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第十三章 三角形 过关检测题
(时间：100分钟　　满分：120分)
　一、选择题(每小题3分，共30分)
1．李师傅做了一个三角形的工件，其中两条边长分别为20 cm和50 cm，则第三边的长度可能是( )
A．80 cm B．70 cm C．60 cm D．30 cm
2．如图，△ABC的边BC上的高是( )
A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第2题图))　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第6题图))
3．下列生活中的一些事实运用了“三角形稳定性”的是( )
A． B． C． D．
4．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都不对
5．如图，在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，且∠B＝28°，∠ACE＝62°，则∠BAC的度数为( )
A．90° B．96° C．106° D．124°
6．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD为BC边中线，若△ACD的周长为8，则△ABD的周长是( )
A．8 B．9 C．10 D．12
7．如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB，则与∠1互余的角是( )
A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第8题图))　　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
8．如图，已知△ABC中，点D，E分别是BC，AB的中点，若△ABC的面积等于8，则△ADE的面积等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
9．如图，在△ABC中，∠BCA＝40°，∠ABC＝60°.若BF是△ABC的高，与角平分线AE相交于点O，则∠EOF的度数为( )
A．130° B．70° C．110° D．100°
10．如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD.给出下列结论：①AB＝CD；②FG＝GC；③∠ABE＝2∠FCB；④∠BFH＝∠BHF.其中一定正确的是( )
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
eq \o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第12题图))　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则∠B的度数是________．
12．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若∠1＝30°，则∠B＝________．
13．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有________个．
14．已知三角形的三边长分别是3，4，x，则x的取值范围是___________．
15．如图，在△ABC中，∠A＝50°，BP，CP，BM，CM分别是∠ABC，∠ACD，∠PBC，∠PCB的平分线，则∠M的度数为_________．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16．(8分)已知△ABC，AD是BC边上的中线，且AC＝4，若△ABD的周长比△ACD的周长大5，求AB的长．
17．(8分)如图，AD是△ABC的角平分线，P为AD上一点，PM∥AC交AB于点M，PN∥AB交AC于点N.求证：PA平分∠MPN.
18．(9分)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线交BC于点D，CE是AB边上的高，若∠B＝30°，∠BDA＝130°，求∠ACE与∠ACB的度数．
19．(9分)如图，一张地图上标记A，B，C三个小岛，B岛在C岛的南偏西15°方向，在A岛的东南方向，∠ACB＝95°，求从A岛观测B，C两岛的视角∠BAC的度数．
20．(9分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，F为AC延长线上的一点，连接DF.
(1)求∠CBE的度数；
(2)若∠F＝27°，求证：BE∥DF.
21．(10分)(1)已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|；
(2)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，判断△ABC的形状，并说明理由．
22．(10分)如图，AD是△ABC的角平分线，BE平分∠ABD，交AD于点E.
(1)若∠BED＝52°，求∠C的度数；
(2)试写出∠C与∠BED之间的数量关系，并说明理由．
23．(12分)已知∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动(不与点O重合).
(1)如图①，AE，BE分别是∠BAO，∠ABO的平分线，随着点A，B的运动，∠AEB＝__________；
(2)如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D.
(ⅰ)若∠BAO＝70°，则∠D＝____________；
(ⅱ)随着点A，B的运动，∠D的大小会发生变化吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
(3)在图②的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A，B的运动(如图③)，求∠D的度数(用含α的式子表示).
参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.C 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C7.8.D 9.A 10.A
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．_60°__．
12．__30°__．
13．__6__
14．_1＜x＜7__．
15．_102.5°__．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16．解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.由题意，得(AB＋BD＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝5，∴AB－AC＝5，又AC＝4，∴AB＝5＋AC＝5＋4＝9
17．证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD.∵PM∥AC，PN∥AB，∴∠APM＝∠CAD，∠APN＝∠BAD.∴∠APM＝∠APN.∴PA平分∠MPN
18．解：∵∠BDA＝130°，∠B＝30°，∴∠BAD＝20°，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝40°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝110°，∵CE⊥AB，∴∠ACE＝90°－∠BAC＝50°
19．解：由题意知∠BAD＝45°，∠BCF＝15°，∵AD∥BE∥CF，∴∠ABE＝∠BAD＝45°，∠CBE＝∠BCF＝15°，∴∠ABC＝45°＋15°＝60°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－60°－95°＝25°
20．解：(1)∵∠ACB＝90°，∠A＝36°，∠CBD是△ABC的外角，∴∠CBD＝∠ACB＋∠A＝126°，∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠CBD＝63°　(2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，∴∠CEB＝∠ACB－∠CBE＝27°，∵∠F＝27°，∴∠CEB＝∠F，∴BE∥DF
21．解：(1)∵a，b，c分别为△ABC的三条边长，∴a＋b－c＞0，c－a－b＜0，∴原式＝a＋b－c＋c－a－b＝0　(2)△ABC是直角三角形．理由如下：∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2，∴设∠A＝x，∠B＝x，∠C＝2x，由三角形的内角和定理，得x＋x＋2x＝180°，解得x＝45°，∴2x＝90°，即∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形
22．解：(1)∵∠BED是△ABE的外角，∴∠BED＝∠BAE＋∠ABE＝52°.∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAD＝∠BAC，∠ABE＝∠ABC，∴∠BED＝∠BAE＋∠ABE＝∠BAC＋∠ABC＝52°，即∠BAC＋∠ABC＝104°，∴∠C＝180°－∠ABC－∠BAC＝76°　(2)∠BED＝90°－∠C，理由如下：∵∠BED是△ABE的外角，∴∠BED＝∠BAE＋∠ABE.∵AD是△ABC的角平分线，BE平分∠ABD，∴∠BAD＝∠BAC，∠ABE＝∠ABC，∴∠BED＝∠BAE＋∠ABE＝∠BAC＋∠ABC＝(180°－∠C)＝90°－∠C
23．解：（1）135°
(2)(ⅰ)__45__°
(ⅱ)∠D的大小不会发生变化．设∠BAD＝x，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2∠BAD＝2x.∵∠AOB＝90°，∴∠ABN＝∠AOB＋∠BAO＝90°＋2x.∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝∠ABN＝45°＋x.∵∠ABC＝∠D＋∠BAD，∴∠D＝∠ABC－∠BAD＝45°＋x－x＝45°　(3)设∠BAD＝y，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO＝2∠BAD＝2y.∵∠MON＝α，∴∠ABN＝∠MON＋∠BAO＝α＋2y，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC＝∠ABN＝α＋y.∵∠ABC＝∠D＋∠BAD，∴∠D＝∠ABC－∠BAD＝α＋y－y＝α

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