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辽宁省大连市第二十四中学 2026届高三上学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { |log2 ≤ 1}， = { || 2| ≤ 1}，则 ∪ =( )
A. ( ∞, 3] B. (3,+∞) C. (0,+∞) D. (0,3]
2.已知复数 满足| 4 3i| = 5(i为虚数单位)，则复数 在复平面上对应的点不可能位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知命题 ： > 1, 2 1 > 0，则 是( )
A. ≤ 1, 2 1 ≤ 0 B. > 1, 2 1 ≤ 0
C. ≤ 1, 2 1 ≤ 0 D. > 1, 2 1 ≤ 0
4.已知平面向量 = ( 1, 5), = (1, 2)，若 // ，则 =( )
11 11
A. B. 3 C. 3 D.
3 3
π
5.已知 的内角 , , 的对边分别为 , , ，且 = 6， = ，若 有两解，则 的取值范围为( )
3
A. (3√ 3,+∞) B. (3,3√ 3) C. (3,+∞) D. (3√ 3, 6)
π
6.已知平面向量 和单位向量 ， , = ，且| | ≥ | |对任意实数 恒成立，则| |的值为( )
3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知连续函数 ( )在定义域R上的导函数为 ′( )，若方程 ′( ) = 0无解，且 [ ( ) 2025 ] = 2025，
π π
当 ( ) = sin + cos 在[ , ]上与 ( )在R上的单调性相反时，则实数 的取值范围是( )
2 2
A. ≤ √ 2 B. ≤ 1 C. ≥ 1 D. ≥ √ 2
+
8.设 , 为两个不同的正数，我们称 为 , 的对数平均值，且已知恒有√ < < 成立，该
ln ln ln ln 2

不等式也称为对数均值不等式，它在各个领域都有着重要应用．已知 ( ) = ln(e + 1) ，且 =
2
2 2 √ 6
(ln ) , = ( ) , = ( )，则 , , 的大小关系是( )
3 5 6
A. > > B. > > C. > > D. > >
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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π
9.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < )的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
2
1
A. =
2
3π
B. ( )图象的一个对称中心为( , 0)
4
3π
C. = ( )是偶函数
4
2 π
D. 将 ( )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到 ( ) = sin ( )的图象
3 4
2
10.已知等差数列{ }的前 项和为
2
，且 2022 < 2025.若不等式e 1 ≤ 4049 ≤ ln( + 1)对于任
意的实数 , 恒成立，当 = 时， 取得最大值，则 + 2 + 的最小值可能为( )
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
11.已知定义在 上的函数 ( )满足：对任意实数 ， ，恒有[ ( ) + 1] [ ( ) + 1] = ( + ) + 1，若
(1) = 1，当 < 0时， ( ) < 0，则下列结论正确的是( )
A. (0) = 0
B. 函数 ( )的最小值为 1
C. ( )为 上的增函数
D. 关于 的不等式 ( ) + (2 ) > 3的解集为( ∞,0) ∪ (2,+∞)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知i为虚数单位，复数 = ( 1) + i是纯虚数，则实数 = ．
13.已知在 中， = 4, = 4，若| + (1 ) |的最小值是2√ 3，则对于 内的任意一点
， ( + )的最小值是 ．
14.已知定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，设e = ( ) + ( )，其
中 ( ), ( )分别为奇函数和偶函数，则 (2) 2[ (1)]2 = ；若正项数列{ }满足
2
+1 = 2 1，且
10 = (512ln2)，则 1 = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{ }是等差数列，其前 项和为 , 3 = 6, 3 = 12．
(1)求数列{ }的通项公式；
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(2)若数列{ }满足 =

，且 ≥ 2时， ≥ 恒成立，试求实数 的最小值． 3
16.(本小题15分)
已知在 中， = 1, = 2, 为 边中点．
π
(1)若 = ，试求边 的长；
3
(2)若 为锐角，过点 分别作∠ 的平分线和边 的垂线，与边 分别交于点 和点 .是否存在

，使得tan = 2 成立？若存在，试求出 的面积 ；若不存在，请说明理由． 2
17.(本小题15分)
1
已知函数 ( ) = 3 + 2 + (2 ) + ， ( ) = 2 + 2(2 ) + 4 3 ，其中 > > 0，
3
设 0为 ( )的极小值点， 1为 ( )的极值点， ( 2) = ( 3) = 0，并且 2 < 3，将点( 0, ( 0))，
( 1, ( 1))，( 2, 0), ( 3, 0)依次记为 , , , ．
(1)求 0的值；
(2)若四边形 为梯形且面积为1，试求实数 的值．
18.(本小题17分)
已知在数列{ }中， 1 = 1，其前 项和为 ，且3 (2 + 3) 1 = 3 ( > 0, ∈ +, ≥ 2)．
(1)求证：数列{ }是等比数列；
1 1
(2)设数列{ }的公比为 ( )，若数列{ }满足 1 = , = ( ) ( ∈ +, ≥ 2)． 3 1
1
①若用[ ]表示不大于 的最大整数，试求[ ( 1 2 + 100 2 3 3
4 + 4 5 + 100 101)]的值；
1
②设数列{ }的前 项和为 ，若存在正整数 , ( < )，使得 1, , 成等比数列，试求出所有的 +1
, 的值．
19.(本小题17分)
牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：设 = 是函数 = ( )的零
点，即 ( ) = 0.选取 0作为 的初始近似值，过点( 0, ( 0))作曲线 = ( )的切线 , 的方程为 =
( 0) +
′( 0)( 0)，若
′( 0) ≠ 0，则直线 与 轴的交点的横坐标记为 1，再过点( 1, ( 1))作曲线
= ( )的切线，并求出切线与 轴的交点的横坐标记为 2，重复以上过程，得 的近似值序列
{ }: 1, 2, , ，也称为牛顿数列，根据已有精确度 ，当| 1| < 时，则 为近似解．设 ( ) =
+ ln ．
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(1)当 0 = 1时，试用牛顿法求方程 ( ) = 0满足精确度 = 0.5的近似解．(参考数据；ln2 ≈ 0.693, ln3 ≈
1.098, ln5 ≈ 1.609，结果保留两位小数)；
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，若 ( ) =
( + 1 ( ))．
e2
①证明：ln7 + > 3；
7
②若关于 的方程 ( ) = 的两个根分别为 1, 2( 1 < 2)，证明： 2 1 > e e ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13. 6．
5
14. 1； /1.25
4
( + )×3
15.【详解】(1)因为 = 1 33 = 3 2 = 12，所以 2 = 4， 2
因为 3 = 6，所以公差 = 3 2 = 2， 1 = 2 = 4 2 = 2，
故 = 1 + ( 1) = 2 + 2( 1) = 2 ；
2
(2)因为 =

= ，且 ≥ 2时， ≥ 恒成立， 3 3
所以 ≥ ( )max，
2( +1)
+1 +1 4
因为 ≥ 2时， +1 = 3 = < 1，所以 < ，所以( ) = = ，
2 +1 max 2 3 9
3
4 4
所以 ≥ ，所以实数 的最小值为 ．
9 9
π
16.【详解】(1)因 = 1, = 2， = ，
3
π 1
则在 中由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 cos = 1 + 4 4 × = 3，
3 2
则 = √ 3;
(2)设 = 2 ， = 2 ，
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1 1 sin2
因 = × 1 × 2sin2 = sin2 = 2 ，则 = ， 2 2
1 1
因 = + ，则sin2 = × 1 × × sin + × 2 × × sin ， 2 2
4cos
则 = ，
3
2 2
因 为 边中点，则2 = + ，则(2 ) = ( + ) ，
2 2
即4 2 = + 2 + = 1 + 4cos2 + 4 = 4cos2 + 5，
4cos2 +5
则 = √ ，
4

若存在 ，使得tan = ，
2 2
sin2
则tan =
9
= tan ，
4cos 2 4cos2 +5 √
( ) √ 4 4cos2 +5
3 4
π π 9
因 为锐角，则2 ∈ (0, )，即 ∈ (0, )，故tan ≠ 0，则 = 1，
2 4 4 √ 4cos2 +5
2+ 2 2 1+4 4 2 5 4 2
在 中由余弦定理得，cos = = = > 0
2 2×1×2 4
5
则4 2 = 5 4cos2 ， 2 < ，
4
19
则4 √ 4cos2 + 5 = 2√ (5 4cos2 )(4cos2 + 5) = 9，得cos22 = ，
64
19 19 45
则cos2 = √ ，sin2 = √ 1 = √ ，
64 64 64
1 45 3√ 5
则 的面积 = × 1 × 2sin = sin = √ = ．
2 64 8
2
17.【详解】(1) ′( ) = 2 + 2 + 2 = ( + 1) ( + )，

2
因 > > 0，则 < 1，

故 ′
2 2
( ) > 0得 < 或 > 1； ′( ) < 0得 < < 1，

2 2
则 ( )在( ∞, )，( 1,+∞)上单调递增，在( , 1)上单调递减，

则 ( )在 = 1处取极小值，故 0 = 1；
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2(2 ) 2
(2) ( ) = 2 + 2(2 ) + 4 3 , > 0，可知 1 = = ， 2
2 2
4 (4 3 ) 4(2 ) 4( )
( 1) = = ， 4
2 3 4 令 + 2(2 ) + 4 3 = 0得 = 1或 = ，

3 4 3 4
因 ( 2) = ( 3) = 0，并且 2 < 3， < 1，则 2 = , 3 = 1，
2
1 1 2 4( ) 3 4
因 ( 1) = ，故 ( 1, )， ( , )， ( , 0) , ( 1,0)，
3 3
3 4 2
因 > > 0，则 < < 1，则直线 与直线 不平行，

2
1 4( )
因四边形 为梯形，则 // ，则 = ，即2√ 3 = (1 + 2√ 3)
3
1 1 1 2 3 4
因梯形 面积为1，则 (| | + | |) ( ) = [( 1 ) + ( 1 )]
2 3 6
= = 1，
解得 = 2√ 3．
18.【详解】(1)因为3 (2 + 3) 1 = 3 ( > 0, ∈ N+, ≥ 2)，
所以3 +1 (2 + 3) = 3 ( > 0, ∈ N+)，

两式相减，得3 +1
2 +3
+1 = (2 + 3) = ， 3
在3 (2 + 3) 1 = 3 ( > 0, ∈ +, ≥ 2)中，令 = 2，得
2 +3
3 2 (2 + 3) 1 = 3 3 ( 2 + 1) (2 + 3) 1 = 3 2 = ， 3
2 2 +3显然 = ，
1 3
所以数列{ }是等比数列．
2 +3
(2)由(1)可知： ( ) = ，
3
1
1 2 +3 2
= ( ) =
1
1 ( ∈ N +, ≥ 2
) 1 = ，
1 3 3
1
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2 1 2 2 1
所以数列{ }是公差为 的等差数列， = + ( 1) = ； 3 3 3 3
1
①： ( + + +
100 1 2 2 3 3 4 4 5 100 101
)
1
= [( 1 2 + 2 3) + ( 3 4 + 4 5) + + ( 100 100
101 99 100)]
1 2 2 2
= (
100 2
2 × + 2 × + + 2 × )
3 4 3 100 3
1 4
= × (
100 3 2
+ 4 + + 100)
1 4 ( 2 + 100) × 50
= × ×
100 3 2
2×2 1 2×100 1
+
3 3 202= = ，
3 9
1
所以[ ( + +
100 1 2 2 3 3 4 4 5
+ 100 101)] = 22
1 1 9 9 1 1
②： = = = ( )，
2 1 2 +1 +1 × (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1
3 3
9 1 1 1 1 1 1 9 1 9
= ( + + + ) = (1 ) = ， 2 1 3 3 5 2 1 2 +1 2 2 +1 2 +1
9 2 9 3 2 2 √ 6
当 1, , 成等比数列时，( ) = 3 × = > 0 2
2 + 4 + 1 > 0 <
2 +1 2 +1 2 2+4 +1 2
2+√ 6
< ，
2
因为 ∈ N+, ≥ 2，2 < √ 6 < 3
3×22
所以 = 2， = 2 = 12， 2×2 +4×2+1
所以存在正整数 = 2, = 12，使得 1, , 成等比数列．
1 1
19.【详解】(1) ′( ) = 1 + ，则 ′( ) = 1 + ，又 ( ) = + ln ，
1
则 ( )在点( , ( ))处的切线方程为 = + ln + (1 + ) ( )，
1 (1 ln )令 + ln + (1 + ) ( ) = 0，解得 = ， +1
(1 ln ) 1 (1 ln1) 1
即 = +1 ，由 = 1，则 +1 0 1 = = ， 1+1 2
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1 1
| 1 0| = 1 = ，不满足题意； 2 2
1 1
(1 ln ) (1 ln ) 1+ln2 1+0.693
2 =
1 1 = 2 2 = ≈ ≈ 0.56433，
1 31+1 3 3
2
1
则| 2 1| ≈ 0.56433 = 0.06433 < 0.5，满足题意， 2
故方程 ( ) = 0满足精确度 = 0.5的近似解为0.56；
(2)① ( ) = ( + 1 ln ) = ln ，
′( ) = 1 ln 1 = ln ，
则当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0，当 ∈ (1,+∞)时， ′( ) < 0，
故 ( )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
则 ( ) ≤ (1) = 1 1 ln1 = 1，
7 7 7 7 7 7 21 7ln7
则 ( 2) = 2 2 lne e e e2 = 2 e e2
(ln7 2) = 2 < 1， e
e2
即21 7ln7 < e2，化简得 + ln7 > 3；
7
②由 ( ) = ln = (1 ln )，
则当 ∈ (0, e)时，1 ln > 0，则 ( ) > 0，
当 ∈ (e,+∞)时，1 ln < 0，则 ( ) < 0，
又关于 的方程 ( ) = 有两个根 1, 2( 1 < 2)，
则0 < < 1，且有0 < 1 < 1 < 2 < e， ( 1) = ( 2) = ，
当0 < < 1时，有 ( ) = ln > 0，则 1 < ( 1) = ，
1
当1 < < e时，过点(1,1)与点(e, 0)的直线 : = ( e)，
e 1
1 1 1
令 ( ) = ( ) ( ) ( e)，则 ′( ) = ′( ) + = ln + ，
e 1 e 1 e 1
1 1′ 1
1
令 ( ) = ln + = 0，解得 = ee 1，由0 < < 1，则1 < ee 1 < e，
e 1 e 1
1 1
则当 ∈ (1, ee 1)时， ′( ) > 0，当 ∈ (ee 1, e)时， ′( ) < 0，
1 1
故 ( )在(1, ee 1)上单调递增，在(ee 1, e)上单调递减，
1
又 (1) = (1) ( ) (1 e) = 1 1 = 0，
e 1
1
(e) = (e) ( ) (e e) = 0 0 = 0，
e 1
1
故 ( ) > 0，即 ( ) ( ) ( e) > 0恒成立，
e 1
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1
则 = ( 2) > ( ) ( 2 e)，化简得 2 > e (e 1)， e 1
则 2 1 > e (e 1) = e e ，即得证．
第 10 页，共 10 页

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