．
【问题应用】如图②，已知有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【拓展延伸】如图③，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝70cm，BC＝108cm，CD＝76cm，且∠B＝∠C＝60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面积为　 　 ．（直接写出答案）
参考答案
一、选择题（每题3分，共24分）
1．解：“正”和“负”相对，所以，若某市某日上午温度上升15℃记作+15℃，那么傍晚温度下降9℃记作﹣9℃．
故选：B．
2．解：如图所示：这个几何体是四棱锥．
故选：D．
3．解：2283万＝22830000＝2.283×107．
故选：D．
4．解：如图，
∵AC⊥AB，
∴∠A＝90°，
∵∠1＝15°，
∴∠ADC＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠ADC＝75°，
∴∠2＝180°﹣75°＝105°．
故选：A．
5．解：由题意，令x＝0，则y＝4，
∴点B坐标为（0，4），故A错误．
令y＝0，则2x+4＝0，
∴x＝﹣2，
∴点A坐标为（﹣2，0），
∴OA＝2，OB＝4，
∴S△AOBOA OB2×4＝4，故B正确．
∵一次函数y＝2x+4中，k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，故C错误．
当x＝1时，y＝2×1+4＝6≠5，
∴点（1，5）不在函数图象上，故D错误．
故选：B．
6．解：过A作AE⊥BC于E，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴BC，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，BE＝CE，
∴AE，
∵∠ADC＝30°，
∴tan30°，
∴DE，
∴CD＝DE﹣CE，
故选：C．
7．解：如图，延长CA交⊙A于点F，连接BF，作AH⊥BC于H，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠BAF＝180°，DE＝12，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴，
∴DE＝BF＝12，
∵AH⊥BC，
∴CH＝BH，
又∵CA＝AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴，
故选：B．
8．解：∵a＞1，
∴函数图象开口向上．
∵选项D中图象开口向下，故该选项不符合题意；
∵对称轴为直线x＝2，
∴函数对称轴在y轴右侧，
选项B的对称轴在y轴左侧，故该选项不符合题意；
令ax2﹣4ax+3a+1＝0，
则Δ＝（﹣4a）2﹣4a（3a+1）＝16a2﹣12a2﹣4a＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）．
∵a＞1，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不同实数根，即二次函数y＝ax2﹣4ax+3a+1的图象与x轴有两个不同交点，
选项A的函数图象与x轴无交点，故该选项不符合题意；
选项C的函数图象与x轴有两个交点，故该选项符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．解：∵，，18＜12，
∴．
故答案为：＞．
10．解：由题意得（n﹣2） 180°360°，
解得n＝6．
故答案为：6．
11．解：根据勾股定理可得a2+b2＝5，
四个直角三角形的面积是：ab×4＝5﹣1＝4，即：2ab＝4，
则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝5+4＝9．
故答案为：9．
12．解：设A（a，），
∵ ABCO中，AB∥x，
∴B点的纵坐标与A点相同，
∴B（，），
∴AB＝a，
∵S ABCO＝7，
∴ 7
解得：k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
13．解：设正方形的中心为O，可证EF经过O点．
连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，
∴MA，MGOB，AG≥AM﹣MG，
当A，M，G三点共线时，AG最小＝（）cm，
故答案为：（）．
三、解答题（本大题共13小题，共81分）
14．解：
．
15．解：去分母得，5﹣5x＜10﹣4x
移项得，4x﹣5x＜10﹣5，
合并同类项得，﹣x＜5，
x的系数化为1得，x＞﹣5．
在数轴上表示为：
．
16．解：
，
∵x＝﹣1，1或2时，原分式无意义，
∴x＝0，
当x＝0时，原式．
17．解：如图所示，点P即为所求．
18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠CBE，
∵BF＝DE，
∴BF+BD＝DE+BD，
即DF＝BE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠AFD＝∠CEB，
∴AF∥CE．
19．解：（1）由勾股定理得，AA1．
故答案为：．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
20．解：（1）由题意得，该硬币正面朝上的频率为，
故答案为：0.6；
（2）画树状图如下：
由树状图可知一共有8种等可能性的结果数，其中掷出这三枚硬币所得数字之和是2的结果数有2种，
∴掷出这三枚硬币所得数字之和是2的概率为．
21．解：过C作CH⊥AB于H，则四边形BDCH是矩形，
∴CH＝BD，BH＝CD＝0.6m，
设BD＝CH＝x，则BF＝（5+x）m，
在Rt△AHC中，tan∠ACH，
∴AH＝CH tan49°＝1.2x，
∴AB＝1.2x+0.6，
连接EG，
∵∠ABF＝∠EFG＝90°，∠AFB＝∠EGF，
∴△ABF∽△EFG，
∴，
∴，
解得：x＝8.5，
∴AB＝10.8，
∴AP＝10.8﹣1.2＝9.6（m），
答：旗杆的高度PA为9.6m．
22．解：（1）设购进甲类书籍x套，则设购进乙类书籍（200﹣x）套，
∴y＝（20﹣15）x+（30﹣22）（200﹣x）
＝5x+1600﹣8x
＝﹣3x+1600；
（2）∵购进甲类书籍的套数不少于乙类书籍套数的3倍，
∴x≥3（200﹣x），
解得x≥150，
∵y＝﹣3x+1600，﹣3＜0，
∴y随x增大而减小，
∴当x＝150时，y有最大值，最大值为﹣3×150+1600＝1150，
答：销售完这两类书籍该书店所获得的最大利润为1150元．
23．解：（1）调查人数为：16÷40%＝40（人），
a＝40×20%＝8，
b＝40﹣8﹣16﹣4＝12，
12÷40×100%＝30%，即b＝30，
故答案为：8，12，30；
（2）将这40名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是B等级，因此中位数在B等级，
A等级8人，6男2女；B等级16人，8男8女；补全条形统计图如下：
故答案为：B；
（3）500200（人），
答：该校九年级共有500名学生中进行安全再教育的学生人数大约有200人．
24．（1）证明：连接OB，则OB＝OC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CBD＝∠ABC＝90°，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CD⊥OC，
∴∠OCE＝90°，
∵点E是CD的中点，
∴BE＝CECD，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠ECB+∠OCB＝∠OCE＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且BE⊥OB，
∴BE与⊙O相切．
（2）解：∵BE＝3，
∴CD＝2BE＝6，
∵∠ABC＝∠ACD＝90°，
∴cosD，
∴ADCD6＝8，
∴AC2，
∵cosA，
∴ABAC2，
∴AB的长是．
25．解：（1）由题意知，E（4，0），F（0，8），
设抛物线F→E→G的函数表达式为y＝a（x﹣4）2．
把F（0，8）的坐标代入，得8＝a（0﹣4）2，
解得，
∴．
（2）∵GK＝5，
当y＝4.5时，，
∴x1＝7，x2＝1．
∴P（1，4.5），G（7，4.5）．
∴PG＝7﹣1＝6．
∵抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同．
PG+GK＝6+5＝11，
∴抛物线K→H→Q可以看作是由抛物线P→E→G向右平移11个单位长度得到的．
∵OE＝4．
∴OH＝4+11＝15，即OH的长为15米．
26．解：【规律探究】∵四边形BFED是矩形，
∴EF＝x＝BD，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴AF8x，
∴BF＝8x，
∴S矩形BDEF＝EF BF＝x×（8x）＝8xx2（x﹣3）2+12，
∵（x﹣3）2≤0，
∴（x﹣3）2+12≤12，
∴矩形BDEF的面积的最大值为12，
故答案为：，（x﹣3）2+12，12；
【问题应用】如图②，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，
由题意知四边形ABCH是矩形，
∵AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，
∴EH＝20、DH＝16，
∴AE＝EH、CD＝DH，
在△AEF和△HED中，
，
∴△AEF≌△HED（ASA），
∴AF＝DH＝16，
同理△CDG≌△HDE，
∴CG＝HE＝20，
∴BI24，
∵BI＝24＜32，
∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，
过点K作KL⊥BC于点L，
由【规律探究】知矩形的最大面积为 BG BF（40+20）（32+16）＝720，
【拓展延伸】如图③，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴EB＝EC，
∵EH⊥BC，
∴BH＝HC，
∵tan60°，
设CH＝BH＝x cm，则EHx cm，
∵BC＝BH+CH＝108＝2x，
∴x＝54，
∴BH＝CH＝54，EH＝54cm，
∴EB＝EC＝2BH＝108cm，
∵AB＝70cm，
∴AE＝38cm，
∴BE的中点Q在线段AB上，
∵CD＝76cm，
∴CE的中点P在线段CD上，
∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，
由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC EH108×541458cm2，
故答案为：1458cm2．

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