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2025菏泽一中八一路校区高三10月学情检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，1，2，，集合，，则　　
A． B． C． D．，
2．“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知复数，则复数的共轭复数是　　
A． B． C． D．
4．已知三棱锥的体积为1，△是边长为2的正三角形，且，则直线与平面所成角的正弦值为　　
A． B． C． D．1
5．已知，，则　　
A． B． C． D．
6．已知数列的前项和为，且，则　　
A．数列是等比数列 B．
C． D．数列是等比数列
7．在四边形中，，，，则该四边形的面积为　　
A．4 B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于点，（点在第一象限），若，则直线的斜率为　　
A．1 B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）进入3月份后，受冷暖空气的共同影响，我市气温起伏较大．现记录了3月上旬日日）我市的日最高气温如下（单位：，23，3，4，7，12，12，16，15，19，则下列说法正确的是　　
A．3月上旬我市日最高气温的极差为
B．3月上旬我市日最高气温的平均数为
C．3日日我市日最高气温持续上升
D．3月上旬我市日最高气温的分位数为
（多选）10．（6分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点，分别是的左、右焦点，点，分别是的左、右顶点，过点的直线与相交于，点，其中点在第一象限内，记直线的斜率为，直线的斜率为，则　　
A．双曲线的焦距为 B．
C． D．
（多选）11．（6分）已知函数其中为实数，则下列说法正确的是　　
A．当时，有最小值
B．当时，在上单调递增
C．，的图象上都存在关于轴对称的两个点
D．当时，记，若有5个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，，，则的最小值为 　　 ．
13．在△中，，，点在上且，则的取值范围是　　 ．
14．已知函数，，若，，且在区间上单调，则　　 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线（非轴）交椭圆于，两点，以为直径的圆经过原点，求直线的方程．
16．已知函数，其中．
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若恒成立，求的取值范围．
17．如图，在四棱锥中，平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18．某市举行中学生排球比赛，甲、乙两所学校代表队争夺比赛的冠军，比赛采用三局两胜制．根据以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为0.6，0.4，且每局比赛的结果相互独立．
（1）求甲代表队夺冠的概率；
（2）比赛开始前，工作人员采购了5个新球作为比赛用球放在袋子中，新球一经使用就变成“旧球”，“旧球”可继续使用．每局比赛前，裁判员从袋中的5个球中随机取出一个球用于比赛，且局中不换球．每局比赛结束后，将本局使用的球放回袋中，与袋中原有的球混合．记甲、乙两校代表队决出冠军后，袋中新球数量为，求随机变量的分布列与数学期望．
19．已知有穷数列，，，，设，，记中元素的个数为．
（1）若数列，2，4，12，求集合，并写出的值；
（2）若是单调数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；
（3）若，，数列由1，2，3，4，，，这个数组成，且这个数在数列中至少出现一次，求的取值个数．
2025菏泽一中八一路校区高三10月学情检测数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C C A B C D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD ABD ACD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，1，2，，集合，，则　　
A． B． C． D．，
解：全集，1，2，，集合，，
则，．
故选：．
2．“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：因为的解集是或，
因为集合是集合或的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
3．已知复数，则复数的共轭复数是　　
A． B． C． D．
解：，
．
故选：．
4．已知三棱锥的体积为1，△是边长为2的正三角形，且，则直线与平面所成角的正弦值为　　
A． B． C． D．1
解：因为△是边长为2的正三角形，
所以．
因为三棱锥的体积为1，
所以．
解得．
设直线与平面所成角为，
所以．
故选：．
5．已知，，则　　
A． B． C． D．
解：由，可得，
可得，
可得．
故选：．
6．已知数列的前项和为，且，则　　
A．数列是等比数列 B．
C． D．数列是等比数列
解：由，得，
两式相减得，
所以，
所以，所以，
又，又，所以，所以，
所以
所以数列不是等比数列，选选错误；
由可知，数列去掉第一项，可构成以为首项，2为公比的等比数列，
所以，选项正确；
，
所以，选选错误；
由可得，，，
所以，所以数列不是等比数列，故错误．
故选：．
7．在四边形中，，，，则该四边形的面积为　　
A．4 B． C． D．
解：由题意可知，，
所以，
所以，
又，所以，
所以，
，
所以．
故选：．
8．已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于点，（点在第一象限），若，则直线的斜率为　　
A．1 B． C． D．
解：已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于点，（点在第一象限），
设是准线，过作于，过作于，过作于，
则，，
又，
所以，
所以，
所以，
所以，
则直线斜率为．
故选：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）进入3月份后，受冷暖空气的共同影响，我市气温起伏较大．现记录了3月上旬日日）我市的日最高气温如下（单位：，23，3，4，7，12，12，16，15，19，则下列说法正确的是　　
A．3月上旬我市日最高气温的极差为
B．3月上旬我市日最高气温的平均数为
C．3日日我市日最高气温持续上升
D．3月上旬我市日最高气温的分位数为
解：对于选项，3月上旬我市日最高气温的极差为，故错误；
对于，3月上旬我市日最高气温的平均数为，故正确；
对于，8日到9日气温是下降的，所以3日日我市日最高气温不是持续上升，故错误；
对于，气温由低到高排列为3，4，7，12，12，15，16，19，23，24，
因为，
所以3月上旬我市日最高气温的分位数为，故正确．
故选：．
（多选）10．（6分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点，分别是的左、右焦点，点，分别是的左、右顶点，过点的直线与相交于，点，其中点在第一象限内，记直线的斜率为，直线的斜率为，则　　
A．双曲线的焦距为 B．
C． D．
解：根据题目：已知双曲线的一条渐近线方程为，
点，分别是的左、右焦点，点，分别是的左、右顶点，
过点的直线与相交于，点，其中点在第一象限内，
记直线的斜率为，直线的斜率为，
选项，双曲线的渐近线方程为，
又一条渐近线方程为，故，解得，
故，解得，故双曲线的焦距为，正确；
选项，由知，，由双曲线定义得，正确；
选项，，当直线与轴垂直时，
中，令时，，故，错误；
选项，，
设，则，即，
，正确．
故选：．
（多选）11．（6分）已知函数其中为实数，则下列说法正确的是　　
A．当时，有最小值
B．当时，在上单调递增
C．，的图象上都存在关于轴对称的两个点
D．当时，记，若有5个零点，则
解：根据题目：已知函数其中为实数，
选项，当时，当时，，函数单调递增，值域为，，
当时，，对称轴为，
最小值为，所以有最小值，故选项正确；
对于，当时，当时，，函数单调递增，
当时，，对称轴为，函数单调递增，
其中，所以在上不单调递增，故选项错误；
对于，设点，关于轴对称的点为，，需满足，
，，即，
设，则．
因为在的图像是连续不断的，当时，，
所以，函数在开区间内总有零点，故选项正确；
对于，当时，，图象如图所示：
解得，解得，
的零点就是关于的方程（记作①的实数解的个数，
令，，则方程①的解集为对于关于的方程（记作②的每一个的值，
所得到的关于的方程（记作③的所有的不同的解的集合，
换言之函数的零点的集合，，根据题意，
方程②的解是函数和的交点的横坐标，可以参照的图象与直线的交点的横坐标估计个数和范围；
方程③的解是函数的图象与直线的交点的横坐标，其中是方程②的每一个解，
方程③有解时，必有，方程②有解，必有，
因此下面可以只考虑的情况和方程②中的非负实数解，
（1）当时，方程②有一个非负实数解，方程③有且只有2解，故方程①只有2解，不合题意；
（2）当时，②只有2个非负实数解，且，
对于方程③有三个解，对于方程③有两个解，
这5个解是直线，和函数的图象的5个不同交点的横坐标，
由图可知显然是不同的，所以这时方程①共五个解，即函数有且只有5个零点，符合题意；
（3）当时，②只有1个非负实数解，此时方程③有两个解，所以方程①有2解，即只有2个零点，不合题意；
（4）当，方程②只有1个非负解且，此时③只有1个解，不合题意；
（5）当时，方程②有两个解，或，
对于，方程③有1个解；对于，此时方程③有1个解，故方程①只有2个解，不合题意；
（6）当，方程②只有一个解且，此时方程③只有1个解，故方程①只有1个解，不合题意，
综上所述，若有5个零点，则，故选项正确．
故选：．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，，，则的最小值为 　　 ．
解：，，，
所以，
当且仅当时，即时取等号．
故答案为：．
13．在△中，，，点在上且，则的取值范围是　　 ．
【解答】
解：根据题意可知，以为坐标原点，方向为轴建立平面直角坐标系，
设，，
因为在△中，，，
则，，，
又点在上且，
设，则，
又，则，，，
解得，，所以，
所以，
因为，所以，则，
所以的取值范围是．
故答案为：．
14．已知函数，，若，，且在区间上单调，则　　 ．
解：根据题意可知，函数，，
设函数的周期为，由，，
结合正弦函数图象的特征可知，
，，
故，
又因为在区间上单调，所以，，故，
所以，
由，得，即且，
所以，当时，，，或，舍，
当时，，，，符合条件，
当时，，，或，舍，
所以，．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线（非轴）交椭圆于，两点，以为直径的圆经过原点，求直线的方程．
解：（1）由，得，则，所以，
将点代入椭圆方程得，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）依题意直线斜率存在，设直线的方程为，
并设点，的坐标分别为，，，．
联立方程消去得，
依题意，△，所以，
且，，
依题意，即，
整理得，
从而，
所以，解得，，满足．
从而直线的方程为．
16．已知函数，其中．
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若恒成立，求的取值范围．
解：（1）当时，，则，
所以（1），又（1），
则切线方程为．
（2）可得，
则，，
即恒成立，
记，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，所以，
故的范围为．
17．如图，在四棱锥中，平面，，，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
解：（1）证明：因为，，所以是线段的中垂线，
即，
又平面，平面，则，
由，，平面，
所以平面．
（2）设与相交于点，取的中点，连接．因为是线段的中垂线，
所以是的中点，则，且．
由平面，，平面，得，，
所以，．
由条件，可求得，，
以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
易得，，，，，1，，，，，．
设平面的法向量为，，，
则，由，
取，则，，
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，，，
则，由，
取，则，，
所以平面的一个法向量为，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．某市举行中学生排球比赛，甲、乙两所学校代表队争夺比赛的冠军，比赛采用三局两胜制．根据以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为0.6，0.4，且每局比赛的结果相互独立．
（1）求甲代表队夺冠的概率；
（2）比赛开始前，工作人员采购了5个新球作为比赛用球放在袋子中，新球一经使用就变成“旧球”，“旧球”可继续使用．每局比赛前，裁判员从袋中的5个球中随机取出一个球用于比赛，且局中不换球．每局比赛结束后，将本局使用的球放回袋中，与袋中原有的球混合．记甲、乙两校代表队决出冠军后，袋中新球数量为，求随机变量的分布列与数学期望．
解：（1）根据题目：比赛采用三局两胜制．根据以往对战的经历，
甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为0.6，0.4，且每局比赛的结果相互独立，
记甲代表队夺冠为事件，甲代表队以比分夺冠为事件，比分夺冠为事件，
，
，
（A），
所以甲代表队夺冠的概率为0.648．
（2）比赛2局结束的概率为，
比赛3局结束的概率为，
随机变量的可能取值为2，3，4，
，
，
，
故随机变量的分布列为
2 3 4
0.2304 0.6464 0.1232
．
19．已知有穷数列，，，，设，，记中元素的个数为．
（1）若数列，2，4，12，求集合，并写出的值；
（2）若是单调数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；
（3）若，，数列由1，2，3，4，，，这个数组成，且这个数在数列中至少出现一次，求的取值个数．
解：（1）因为，，，，则，的可能情况有：
，，，，，，
所以，4，8，10，，．
（2）证明：“充分性”： 为等差数列：，，，，．
则，
能取从1到的每个整数，故，，，，，
因此．
“必要性”：不妨设为递增数列：，，，，作运算并比较如下：
，共个互不相等的数，同理
，共个互不相等的数．
，共个互不相等的数．
，共个互不相等的数，
由及的有穷性，知
．
即为等差数列．
（3）因为数列由1，2，3，4，，，这个数组成且项数为，所以数列中必有相等的项，则任意两项的差值可能为0，，，，，，，，，，
其中，必有，对于，2，3，，，和至少有一个属于，
所以．
①当数列为：1，2，3，4，，，，，，，，4，3，2，1时，
，2，3，4，，，，，，，，0，，，，，，，，，，，
值最大，其值为．
②当数列为：1，2，3，4，，，，，，，，4，3，2，1时，即在①中的数列第一个出现的与对调，
，2，3，4，，，，，，，0，，，，，，，，，，，
此时；
③把②中第一个出现的与对调，即，2，3，4，，，，，，，，，4，3，2，1，
，2，3，4，，，，，，0，，，，，，，，，，，
此时；
以此类推，可得
④当数列为：，1，2，3，4，，，，，，，，4，3，2，1，即为首项，此时．
⑤当④中最后一项1变成2，其余不变，
，1，2，3，4，，，，，，，，4，3，2，2，此时值变为；
⑥当⑤中最后两项2都变成3，其余不变，
，1，2，3，4，，，，，，，，4，3，3，3，此时；
以此类推，可得
⑦当数列为：，1，2，3，4，，，，，，，，，，，即最后的项都变为，此时，其值最小．
综上，知的取值可取，上的每个整数，
个数为．

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