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第六章 数据的分析
6.1.4 方差的应用
1．通过更为丰富的例子，让学生较为全面地理解方差及其在现实生活中的应用。
2．通过实例，让学生体会数据的离散程度在现实生活中广泛存在，应视情况分析方差或离差平方和对于问题的影响。
数据的
离散程度
S 2 = (x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2
s2 = [(x1-)2 + (x2-)2 + …+ (xn-)2]
离差平方和
方差
标准差
s =
问题1：张老师乘公交车上班，从家到学校有 A，B 两条路线可选择，他做了一番试验. 第一周（5个工作日）选择 A 路线，第二周（5个工作日）选择 B 路线，每天两趟，记录所用时间如下表：
根据上表数据绘制的折线统计图如图所示.
（1）从图形看哪条线路平均用时少，哪条路线用时的波动大？
（2）分别计算选择 A，B 两条路线所用时间的平均数和方差.
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 线路 所用时间 35 52 35 36 54 38 41 34 55 40
B 线路 所用时间 45 49 44 45 47 46 50 48 50 46
（1）A 的平均用时少，波动大.
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 线路 所用时间 35 52 35 36 54 38 41 34 55 40
B 线路 所用时间 45 49 44 45 47 46 50 48 50 46
（2）
思考：如果某天上班可用时间只有 40 min，选择走哪条路线，才可能不迟到？
如果某天上班可用时间为 50 min，更适合走哪条路线？
选择 A 路线.
选择 B 路线.
问题2：测试甲、乙两个品牌的手表各 50 只，根据日走时误差数据绘制的统计图如图所示，请从日走时误差角度分析这两个品牌手表的优劣.
（1）你会用哪个统计量去做比较？
（1）平均数是首选，因为平均数代表的是平均水平；但由于我们考察的数据是手表日走时误差，所以平均数与 0 越接近，说明误差越小，质量越好.
通过计算，发现两个品牌的平均数相同，故单从平均数角度已无法判断甲、乙的优劣.
（2）计算甲、乙两品牌手表日走时误差的平均数.
（3）计算甲、乙两品牌手表日走时误差的方差，判断品牌优劣？
由于 s甲2 < s乙2，所以从日走时误差方差的的角度看，甲品牌优于乙品牌.
思考：（1）在解决实际问题时，方差的作用是什么？
反映数据的波动大小；
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，
再利用样本方差来估计总体数据的波动情况。
（2）运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
问题3：已知 10 个苹果的直径数据如图所示.
(1) 若要把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，该怎么分
(2) 一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，应遵循怎样的分组原则
（1）可以将直径较大的一组分为：81、80、80、78、76；直径较小的一组分为：76、75、75、70、69；理由是使两组数据整体水平相近。
（2）分组原则是先确定最大最小值及差值，再确定合适组距，保证每组数据个数大致相等并按序分组 。
在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”。多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和。
1. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击 10 次，成绩
(单位：环) 统计如下表：
甲 乙 丙 丁
平均数 /环 9.7 m 9.3 9.6
方差 s2 0.25 n 0.28 0.27
若根据表中数据，可以判断乙是四人中成绩最好且发挥最稳定的，则 m ， n 的值可以是 (　 )
B
A. m ＝10， n ＝0.3 B. m ＝10， n ＝0.2
C. m ＝9， n ＝0.3 D. m ＝9， n ＝0.2
2. 某中学举行“校园好声音”歌手比赛，初、高中部根据初赛成绩各选出 5 名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，根据这 10 名选手的决赛成绩 (满分为100分)，制作了如下统计图表：
（1）根据统计图表提供的数据填空：
a 的值是 ， b 的值是 ；
平均数 中位数 众数 方差
初中代表队 * 85 b 70
高中代表队 85 a 100 *
80
85
（2）结合两队的平均数和中位数，分析哪个
队的决赛成绩更好.
解：初中代表队决赛成绩的平均数为 ×(80 + 75 + 85 + 85 + 100) = 85 (分)，
虽然初中代表队和高中代表队的平均数相同，但是初中代表队的中位数高于高中代表队，所以初中代表队的决赛成绩更好.
平均数 中位数 众数 方差
初中代表队 * 85 85 70
高中代表队 85 80 100 *
解：高中代表队的方差为
s2 = [(70 - 85)2 + (100 - 85)2 + (100 - 85)2 + (75 - 85)2 + (80 - 85)2] = 160，
∴ s2初中代表队 < s2高中代表队 ，∴初中代表队的成绩比较稳定.
（2）试通过计算说明，哪个代表队的成绩
比较稳定？
平均数 中位数 众数 方差
初中代表队 * 85 85 70
高中代表队 85 80 100 *
3.为考查某品种小麦的长势，测量了 8 株麦苗的高 (单位：cm)，结果如下：
21，21，22，23，23，24，25，25
按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把这8个数据分成两组。
解：计算不同分组的组内离差平方和如下：
其中组内离差平方和最小的分组是：
{21，21，22}，{23，23，24，25，25}和{21，21，22，23，23}，{24，25，25}.
方差
根据数据做决策
比较数据的稳定性
离差平方和
对数据进行分组

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