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天津市武清区杨村第一中学 2026届高三上学期第一次形成性检测
数学试卷
一、单选题：本题共 9小题，每小题 5 分，共 45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { ∣ 0 < < 3}， ∩ = {1}，则集合 可以是( )
A. {1,3} B. {1,2} C. {0,1,2} D. {1,2,3}
1 √ 3
2.已知 ∈ (0, )，则“sin( ) = ”是“cos = ”的( )条件．
2 2
A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要
1
1 1 2
3.已知 = 13， = ln ， = ( ) ，则( )
2 3
2
A. < < B. < < C. < < D. < <
4.如图是下列四个函数中的某个函数的大致图象，则该函数是( )
2 | | cos
A. ( ) = 2 B. ( ) = 2
∣ ∣
2 +2 2 +2
| | | |
C. ( ) = 2 2
2 +2
D. ( ) =
2 +2
5.已知平面向量 = (√ 3, 1), | | = 4，且( 2 ) ⊥ ，则∣ | =( )
A. 9 B. 3 C. 4 D. 16
6.在等差数列{ }中， 1 > 0， 10 11 < 0，若此数列的前10项和 10 = 36，前18项和 18 = 12，则数列
{| |}的前18项和 18的值是( )．
A. 24 B. 48 C. 60 D. 84
1 4
7.已知 > 0， > 0，lg4 + lg2 = lg8，则 + 的最小值是( )
2 +1
9 46
A. 3 B. C. D. 9
4 15

8.设函数 ( ) = + sin ，不等式 ( ) + (ln + + 1) ≤ 0对 > 0恒成立，则实数 的最大值
2
为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 0
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9.已知定义在 上的函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | ≤ )在[0,1]上有且仅有3个零点，其图象关于点
2
1 1 1 √ 2
( , 0)和直线 = 对称，给出下列结论：① ( ) = ；②函数 ( )在[0,1]上有且仅有3个最值点；③函
4 4 2 2
3 5
数 ( )在( , )上单调递增；④函数 ( )的最小正周期是2；⑤函数 ( )右移 个单位是奇函数，则 =
2 4
1
.其中所有正确结论的个数是( )
12
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 6小题，每小题 5 分，共 30分。
2 7
10.复数 = 的虚部为 ．
1
1 2
11.若4 = 5 = 100，则2 ( + ) = ．

2 √ 3 5
12.已知cos cos ( ) = ，则sin (2 + ) = ．
3 3 6
13.设 为数列{ }的前 项和，若 + 3 = 2 + ，则 10 =
2
14.在 中，已知 = = 4，且| | = √ 13，则| | = ；若 为线段 的中点，点 满
足 = 2 ，且 为线段 上的动点，则 的最小值为 ．
, <
15.已知 , ∈ ，定义：min{ , } = { ，设 ( ) = min{2 , + 6 }, ∈ .若函数 =
, ≥
( ) + 有两个零点，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题：本题共 5小题，共 75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ， sin = cos ( )， = 2， = 3．
6
(1)求角 的大小：
(2)求 的值；
(3)求sin(2 )的值．

17.已知向量 = (sin , sin( + )), = (cos , sin( ))，函数 ( ) = ．
2 2 4 2 4 2
(1)求函数 ( )的最小正周期；
3
(2)求函数 ( )在 ∈ [ , ]上的最值；
2 2
√ 5
(3)若 ( ) = ，且 ∈ (0, )，求sin(2 )的值．
10 3
18.已知等差数列{ }满足公差 > 0， 2 + 5 = 22， 3 4 = 117.等比数列{ }的首项 1 = 1， 2 4 =
81， > 0．
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(1)求数列{ }，{ }的通项公式；

(2)数列{ }的前 项和为 ，记数列{
}的前 项和为 ，求 ；

(3)若 2 = ，求数列{4 +1}的前 项和 ．

19.已知函数 ( ) = ， ( ) = ln
2 ， ∈ ．
2
(1)求 ( )的单调区间；
(2)若当 ∈ (1,+∞)时， ( )与 ( )的单调性相同，求实数 的取值范围；
1
(3)若当 ∈ [0, )时， ( )( ∈ (0, ])有最小值 ( )，证明： < ( ) ≤ 1．
2
20.已知函数 ( ) = √ ln ．
(1)求曲线 ( )在(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ( )在 = 1, 2( 1 ≠ 2)处导数相等，证明： ( 1) + ( 2) > 8 8ln2；
(3)若 ≤ 3 4ln2，证明：对于任意 > 0，直线 = + 与曲线 = ( )有唯一公共点．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 1
11.2
7
12.
9
13.513
14.3
10
；
13
15.(0,1)

16.【详解】(1)在 中，由正弦定理 = ，可得 sin = sin ，
sin sin

又由 sin = cos ( )，得 sin = cos ( )
6 6

即sin = cos ( )，
6
√ 3 1 1 √ 3
∴ sin = cos + sin ，∴ sin = cos ，∴ tan = √ 3．
2 2 2 2

又因为 ∈ (0, )，可得 = ；
3

(2)在 中，由余弦定理及 = 2， = 3， = ，
3
有 2 = 2 + 2 2 cos = 7，故 = √ 7；
√ 3
(3)由 sin = cos ( )，可得sin = ，
6 √ 7
2
因为 < ，所以 < ，故 为锐角，故cos = ，
√ 7
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4√ 3 1
因此sin2 = 2sin cos = ，cos2 = 2 2 1 = ．
7 7
4√ 3 1 1 √ 3 3√ 3
所以，sin(2 ) = sin2 cos cos2 sin = × × = ．
7 2 7 2 14
1
17.【详解】(1)依题意， ( ) = sin cos sin( + )sin( ) = sin sin( + )cos( + )
2 2 2 4 4 2 2 2 4 2 4
1 1 1 1 √ 2
= sin sin( + ) = sin cos = sin( )，
2 2 2 2 2 2 4
所以函数 ( )的最小正周期 = 2 ．
√ 2 3 5
(2)由(1)知 ( ) = sin( )，当 ∈ [ , ]时， ∈ [ , ]，
2 4 2 2 4 4 4
√ 2 √ 2 1 √ 2
则sin( ) ∈ [ , 1]， sin( ) ∈ [ , ]，
4 2 2 4 2 2
3 1 √ 2
所以函数 ( )在 ∈ [ , ]上的最小值为 ，最大值为 ．
2 2 2 2
√ 5 √ 2 √ 5 √ 10
(3)由 ( ) = ，得 sin( ) = ，则sin( ) = ，
10 2 4 10 4 10
3 √ 2
由 ∈ (0, )，得 ∈ ( , )，而0 < sin( ) < ，则0 < < ，
4 4 4 4 2 4 4
√ 5
即 < < ， < 2 < ，由sin cos = ，
4 2 2 5
√ 5 4 4
得 2 + 2 2sin cos = ，则sin2 = ，cos2 = √ 1 ( )2
3
= ，
5 5 5 5
1 √ 3 1 4 √ 3 3 4+3√ 3
所以sin(2 ) = sin2 cos2 = × × ( ) = ．
3 2 2 2 5 2 5 10
18.【详解】(1)在等差数列{ }中， 3 + 4 = 2 + 5 = 22，而 3 4 = 117，
则 3, 4是方程
2 22 + 117 = 0的两个实根，由 > 0，得 4 > 3，
解得 3 = 9， 4 = 13， = 4 3 = 4， = 3 + ( 3) = 4 3，
在等比数列{ }中，由 1 = 1，
4
2 4 = 81，得 = 81，而 > 0，则 = 3
1
，
所以数列{ }，{ }的通项公式分别为 = 4 3， = 3
1．
(1+4 3) 2 (2)由(1)得 = = 2 ，

= (2 1) 3
1，
2
= 1 + 3 × 3 + 5 × 32 + 7 × 33 + + (2 1) × 3
1，
3 = 3 + 3 × 32 + 5 × 3
3 + + (2 3) × 3 1 + (2 1) × 3 ，
两式相减得 2 = 1 + 2(3 + 3
2 + 33 + 34 + + 3 1) (2 1) × 3
2(3 3×3 1)
= 1 + (2 1) × 3 = 2 (2 2) × 3 ，
1 3
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所以 = ( 1)3 + 1．
1 4 2 1 1 1 1
(3)由(2)得 =
2
2 = ，4 2 2 1 +1
= = 1 + = 1 + ( )，
(2 1)(2 +1) (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 = + [(1 ) + ( ) + ( ) + + ( )] = + (1 ) 2 3 3 5 5 7 2 1 2 +1 2 2 +1
2 2+2
= + = ．
2 +1 2 +1
1
19.【详解】(1)函数 ( ) = 的定义域 ，求导得 ′( ) = ，
当 ∈ ( ∞,1)时， ′( ) < 0；当 ∈ (1,+∞)时， ′( ) > 0，
函数 ( )在( ∞, 1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以函数 ( )的单调递减区间为( ∞,1)，单调递增区间为(1,+∞)．
ln
(2)由题意及(1)得 ( )在(1,+∞)上单调递增，则 ′( ) = ln ≥ 0 ≤ 在 ∈ (1,+∞)时恒成立，

ln 1 ln
令 ( ) = ， ∈ (1,+∞)，求导得 ′( ) = 2 ，
当 ∈ (1, )时， ′( ) > 0；当 ∈ ( , +∞)时， ′( ) < 0，
函数 ( )在(1, )上单调递增，在( ,+∞)上单调递减，
且对 ∈ (1,+∞)， ( ) > 0恒成立，则 ≤ 0，
所以实数 的取值范围是( ∞, 0]．
1
(3)由(2)知 ′( ) = ln ， ∈ (0, ],0 ≤ < ,

1
令 ( ) = ln ， ∈ (0, ]，求导得 ′( ) = > 0，

则函数 ′( )在(0, ]上单调递增，而又 ′(1) = ≤ 0， ′( ) = 1 > 0，
ln
于是存在唯一的 0 ∈ [1, )，使得 ′( 0) = 0，即ln 0 0 = 0，即 =
0，
0
当 ∈ (0, 0)时， ′( ) < 0；当 ∈ ( 0, )时， ′( ) > 0，
函数 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, )上单调递增，
ln
则 ( ) = ( 0) = 0ln
2 0 0
0 0 0 = 0， 2 2
ln ln 1
令 ( ) = , ∈ [1, )，则 ′( ) = < 0在[1, )上恒成立，
2 2

函数 ( )在[1, )上单调递减， ( ) < ( ) ≤ (1)，即 < ( ) ≤ 1，
2

因此 < ( 0) ≤ 1，所以 < ( ) ≤ 1． 2 2
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1 1 1
20.【详解】(1)函数 ( ) = √ ln ，求导得 ′( ) = ，则 ′(1) = ，而 (1) = 1，
2√ 2
1
所以曲线 ( )在(1, (1))处的切线方程为 1 = ( 1)，即 + 2 3 = 0．
2
1 1 1 1
(2)由 ( )在 = 1, 2( 1 ≠ 2)处导数相等，得 = ， 2√ 1 1 2√ 2 2
1 1 1 1
即 = ，则√ 1 2 = 2(√ 1 + √ 2) > 2 2
4 ，解得
2 2 √ 1 2 1 2 > 256， √ 1 √ 2 1 2
1
于是 ( 1) + ( 2) = √ 1 + √ 2 ln 1 2 = √ 1 2 ln 1 2，设 = 1 2 > 256， 2
1 √ 4
函数 ( ) = √ ln ，求导得 ′( ) = > 0，函数 ( )在(256,+∞)上单调递增，
2 4
因此 ( ) > (256) = 8 8ln2，所以 ( 1) + ( 2) > 8 8ln2．
2 √ +2
(3)记 ( ) = ( ) = √ ln ，求导得 ′( ) = ，
2
令 = √ ，函数 ( ) = 2 2 + 2，则 = 1 16 ，
1
①当 ≥ 时， ( ) ≥ 0，有 ′( ) ≤ 0，函数 ( )在(0,+∞)上单调递减，
16
1
< 1
当{√ > ，即{ 2 时，取 = min{ , 0 2 }，有 ( 0) ≥ 0， ln + < 0 <
1 1
又 ( + ) = (1 √ 1 + 2 )√ +

2 2 ln(1 + 2) < 0，因此函数 ( )有唯一零点；

1 1 √ 1 16 1+√ 1 16
②当0 < < 时， > 0，由 ′( ) = 0，解得 = ( )21 , = ( )
2
2 ， 16 4 4
则当0 < < 1或 > 2时， ′( ) < 0；当 1 < < 2时， ′( ) > 0，
函数 ( )在(0, 1), ( 2, +∞)上单调递减，函数 ( )在( 1, 2)单调递增，
1 √ 1 16 2 1+√ 1 16 记 = = ( ) ， = = ( )21 2 ，则有2 √ + 2 = 0， 4 4
√
则函数 ( )在 = 处取得极小值 ( ) = √ ln = ln + 1 ，
2
√ 1 √ 1 16
令 ( ) = ln + 1 ，而 = ( )2
4
= ( )2 < 16，即0 < < 16，
2 4 1+√ 1 16
√ 4
又 ′( ) = < 0，则 ( )在(0,16)上单调递减，
4
因此 ( ) > (16) = 3 4ln2 ≥ 0，则 ( ) > ( ) > 0，
1 2 1

又 ( 2 + ) = (1 √ 1 + )√ +

2 ln(1 + 2) < 0，则函数 ( )有唯一零点，

所以当 ≤ 3 4ln2时，对于任意 > 0，直线 = + 与曲线 = ( )有唯一公共点．
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