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陕西省蒲城县第三高级中学 2026届高三上学期第一次质检考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.命题“ ∈ ， 2 4 5 < 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 4 5 ≥ 0 B. ， 2 4 5 ≥ 0
C. ， 2 4 5 ≥ 0 D. ∈ ， 2 4 5 ≥ 0
2.已知集合 = {1,0, 1, 2}， = { | ≤ 0或 ≥ 3}，则 ∩ =( )
A. {0, 1, 2} B. {1,0} C. { 1, 2} D. [0,3]
1
3.函数 ( ) = √ 3 + 的定义域是( )
2
A. (2,3] B. ( ∞, 2) ∪ (2,3) C. ( ∞, 2) ∪ (2,3] D. ( ∞, 3]
π π
4.“ < < ”是“角 的终边落在第一或第四象限”的( )
2 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
π
5.已知角 的顶点在坐标原点 ，始边与 轴的非负半轴重合．若角 的终边绕着原点按顺时针方向旋转 后
4
经过点 (3, 4)，则tan =( )
1 1
A. 7 B. C. 7 D.
7 7
6.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的
碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先
mg
进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量 ( )与时间 (小时)的关系为 =
L
0e ( 0为最初污染物数量，且 0 > 0).如果前4个小时消除了20％的污染物，那么污染物消除至最初的
64％还需要( )
A. 3.8小时 B. 4小时 C. 4.4小时 D. 5小时
7.若函数 ( ) = ln( 2 2 + + 2)的值域为 ，则 的取值范围是( )
A. ( 1,2) B. [ 1,2]
C. ( ∞, 1) ∪ (2, +∞) D. ( ∞, 1] ∪ [2, +∞)
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e , > 0
8.已知函数 ( ) = { 2 ，若关于 的不等式 ( ) ≥ 0的解集为[ 4, +∞)，则 的取 + ( 4) + 4 , ≤ 0
值范围为( )
A. ( ∞, e2] B. ( ∞, e] C. [0, e2] D. [0, e]
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，在区间( ∞, 2)上单调递减的是( )
1
A. ( ) = | 2| B. ( ) = C. ( ) = e 2 D. ( ) = ln(2 )
2
10.下列等式成立的有( )
A. tan25° + tan35° + √ 3tan25°tan35° = √ 3
√ 2 √ 2 √ 3
B. cos15° sin15° =
2 2 2
2cos10° sin20°
C. = 1
cos20°
1 √ 3
D. = 4
sin10° cos10°
11.已知函数 ( )及其导函数 ′( )的定义域均为 ，若 (3 + 1)是偶函数，且 (2 + ) (2 ) = ，令
( ) = ′( )，则下列说法正确的是( )
1
A. 函数 = ( + 2)是奇函数 B. (1) = 0
2
325
C. 函数 ( )的图象关于点(3,1)对称 D. ∑26 =1 ( ) = 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知偶函数 ( )满足：当 > 0时， ( ) = log + 22 ，则 ( 4) = ．
13.若函数 ( ) = 3 的减区间为[ 1,1]，则 的值为 ．
+1 +1
14.若lg + lg = 2，则 + 的最小值为 ．

四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知全集 = ，集合 = { |3 2 10 + 3 ≤ 0 }， = { |2 2 + < 0 }．
(1)若 = 8，求 ∩ 和 ∪ ；
(2)若( ) ∩ = ，求 的取值范围．
16.(本小题15分)
π π √ 5 4
已知0 < < < < π，且cos ( ) = , sin( + ) = ．
2 4 5 5
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π
(1)求cos ( + )的值；
4
5π
sin( 7π)+2sin( + )
(2)求 23π 的值．
cos( )+cos( +9π)
2
17.(本小题15分)
已知关于 的不等式 2 2 8 < 0的解集为{ | 2 < < }．
(1)求 ， 的值；

(2)若 > 0， > 2，且 + = 4，求 + 2 的最小值．
+2
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 2 2 是定义在 上的奇函数．
(1)求 的值，并证明： ( )在 上单调递增；
(2)求不等式 (3 2 5 ) + ( 4) > 0的解集；
(3)若 ( ) = 4 + 4 2 ( )在区间[ 1, +∞)上的最小值为 2，求 的值．
19.(本小题17分)
1
已知函数 ( ) = 4 ln 2 3( ∈ R)．
2
(1)若 = 1，求 ( )的图象在 = 1处的切线方程；
(2)若 ( )恰有两个极值点 1, 2( 1 < 2)．
①求 的取值范围；
②证明： ( 1) + ( 2) < 4 ln ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.18
13.3
11
14.
5
15.【详解】(1)若 = 8，则 = { |2 2 8 < 0 } = { | 2 < < 2 }，
1
= { |3 2 10 + 3 ≤ 0 } = { | ≤ ≤ 3 }，
3
1
则 ∩ = { | ≤ < 2 }， ∪ = { | 2 < ≤ 3 }；
3
(2)由( ) ∩ = ，则 ∩ = ，
当 = 时，即2 2 + ≥ 0恒成立，即 ≥ 0；
√ 2 √ 2
当 ≠ 时，即 < 0时， = { |2 2 + < 0 } = { | < < }，
2 2
1
由 = { |3 2 10 + 3 ≤ 0 } = { | ≤ ≤ 3 }，
3
√ 2 1 √ 2 2 2
则有 ≤ 或 > 3，分别解得 ≥ ，无解，故 ≤ < 0；
2 3 2 9 9
2
综上所述： ≥ ．
9
π π π 3π π √ 5
16.【详解】(1)因为 < < π，所以 < < ，因为cos ( ) = ，
2 4 4 4 4 5
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2
π √ 5 2√ 5
所以sin ( ) = √ 1 ( ) = ，
4 5 5
π π 3π
因为0 < < < < π，所以 < + < ，
2 2 2
4 4 2 3
又sin( + ) = ，所以cos( + ) = √ 1 ( ) = ，
5 5 5
π π
所以cos ( + ) = cos [ + ( )]
4 4
π π
= cos( + )cos ( ) + sin( + )sin ( )
4 4
3 √ 5 4 2√ 5 √ 5
= × + × = ．
5 5 5 5 5
π π π π π π
(2)由题意知sin = sin ( + ) = sin ( ) cos + cos ( ) sin
4 4 4 4 4 4
2√ 5 √ 2 √ 5 √ 2 3√ 10
= × + × = ，
5 2 5 2 10
π
又 < < π，所以cos = √ 1 sin2
√ 10 sin
= ，所以tan = = 3，
2 10 cos
5π
sin( 7π)+2sin( + )
2 sin +2cos tan +2 3+2 5所以 3π = = = = ．
cos( )+cos( +9π) sin cos tan 1 3 1 2
2
17.【详解】(1) ∵不等式 2 2 8 < 0的解集为{ | 2 < < }，
∴ 2和 是方程 2 2 8 = 0的两个实数根，且 > 0，
2
2 + = = 1
∴ { ，解得{ ；
8
2 × = = 4

= 1
(2)(2)由(1)知{ ,
= 4
1 4
于是有 + = 4， > 0， > 2，
+2
1 1 4 1 2( +2) 4
所以 + 2 = + 2( + 2) 4 = [ + 2( + 2)]( + ) 4 = (9 + + ) 4
4 +2 4 +2
1 2( + 2) 4 7
≥ (9 + 2√ ) 4 = √ 2
4 + 2 4
1 4 1 √ 2 √ 2
当且仅当 + 2 = √ 2 且 + = 4，即 = + , = 1 + 时等号成立，
+2 4 2 4
7
故 + 2 的最小值为√ 2
4
18.【详解】(1) ∵ ( )是定义域为R上的奇函数，
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∴ (0) = 0，∴ 20 2 0 = 0， 1 = 0，∴ = 1，
此时 ( ) = 2 2 , ( ) = 2 2 = ( )，
经检验， = 1符合题意；
函数的定义域为R，在R上任取 1， 2，且 1 2 < 0，
1
( ) ( ) = 2 2 2 2 2 1 + 2 1 = (2 2 2 12 1 )(1 + + ) > 0 2 1 2
∴函数在R上单调递增，
(2)由(1)可知 ( ) = 2 2 ，且在R上单调递增的奇函数，
由 (3 2 5 ) + ( 4) > 0可得 (3 2 5 ) > (4 )，
∴ 3 2 5 > 4 ，即3 2 4 4 = (3 + 2)( 2) > 0，
2
∴ > 2或 < ，
3
2
∴不等式的解集为{ | > 2或 < }；
3
(3) ∵ ( ) = 2 2 ， ( ) = 4 + 4 2 ( )
∴ ( ) = 22 + 2 2 2 (2 2 ) = (2 2 )2 2 (2 2 ) + 2．
3
令 = ( ) = 2 2 ，∵ ≥ 1，∴ ≥ ( 1) = ，
2
∴ ( ) = 2 2 + 2 = ( )2 + 2 2，
3
当 ≥ 时，当 = 时， ( )min = 2
2 = 2，则 = 2( = 2舍去)；
2
3 3 17 25 3
当 < 时，当 = 时， ( )min = + 3 = 2，解得 = < ，符合要求， 2 2 4 12 2
25
综上可知 = 2或 ．
12
1 1 1
19.【详解】(1)当 = 1时， ( ) = 4 ln 2 3, (1) = 4 × 1 ln1 × 1 3 = ，
2 2 2
′ 1
2+4 1 ′ 1+4 1 ( ) = 4 = ，则 (1) = = 2
1
1
则 ( )的图象在 = 1处的切线方程为 = 2( 1) + ，即4 2 3 = 0．
2
2+4
(2)① ′( ) = 4 = ( > 0)，

令 ( ) = 2 + 4 ( > 0)，由 ( )恰有两个极值点 1, 2( 1 < 2)，
则 2 + 4 = 0有两个不同实数根 1, 2，且0 < 1 < 2，
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Δ = 16 4 > 0
则有{ 1 2 = > 0，即0 < < 4；
1 + 2 = 4
②由①知，0 < < 4，且 1 2 = , 1 + 2 = 4，
1 2 1则 ( 21) + ( 2) = 4 1 ln 1 1 3 + 4 2 ln 2 2 3 2 2
1
= 4( 1 + 2) ln
2
1 2 [( 1 + 2) 2 2 1
2] 6
1
= 4 × 4 ln (42 2 ) 6 = 2 + ln ，
2
则要证 ( 1) + ( 2) < 4 ln ，即证2 + ln < 4 ln ，
即 + ln ln 2 < 0，
令 ( ) = + ln ln 2(0 < < 4)，
1 1
′( ) = 1 + ln 1 = ln ，

1 1 1
令 ( ) = ln ，则 ′( ) = 2 < 0在 ∈ (0,4)上恒成立，
故 ( )在(0,4)上单调递减，
1 1
又 (1) = 1 ln1 = 1 > 0, (2) = ln2 < ln√ e = 0，
2 2
1 1
故存在 0 ∈ (1,2)，使 ( 0) = ln 0 = 0，即ln 0
= ，
0 0
则当 ∈ (0, 0)时，
′( ) > 0, ∈ ( 0, 4)时，
′( ) < 0，
即 ( )在(0, 0)上单调递增，在( 0, 4)上单调递减，
1 1 1
则 ( ) ≤ ( 0) = 0 + ln 0 0ln 0 2 = 0 + 0 × 2 = 0 + 3， 0 0 0
1
由对勾函数性质可知， = + 在(1,2)上单调递增，

1 1
由 0 ∈ (1,2)，则 0 + 3 ∈ ( 1, )， 0 2
即 ( ) ≤ ( 0) < 0，即 + ln ln 2 < 0，
即可得证： ( 1) + ( 2) < 4 ln ．
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