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天津市实验中学滨海育华学校 2026届高三上学期第一次质量调查
数学试卷
一、单选题：本题共 9小题，每小题 5 分，共 45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.设全集 = { 2, 1,0,1,2,3}，集合 = { 1,0,1,3}， = { 2,0,2}，则 ∩ ( U ) =( )
A. {0,1,2} B. { 2,0,2} C. {0,2} D. { 1,1,3}
2.下述四个结论：
①命题“若 = 0，则 = 0”的否命题是“若 = 0，则 ≠ 0”；
② 2 5 6 = 0是 = 1的必要而不充分条件；
③若命题“ ”与命题“ 或 ”都是真命题，则命题 一定是真命题；
④命题“ 0 ∈ R，ln( 0 + 1) ≥ 0”的否定是“ ∈ R，ln( + 1) ≤ ”.
其中所有正确结论的序号是( )
A. ①② B. ②③ C. ④ D. ②③④
sin +4
3.函数 = 的图象大致为( )
e| |
A. B.
C. D.
1
4.设 = log3 ， = log√ 32，c = 4
ln
2，则 ， ， 大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.已知 的内角 , , 所对的边分别为 , , ，( + )2 = 2 + 12, = 60 ，则 的面积为( )
1 √ 3
A. B. C. 1 D. √ 3
2 2
6.已知log 3 = , log 4 = ，计算
2
=( )
9 3
A. B. 1 C. D. 2
4 2
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7.已知平面向量 = ( , 1)， = ( 1,2 )，若 ⊥ ( )，则| | =( )
A. √ 2 B. 2 C. 2√ 2 D. 4
2 + 4 , ≤ 1 ( ) ( )
8.已知函数 ( ) = { ，且对于任意的 1,
1 2
2，有 > 0( 1 ≠ 2)，则实数 的取值范 + 8, > 1 1 2
围是( )
1
A. (1,2) B. (1,3] C. (1,+∞) D. [ , +∞)
2
π π 2π
9.设函数 ( ) = 2sin( + ) ( > 0, < < )的最小正周期是 ，且它的图象关于直线 = 对称，
2 2 3
则下列说法正确的个数为( )
①将 ( )的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 = 2sin 的图象；
② ( )的图象过点(0,1)；
5π
③ ( )的图象的一个对称中心是( , 0)；
12
π π
④ ( )在[ , ]上是减函数．
12 3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 6小题，每小题 5 分，共 30分。
1 3i
10.已知i是虚数单位，复数 = + i( ∈ )，且满足 = ，则| | = ．
+1
1
11.已知( 2 ) ( > 0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为
√
1024，则展开式中的常数项为 ．
3
12.已知平面向量 = ( 2,1), = ( , 2)，则 在 方向上的投影向量为 ．
2
13.已知实数 、 满足 + 1 = 4 + ，且 > 1.则( + 1)( + 2)的最小值为 ．
14.已知平行四边形 的两条对角线相交于点 , ∠ = 120°, | | = 4, | | = 2，其中点 在线段
上且满足
20
= ，则| | = ，若点 是线段 上的动点，则 的最大值
9
为 ．

1 + cos , > 1 1
15.设函数 ( ) = { 2 ，函数 ( ) = + + ( > 0)，若存在唯一的 0，使得 ( ) =
2, 0 < ≤ 1
min{ ( ), ( )}的最小值为 ( 0)，则实数 的取值范围为 ．
三、解答题：本题共 5小题，共 75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
π π
16.已知函数 ( ) = sin (2 + ) + sin (2 ) + 2cos2 1， ∈ ．
3 3
(1)函数 ( )的单调递增区间和对称轴方程；
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π π
(2)求函数 ( )在区间[ , ]上的最大值及此时 的取值；
4 4
5π
(3)将函数 ( )图象上所有点的纵坐标伸长为原来的√ 2(横坐标不变)，再向右平移 个单位，得到函数
24
6 π 5π
( )的图象，若 ( ) = ，且 ∈ ( , )，求cos2 的值．
5 6 12
cos
17.已知 , , 分别是 的内角 , , 的对边，且 = ．
2 cos

(Ⅰ)求 ．

1
(Ⅱ)若 = 4，cos = ，求 的面积．
4

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求cos (2 + )的值．
3
18.已知向量 ， 满足 = (1,2)，| | = 2√ 5．
(1)若 // ，求向量 的坐标；
(2)若( + ) ⊥ (5 2 )，求 与 的夹角 ．
2
19.已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 1在点(1, (1))处的切线方程是12 6 5 = 0，
3
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)求函数 ( )的单调区间与极值．
1 3
20.已知函数 ( ) = ln + 2 + ( ∈ )， ( ) = + 2 ．
2 2
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)定义：对于函数 ( )，若存在 0，使 ( 0) = 0成立，则称 0为函数 ( )的不动点.如果函数 ( ) =
( ) ( )存在不动点，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.√ 5
11.405
12.(2, 1)
13.27
4√ 7 4 16 7
14. / √ 7 ； /1
3 3 9 9
15.( ∞, 2)
π π π π
16.【详解】(1)易知 ( ) = sin2 cos + cos2 sin + sin2 cos cos2 sin + cos2 = sin2 + cos2 =
3 3 3 3
π
√ 2sin (2 + )，
4
π π π 3π π
令 + 2 π ≤ 2 + ≤ + 2 π, ∈ Z，解得 + π ≤ ≤ + π, ∈ Z，
2 4 2 8 8
3π π
因此函数 ( )的单调递增区间为[ + π, + π] , ∈ Z；
8 8
π π π
令2 + = + π, ∈ Z，可得 = + π, ∈ Z；
4 2 8 2
π
因此函数 ( )的对称轴方程为 = + π, ∈ Z；
8 2
3π π
(2)根据(1)中结论可知当 = 0时， ( )在[ , ]上单调递增，
8 8
π π π π 3π
若 ∈ [ , ]，则2 + ∈ [ , ]；
4 4 4 4 4
π π π 3π
因为 = sin 在[ , ]上单调递增，在[ , ]上单调递减，
4 2 2 4
π
所以 ( )max = √ 2sin = √ 2，此时2 + = = ； 2 4 2 8
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π π π
因此函数 ( )在区间[ , ]上的最大值为√ 2，此时 的取值为 = ；
4 4 8
π
(3)将函数 ( )图象上所有点的纵坐标伸长为原来的√ 2(横坐标不变)可得 = 2sin (2 + )；
4
5π 5π π π
再向右平移 个单位得到函数 ( ) = 2sin [2 ( ) + ] = 2sin (2 )；
24 24 4 6
6 π 6
若 ( ) = ，可得 ( ) = 2sin (2 ) = ，
5 6 5
π 3
所以sin (2 ) = ，
6 5
π 5π π π 2π π 3
又 ∈ ( , )，可知2 ∈ ( , )，结合sin (2 ) = < 0，
6 12 6 2 3 6 5
π π π 3 2 4
可得2 ∈ ( , 0)，因此cos (2 ) = √ 1 ( ) = ；
6 2 6 5 5
π π π π π π 4√ 3+3
所以cos2 = cos (2 + ) = cos (2 ) cos sin (2 ) sin = ；
6 6 6 6 6 6 10
4√ 3+3
即cos2 的值为 ．
10
cos sin
17.【详解】(Ⅰ)因为 = = ，
2 cos sin
所以2sin sin cos = sin cos ，
所以2sin = sin cos + sin cos = sin( + ) = sin ，
sin 1
由正弦定理可得， = = ；
sin 2
1 2+16 4 2
(Ⅱ)由余弦定理可得， = ，
4 8
整理可得，3 2 + 2 16 = 0，
解可得， = 2，
√ 15
因为sin = ，
4
1 1 √ 15
所以 = sin = × 2 × 4 × = √ 15； 2 2 4
√ 15 1 √ 15 7
(Ⅲ)由于sin2 = 2sin cos = 2 × × = ，cos2 = 2cos2 1 = ．
4 4 8 8
1 √ 3 1 7 √ 3 √ 15 7 3√ 5
所以cos(2 + ) = cos2 sin2 = × ( ) × = ．
3 2 2 2 8 2 8 16
18.【详解】(1)根据题意， // ，设 = = ( , 2 )，
2
若| | = 2√ 5，则| | = 2 + 4 2 = 5 2 = 20
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解得 = ±2，故 = (2,4)或 = ( 2, 4)．
(2)由题知 = (1,2)，则| | = √ 1 + 4 = √ 5，
2
2
若( + ) ⊥ (5 2 )，则( + ) (5 2 ) = 5 2 + 3 = 0，
即5 × 5 2 × 20 + 3 × √ 5 × 2√ 5 cos = 0，
1
解得cos = ，又0 ≤ ≤ π，
2
π
所以 = ．
3
19.【详解】(1) ′( ) = 2 2 + 2 + ，
2 7
(1) = + + + 1 = 1 1
{ 3 6，即{ + = , ∴ { =2 2 ,
′(1) = 2 + 2 + = 2 2 + = 0 = 1
2 1
∴ ( ) = 3 + 2 + 1；
3 2
2 1
(2)由(1)知 ( ) = 3 + 2 + 1，
3 2
′( ) = 2 2 + 1 = (2 1)( + 1)，
′ 1 1由 ( ) > 0 < 1或 > ；由 ′( ) < 0 1 < < ，
2 2
1 1
∴ ( )在( ∞, 1)和( , +∞)上单调递增，在( 1, )上单调递减，
2 2
11
∴ = 1为函数的极大值点，且极大值为 ( 1) = ，
6
1 1 17
= 为函数的极小值点，极小值为 ( ) = ．
2 2 24
2+ +1
20.【详解】(1) ( )的定义域为(0,+∞), ′( ) = ( > 0)，

对于函数 = 2 + + 1 ≥ 0，
①当 = 2 4 ≤ 0时，即 2 ≤ ≤ 2时， 2 + + 1 ≥ 0在 > 0恒成立．
2′ + +1∴ ( ) = ≥ 0在(0,+∞)恒成立．

∴ ( )在(0,+∞)为增函数；
②当 > 0，即 < 2或 > 2时，
√ 2 4 +√ 2 4 √ 2 4 +√ 2 4
当 < 2时，由 ′( ) > 0，得 < 或 > ，0 < < ，
2 2 2 2
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√ 2 4 √ 2 4 +√ 2 4
∴ ( )在(0, )为增函数，( , )减函数．
2 2 2
+√ 2 4
( ,+∞)为增函数，
2
2+ +1
当 > 2时，由 ′( ) = > 0在(0,+∞)恒成立，

∴ ( )在(0,+∞)为增函数．
√ 2 4 √ 2 4 +√ 2 4 +√ 2 4
综上，当 < 2时， ( )在(0, )为增函数，( , )减函数，( ,+∞)为
2 2 2 2
增函数；当 ≥ 2时， ( )在(0,+∞)为增函数．
1 3
(2) ( ) = ( ) ( ) = ln + 2 + 2 + = ln 2 + + ( > 0)，
2 2
ln + 2
∵ ( )存在不动点，∴方程 ( ) = 有实数根，即 = 有解，

+ 2 ln ′
( 1)+ln +( +1)( 1) ( + +1)( 1)+ln
令 ( ) = ( > 0)， ( ) = = ，
2 2
令 ′( ) = 0，得 = 1，
当 ∈ (0, 1)时， ( ) < 0, ( )单调递减；
当 ∈ (1,+∞)时， ′( ) > 0, ( )单调递增；
∴ ( ) ≥ (1) = + 1，
当 ≥ + 1时， ( )有不动点，
∴ 的范围为[ + 1,+∞)．
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