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第42届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题
2025年10月25日9：00-12：00
提示对于多元函数f化，y,2有，f,2)≡员fxy习=最fx,y2训：不安
余类推。
一，(45分)在许多生物分子的自组装过程中，极性分子间的电偶极相互作
y
用在决定分子排布中扮演着重要角色。在蛋白质片段中，极性分子之问往往
g
y=b
iB
受到空间限制：一部分极性分子固定在膜或支架上，另一部分可在轨道上滑
动或转动。这种空间几何限制与偶极作用的耦合，形成了高度方向性的势能
分布，决定了生物分子的稳定构型。如图1a,在xy二维平面上棋模拟上述现
0
象：中心固定在坐标原点0处的极性分予A具有永久电偶极矩男，大小为
图la
P,方向沿y轴正方向：极性分子B具有水久电偶极矩2，大小也为P,方
向与y轴的夹角为日(-π<0≤π)，质心位于(：，y=b)处，其中b>0,x可变，经过y=b处有一条平行于
x轴的光滑细导轨，分子B的质心由质量可忽略的光滑绝缘轴与导轨连接，绝缘轴垂直于xy平面且长度可
忽略，可以沿若导轨运动。已知分子B的质量为m,质心位于绝缘轴处，为计算方便起见取其绕绝缘轴的
转动惯量为1=mb.x轴方向和y轴方向的单位矢量分别记为6，、号，”真空介电常量为。·不计重力
(1)求极性分子A在极性分子B处产生的电场强度E,:
(2)求极性分子B受到的电场力沿x方向的分量F,和其受到的绕绝缘轴的力矩M,导出其静止不动的
条件：
(3)分析极性分子B在其平衡位置（只需要考虑其中日较小的那个平衡位置）附近的稳定性，求出分子B
偏离该平衡位置较小时x()和()的一般表达式（由于暂未给出初始条件，结果中可包含待定积分常量）：
(4)将极性分子B在初始位置x=a(0二.(45分)「约定：沿x抽正方向传播的一维简谐横波可表示为
y(x,t)=Acos(kx-a+)=Re[j(x,1)],(x,t)=Ael(kr)=A(x)e-u
其中A、心、k和见，分别为振幅、角频率、波夫（可用w和介质参量表示）和初相位，A()=A贴)称为
波在x处的复振幅。]
具有空间周期性的弹性介质称为“声子晶体”。现讨论角频率为)
y
P,r
的小幅横波在一维弦线上的传播特性。不计重力。
(1)考虑一根无限长均匀弦线，其质量线密度为P、张力为x,x轴沿弦
图28
线方向，如图2所示。一列振幅为A、初相位为0的简谐波沿x轴正方
向传播。求在1时刻、x处沿x方向单位原长弦线的动能6(x,)和势能E,(:,)(取没有波传播时弦线的势能
为零)，以及瞬时能流I(x,)和平均能流I。
(2)弦线中同时存在沿x轴正方向和负方向传播的简谐波时，将这两列波在x=:处的复振幅分别记为A、
豆，在x=为2处的复振幅分别记为A2、瓦2，A,、五可用A、豆表示为
了=MA+:瓦，其矩阵表示为
瓦=MA+in成
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蠡巴

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