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5.3一元一次方程的应用（第3课时）（教学设计）
1.教学内容
本课时是北师大版七年级上册第五章一元一次方程，第三节一元一次方程的应用第3课时,内容为追及问题，数量关系更为复杂，可借助线段图分析数量关系、寻找等量关系，进而列出方程。
2.内容解析
本课时选择的素材是追及问题，数据较多，数量关系也更为复杂。本节课以此为载体展现利用线段图分析数量关系、建立方程的策略，丰富学生利用方程解决实际问题的经验，并归纳列方程解决实际问题的一般步骤。教学时，要加强对学生思考策略的指导。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为利用线段图分析数量关系、寻找等量关系，列一元一次方程。
（1）经过“追及问题”的解决过程，抽象建立一元一次方程模型解决实际问题的步骤和基本思想，发展抽象能力。
（2）进一步体会选择某个量，用不同的表达式去表示它，就可得到相应的方程。能建立一元一次方程模型解决实际问题，发展模型观念。
（3）体会一元一次方程的应用价值。
2.目标解析
(1)本节课学习的内容为“追及问题”，数据较多，数量关系也更为复杂，利用线段图分析数量关系、建立方程的策略，丰富学生利用方程解决实际问题的经验，并归纳列方程解决实际问题的一般步骤。教学时，要加强对学生思考策略，建立一元一次方程模型解决实际问题的步骤和基本思想，发展抽象能力。
（2）在寻找等量关系的过程中初步体会方程的两边就是同一个量或相等的量的不同表达，本节课的数量关系较为复杂，利用线段图分析数量关系寻找等量关系。能建立一元一次方程模型解决实际问题，发展模型观念。
（3）利用线段图分析数量关系寻找等量关系，通过列一元一次方程解决实际问题的过程，体会一元一次方程的实际应用价值。
本节课学习了内容为周长、体积问题和“盈不足”问题的列方程，本节课学习的内容为“追及问题”，数量关系比前一课时复杂，学生找等量关系难度增加，利用线段图分析数量关系寻找等量关系。让学生进一步按照方程解决实际问题的基本步骤灵活解决实际问题。抽象建立一元一次方程模型解决实际问题的步骤和基本思想，发展抽象能力。
基于以上分析，确立本节课的教学难点为利用线段图分析数量关系用一元一次方程解决实际问题。
创设情景，引入新课
复习：利用表格可以帮助分析问题中的相等关系,是列方程的常用方法。用一元一次方程解决实际问题的一般步骤包括:理解题意，寻找等量关系，设未知数列方程，解方程，作答。
(设计意图：通过复习，为引入新课铺垫。)
探究点1: 追及问题
问题 小明每天早上要到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？
追问1:问题中有哪些已知量和未知量？
问题中涉及的量主要包括：小明家离学校的距离，小明的速度、时间、路程，爸爸的速度、时间、路程，小明比爸爸多用的时间。其中，小明家离学校的距离、小明的速度、爸爸的速度、小明比爸爸多用的时间是已知量，其他都是未知量。它们之间的等量关系有：小明的速度×小明的时间=小明的路程，爸爸的速度×爸爸的时间=爸爸的路程，小明的路程=爸爸的路程，小明的时间-爸爸的时间=小明比爸爸多用的时间，小明家离学校的距离-爸爸的路程=爸爸追上小明时离学校的距离。
强调:这个问题涉及的基本数量关系主要是速度、时间、路程之间的关系，要注意的关键词是“出发后”“在途中追上”，隐含的等量关系是“小明的路程=爸爸的路程”。
追问2:想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗
引导学生在分析题意的基础上，用个性化的图形直观表示各个量之间的关系。
追问3:你能否用小学里学习过的用线段图直观表示等量关系,画出线段图,并列出方程求解？
设爸爸追上小明用了。当爸爸追上小明时，两人所行路程相等，如下线段图所示:
设爸爸追上小明用了，则爸爸的路程可表示为，小明的路程可表示为
根据等量关系，列出方程。
解这个方程，得。
.
因此，爸爸追上小明用了4min，此时距离学校还有280m。
归纳总结:利用线段图可以帮助分析问题中的相等关系,是列方程的常用方法。
(设计意图：通过线段图表达数量关系列方程，归纳用一元一次方程解决实际问题的步骤。)
典例分析
例1 小明和小华两人在 400m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260 m，小华每分钟跑300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。
（1）如果小明起跑后1min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？
（2）如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？
【分析】本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系
【详解】解：（1）设小华用追上小明，根据等量关系，可列出方程：
解这个方程，得。
因此，小华用6.5 min追上小明。
（2）设小华起跑后两人首次相遇，根据等量关系，可列出方程：
解这个方程，得。
因此，小华起跑后0.25min两人首次相遇。
(设计意图：强化线段图表达数量关系列方程。)
探究点2 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
思考·交流
问题1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？
运用方程解决实际问题，首先要分析问题中的各种数量关系，寻找等量关系，列出方程，将实际问题抽象成数学问题（一元一次方程）；接着解方程，求出这一数学问题的解；最后检验解的合理性，如果合理就用以解决实际问题，不合理则需重新回到开始。
具体步骤可以用下面的框图表示:
具体解方程的过程中的步骤可以归纳如下:设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案.
问题2.回顾本节一元一次方程应用的学习，对于如何寻找等量关系列方程，你积累了哪些经验？
如:在分析数量关系时，首先要弄清楚问题中有哪些量，这些量之间有怎样的等量关系。又如，寻找等量关系的基本策略：从关键字句中发现等量关系；发掘问题中涉及的基本数量关系；注意变化中的不变量，寻找隐含的等量关系；借助图表等直观分析问题中的数量关系。再如，列方程的基本策略就是用不同的代数式表达同一个量或相等的量。
(设计意图：进一步总结列方程解决实际问题的步骤，总结寻找等量关系的经验。)
典例分析
例2.甲、乙两人在一条米长的环形路道上竞走，甲的速度为米分，乙的速度为米/分．
(1)两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人第一次相遇？
(2)两人同时同地反向出发，在第一次相遇前，经过多少时间两人相距米？
【分析】（1）设经过分钟两人第一次相遇，根据相遇问题的等量关系列出方程，可解得答案；
（2）设在第一次相遇前，经过分钟两人相距米，可得：或，即可解得答案．
【详解】（1）设经过分钟两人第一次相遇，
根据题意得：，
解得，
经过分钟两人第一次相遇；
（2）设在第一次相遇前，经过分钟两人相距米，
根据题意得：或，
解得或，
答：在第一次相遇前，经过分钟或分钟两人相距米．
例3.下表是中国电信两种“套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费）
月基本费/元 主叫通话/分钟 上网流量 接听 主叫超时部分（元/分/钟） 超出流量部分/（元/）
方式一 免费
方式二 免费
(1)若某月小萱主叫通话时间为分钟，上网流量为，则她按方式一计费需________元，按方式二计费需________元；若她按方式二计费需元，主叫通话时间为分钟，则上网流量为________．
(2)若上网流量为，是否存在某主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)若上网流量为，直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱；当每月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱．
【分析】（1）根据方式一、二月基本费加超时费直接计算即可得答案，设上网流量为x，根据费用列方程求解即可得到答案；
（2）假设存在根据费用相等列方程求解即可得到答案；
（3）由（2）及单价对比可直接得到答案．
【解析】（1）解：由题意可得，
∵小萱主叫通话时间为分钟，上网流量为，
∴方式一收费为：（元）；
方式二收费为：（元）；
设上网流量为x，由题意可得，，
解得，
故答案为：，，；
（2）解：假设存在，
∵，∴，
∴
解得：，
∴假设成立，上网流量为当时，方式一和方式二的计费相等；
（3）解：∵上网流量为当时，方式一和方式二的计费相等为元，
①当时，方式一费用为：，
方式二费用为：，，
∴当方式二比较划算．
②当时，
方式一费用为：，
方式二费用为：，
当时，，
∴当时方式一比较划算，当方式二比较划算.
(设计意图：进一步列方程解决实际问题。)
1.材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个奇怪的图案.这个图案被后人称为“洛书”，即现在的三阶幻方.三阶幻方即为九宫格，它是由数字组成的一个三行三列的矩阵，其对角线、横向、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和.
(1)图1是一个“幻方”，则________；________；________；请直接写出图1中所有数的和与其“幻和”之间的倍数关系；
(2)小明要将，，，0，2，4，6，8，10这9个数填入如图2所示的“幻方”中，他经过研究，发现在“幻方”中，正中间那个数叫中心数，且“幻和”恰好等于中心数的3倍，并且图2中的中心数是上述9个数的平均数.
①求中心数的值；
②请你帮小明将图2所示的“幻方”的空白方格填满.

【详解】（1）斜对角线上的三个数字之和为，
该方格的“幻和”为9，
，，，
故答案为：1，，5；
每行数字之和为9，共3行，
图1中所有数字之和为，
图1中所有数的和为其“幻和”的3倍；
（2）①，
中间数的值为2；
②由①可知，平均每个方格的值为2，
则3个方格之和为6，
幻和为6，
填方格如图：

(设计意图：强化对列方程解决实际问题的认识)
课本课堂练习
今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不是一尺。问：几何？（选自（孙子算经》这根木材有6尺5寸长。题目大意：有一根木材，不知道它的长度，用一根绳子来量，绳子长出4尺5寸；将这根绳子对折来量，绳子差1尺。这根木材有多长？
答案：这根木材长为7尺。提示：设这根木材的长为尺，根据题意，得。也可以设绳子的长为尺，根据题意，得。
(设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略)
1．（2025 天津）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为（　　）
A．240x＝150（x+12） B．240x＝150（x﹣12）
C．150x＝240（x+12） D．150x＝240（x﹣12）
【解答】解：依题意，得：240x＝150（x+12）．
故选：A．
2．（2025 连云港）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（　　）
A． B． C．7x+9x＝1 D．9x﹣7x＝1
【解答】解：根据题意得：xx＝1．
故选：A．
3．小张去水果市场购买苹果和橘子，他看中了，两家的苹果和橘子，这两家的苹果和橘子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克橘子多12元，买2千克苹果与买5千克橘子的费用相等．设橘子的单价为元．
(1)根据题意列出方程．
(2)在，，中，哪一个是（1）中所列方程的解．
(3)经洽谈，家优惠方案是每购买10千克苹果，送1千克橘子；家优惠方案是若购买苹果超过5千克，则购买橘子打八折，假设小张购买30千克苹果和千克橘子．请用含的式子分别表示出小张在，两家购买苹果和橘子所花的费用．
【详解】（1）解：设橘子的单价为元，苹果单价为元，
根据题意得，．
（2）解：把，，分别代入，
当时，左边，右边，
等号的左右两边不相等，所以不是方程的解；
当时，左边，右边．
等号的左右两边不相等，所以不是方程的解；
当时，左边，右边，
等号的左右两边相等，所以是方程的解．
（3）解：由（2）知，橘子每千克8元，苹果每千克20元，
在家购买苹果和橘子所花的费用为元，
在家购买苹果和橘子所花的费用为元．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：运用方程解决实际问题，首先要分析问题中的各种数量关系，寻找等量关系，列出方程，将实际问题抽象成数学问题（一元一次方程）；接着解方程，求出这一数学问题的解；最后检验解的合理性，如果合理就用以解决实际问题，不合理则需重新回到开始。
具体步骤可以用下面的框图表示:
具体解方程的过程中的步骤可以归纳如下:设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案.
2.对于如何寻找等量关系列方程：在分析数量关系时，首先要弄清楚问题中有哪些量，这些量之间有怎样的等量关系。寻找等量关系的基本策略：从关键字句中发现等量关系；发掘问题中涉及的基本数量关系；注意变化中的不变量，寻找隐含的等量关系；借助图表等直观分析问题中的数量关系。列方程的基本策略就是用不同的代数式表达同一个量或相等的量。
设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性）
必做题：习题5.3第8、9题.
探究性作业：习题5.3第10题.
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书 5.3一元一次方程的应用（第3课时） 探究点1:追及问题 探究点2： 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演

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