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广东省深圳市宝安区2026届高三上学期教学质量监测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.点从出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为( )
A. B. C. D.
4.设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A. B. C. D.
5.近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有充电站配备个超级快充桩和个普通充电桩，充电站配备个超级快充桩和个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从站调度个充电桩至站，随后技术人员从站随机选取个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件，则( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于，两点，若四边形为矩形，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.如图，圆锥的底面半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形．把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为
A. B. C. D.
8.若正实数，满足，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，则( )
A. B.
C. 与的夹角为锐角 D. 在上的投影向量为
10.设动直线：交圆：于，两点点为圆心，则下列说法正确的有( )
A. 直线过定点 B. 当取得最小值时，
C. 当最小时，其余弦值为 D. 的最大值为
11.已知函数为上的奇函数，当时，，且的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数有三个零点
C. 是周期为的周期函数
D. 线段，与，的图象有个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于，请写出一个满足条件的的标准方程__________．
13.已知函数，，的零点分别为，，，则 ．
14.记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，且，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
按照中华人民共和国环境保护法的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制中国生态环境状况公报，并向社会公开发布下表是年五年中国生态环境状况公报中酸雨区面积约占国土面积的百分比：
年份 年 年 年 年 年
年份代码
求年年份代码与的样本相关系数精确到；
预测年的酸雨区面积占国土面积的百分比．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
样本相关系数，．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且对任意的有．
证明：数列为等比数列；
求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
设点在上，且判断直线是否在平面内，说明理由．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上．
求椭圆的方程；
设椭圆的左、右顶点分别为，，点，为椭圆上异于，的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．
求证：直线恒过轴上一定点；
设和的面积分别为，求的最大值．
19.本小题分
已知函数，其中为非零常数．
若函数在上单调递增，求的取值范围；
设，且，证明：当时，函数在上恰有两个极值点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：由已知可得，，，
由题可列下表：
，，
．
由知，，，
所求经验回归方程为．
令，，
预测年的酸雨区面积占国土面积的百分比为．

16.解：证明：当时，，则；
当时，由可得．
两式相减得，即，．
因为，则，，以此类推可知，对任意的，，
所以，数列构成首项为，公比为的等比数列．
解：由，故，则．
所以，
．

17.证明：平面，平面，，
，，平面，平面，
平面．
解：以为原点，在平面内过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
，，
易得平面的法向量，
设平面的法向量，
则，取，得，
设二面角的平面角为，又二面角的平面角为锐角，
则．
二面角的余弦值为．
直线在平面内，理由如下：
点在上，且，，
，
平面的法向量，
，且点在平面内，
故直线在平面内．
18.解：由题意可得解得，所以椭圆的方程为．
方法一：第三定义转化
依题意，点，设，
因为若直线的斜率为，则点，关于轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为，设其方程为，与椭圆联立
整理得：，
所以，且
因为点是椭圆上一点，即，
所以，
所以，即
因为
，
所以，此时，
故直线恒过轴上一定点．
方法二：非对称韦达
依题意，点，设
因为若直线的斜率为，则点，关于轴对称，必有，不合题意
所以直线斜率必不为，设其方程为，与椭圆联立得：
所以整理得：，
所以，且
依题意，，即．
算法：和积关系转化法
因为，
所以，
所以解得：．
算法：韦达定理代入消元
因为，
所以，
所以解得：．
方法三：分设两线再联立
依题意，点，设，设，并设直线，直线，
因为联立直线与椭圆得：
所以整理得：，解得：．
因为联立直线与椭圆得：
所以整理得：，解得：．
因为，且，此时，
设直线与轴交于点，则由，，三点共线易知，
，
即线段过点．
由得，
所以
当且仅当即时等号成立，
所以的最大值为．

19.解：由题知 ，
若，因为， ，则，所以在上单调递增，
若，则当时，，从而 ，
所以在上单调递减，不满足题意，
综上分析，的取值范围是．
证明：令，则 ，即 ，
设 ，则 ，
当时， ， ，
则 ， ，从而，所以单调递减；
当时，令 ， ，
因为 ， ，则，
从而单调递增．因为，，
则在上有唯一零点，记为，且当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
当时，令 ，
，
因为 ， ，则，从而单调递减，
因为，，则在内有唯一零点，记为，且当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，，则当时，，所以单调递增．
综上分析，在上单调递减，在上单调递增．
因为，则当时，直线与函数的图象在上有两个交点，
从而有两个变号零点，即在上恰有两个极值点．
因为，则 ，即 ，
从而 ，
取，则 ，满足题设条件，
所以当 时，函数在上恰有两个极值点．
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