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第十五章 轴对称 过关检测题
(时间：100分钟　　满分：120分)
　一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列交通标志中，属于轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( )
A．9 B．7 C．12 D．9或12
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，∠A＝30°，则AB的长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第3题图))　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第4题图))　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))
4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB的垂直平分线交AB，BC于点D，E，连接AE，则下列结论错误的是( )
A．AB＝AC B．∠CAE＋∠C＝90°
C．AE＝BE D．∠AED＝∠BED
5．如图，在△ABC中，BD＝AD＝DC，∠B＝62°，则∠C的度数为( )
A．30° B．32°
C．28° D．48°
6．如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上(不与点A，D重合)，连接PB，PC.下列命题中，是假命题的是( )
A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC
B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC
C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC
D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC
7．如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N.若△PMN的周长是5 cm，则P1P2的长为( )
A．6 cm B．5 cm C．4 cm D．3 cm
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))
8．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D是AC上一点，且∠DBC＝36°，则图中等腰三角形的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为( )
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D，E分别是BC，AB上的动点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点B′恰好落在AC边上，若△AEB′是等腰三角形，那么∠BEB′的度数为( )
A．60°或105° B．105°或150°
C．60°，120°或150° D．60°，105°或150°
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．若点A(a，2)与B(3，b)关于x轴对称，则a－b＝_____．
12．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC.若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是__-_____．
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第12题图))　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))
13．如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，BD＝5 cm，EC＝4 cm，则DE＝__-____cm.
14．如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为________.
15．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M，N分别是BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值为_______．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16．(8分)如图，AD⊥BC于点D，BD＝DC，点B在AE的垂直平分线上．
求证：(1)AC＝BE；
(2)DE＝AC＋CD.
17．(8分)如图，平面直角坐标系中，A(－2，1)，B(－3，4)，C(－1，3)，过点(1，0)作x轴的垂线l.
(1)作出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1；
(2)直接写出A1(_____，__ __)，B1(__ __，__ __)，C1(__ __，__ __)；
(3)在△ABC内有一点P(m，n)，则点P关于直线l的对称点P1的坐标为(______，______)(结果用含m，n的式子表示).
18．(9分)如图，已知△ABC，AB，AC的垂直平分线的交点D恰好落在BC边上．
(1)判断△ABC的形状；
(2)若点A在线段DC的垂直平分线上，求的值．
19．(9分)如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若BE＝6，DC＝8，DE＝20，求FG的长．
20．(9分)如图，点E在等边△ABC的边AB所在直线上，以EC为一边作等边△ECF，顶点E，C，F顺时针排序．
(1)找到图中一对全等三角形，并说明理由；
(2)点E在线段AB上，连接BF.求证：BF∥AC.
21．(10分)如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC.
(1)求∠APO＋∠DCO的度数；
(2)求证：点P在OC的垂直平分线上．
22．(10分)如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：BE＝CF；
(2)若AB＝15，AC＝9，求BE的长．
23．(12分)(1)如图①，∠XAY＝90°，射线AM在这个角的内部，点B，C分别在AX，AY上，且AB＝AC，BD⊥AM于点D，CE⊥AM于点E.请直接写出线段DE，BD，CE之间的关系；
(2)若(1)中∠XAY＝60°，且∠BDM＝∠CEM＝∠BAC，其他条件不变，如图②，(1)中结论是否仍成立？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，过点B作BF∥CE，交AM于点F，连接CF，如图③，若CF＝4，BF＝7，求AF的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.A 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D 7.B 8.C 9.C 10.D
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．__5__．
12．_6__．
13．__9__cm.
14．__80°__.
15．_5__．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16．证明：(1)∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AB＝AC，∵点B在AE的垂直平分线上．∴AB＝EB，∴AC＝BE
(2)∵AC＝BE，BD＝DC，∴DE＝EB＋BD＝AC＋CD
17．(1)图略
(2)A1(__4__，__1__)，B1(__5__，__4__)，C1(__3__，__3__)；
(3)__－m＋2__，__n__
18．解：(1)由题意可知∠ABD＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA.又∵∠ABD＋∠ACD＋∠BAC＝180°，即∠ABD＋∠BAD＋∠DAC＋∠ACD＝180°.∴∠BAD＋∠DAC＝90°，即∠BAC＝90°，∴△ABC为直角三角形
(2)∵点A在线段DC的垂直平分线上，∴AD＝AC.又∵DA＝DC，∴AD＝DC＝AC.∴△ADC为等边三角形．∴∠C＝60°，又∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＝30°，∴＝
19．解：∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，∴BE＝EG，CD＝DF，∵BE＝6，DC＝8，DE＝20，∴FG＝DE－EG－DF＝DE－BE－CD＝20－6－8＝6
20．解：(1)△CAE≌△CBF，理由如下：∵△ABC和△ECF均为等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝∠EAC＝60°，∴∠ACE＋∠BCE＝∠BCF＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCF，∴△CAE≌△CBF(SAS)　(2)由(1)可知：△CAE≌△CBF，∴∠EAC＝∠CBF＝60°，∴∠CBF＝∠ACB＝60°，∴BF∥AC
21．解：(1)连接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°－∠BAD＝30°，∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABC＝30°
(2)∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，∴∠APC＋∠DCP＝150°，∵∠APO＋∠DCO＝30°，∴∠OPC＋∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°－(∠OPC＋∠OCP)＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形，∴OP＝PC，∴点P在OC的垂直平分线上
22．解：(1)连接CD，∵DG是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE＝CF　(2)由(1)得BE＝CF，设BE＝CF＝x，在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD＝AD，DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE＝AF，∵AB＝15，AC＝9，∴15－x＝9＋x，解得x＝3，∴BE＝3
23．解：(1)DE＝BD－CE　(2)(1)中结论仍成立．理由：∵∠BDM＝∠CEM＝∠BAC＝60°，∴∠DBA＋∠DAB＝∠CAE＋∠DAB＝∠CAE＋∠ECA＝60°，∴∠DBA＝∠CAE，∠DAB＝∠ECA，又AB＝AC，∴△ADB≌△CEA(ASA)，∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝AE－AD＝BD－CE　(3)∵BF∥CE，∴∠BFE＝∠CEF＝60°，又∠BDM＝60°，∴△BDF为等边三角形，∴BD＝DF＝BF＝7，由(2)中△ADB≌△CEA，得CE＝AD，BD＝AE，∴AE＝DF＝7，∴EF＝AD＝CE，∵∠CEM＝60°，∴△CEF为等边三角形，∴EF＝CF＝4，∴AF＝AE＋EF＝7＋4＝11

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