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第二章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．方程2x2﹣5x＝4的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．2，5，4 B．2，﹣5，4 C．﹣2，﹣5，4 D．2，﹣5，﹣4
3．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为（ ）
A． B． C． D．
4．若一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．小强为活动小组购买统一服装，经理给予如下优惠：如果一次性购买不超过10件，单价为80元：如果一次性购买超过10件，那么每多买一件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价最终不低于50元．小强一次性购买这种服装花费1200元，则他购买了这种服装的件数是( )
A．20件 B．24件 C．20件或30件 D．30件
6．若是方程的一个根，则的值为( )
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
7．若等腰三角形三边的长分别是，，3，且，是关于的一元二次方程的两个根，则满足上述条件的的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
8．如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，则的长为（ ）

A．9 B．12 C．15 D．16
9．若，则的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．3或4
10．两个不相等的实数m，n满足m2-6m=4，n2-6n=4，则mn的值为( )
A．6 B．-6 C．4 D．-4
11．若方程x2＝m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的( )
A．1 B．4 C． D．
12．若，关于的方程的根的情况是（ ）
A．有一正根和一负根 B．有两个正根 C．有两个负根 D．没有实数根
二、填空题
13．方程的解为 ．
14．如图，在中，，cm，cm，点，分别从，两点出发沿，方向向终点匀速运动，其速度均为．设运动时间为，则当的面积是的面积的一半时，的值为 ．
15．对于方程，若方程有两个不相等的实数根，则 ；若方程有两个相等的实数根，则 ；若方程无实数根，则 ．
16．已知，求的值，若设，则原方程可变为 ，所以求出z的值即为的值，所以的值为 ．
17．已知关于的方程是一元二次方程，则 ．
三、解答题
18．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．如何用配方法解方程
21．解方程：
(1)x2﹣4x+2＝0：
(2)（x﹣1）2﹣x+1＝0．
22．某电脑公司2016年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2018年经营总收入要达到2160万元，且计划从2016年到2018年，每年经营总收入的年增长率相同，问2017年预计经营总收入为多少万元？
23．解方程：
(1)；
(2)．
24．解方程：3x(x-1)=2(x-1).(因式分解法)
《第二章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D B A C B A B D
题号 11 12
答案 D B
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于的方程，求解方程即可．
【详解】解：，
方程有两个相等的实数根，
，
，
解得：．
故选：B．
2．D
【分析】根据一元二次方程的概念及一般形式即可判断，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：∵方程2x2﹣5x＝4化成一般形式是2x2﹣5x﹣4＝0，
∴二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为﹣4．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
3．D
【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，即81人患了流感，由此列方程求解．
【详解】x+1+（x+1）x=81
整理得，（1+x）2=81．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
4．B
【分析】设该一元二次方程的另一个根为x1，根据两个之积等于求出x1=-3，再根据两根之和为求出k．
【详解】解：设该一元二次方程的另一个根为x1，根据两根之积为得x1=-3，
根据两根的和为，得1+x1=-k，即k=-(1-3)=2，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的两个关系式是解题的关键．
5．A
【分析】设小强购买了这种服装x件，则每件的价格为（100-2x）元，根据总价=单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解析：设小强购买了这种服装x件．
由题意得：，
解得：x1=20，x2=30．
∵80－2(x－10)≥50，
∵x≤25，
∴x=20．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．C
【分析】根据是方程的一个根可得，得出，代入即可得到答案.
【详解】解：∵是方程的一个根
∴，即，
将代入中，
=1+2020=2021，
故答案选：C.
【点睛】本题考查一元二次方程的解和整体代入思想的应用.
7．B
【分析】对等腰三角形的腰进行分类讨论，然后根据一元二次方程的判别式或一元二次方程的解求出m的值，再通过解一元二次方程求出等腰三角形的边，并验证即可．
【详解】解：①当a，b是等腰三角形的两条腰，则a=b．
∵a，b是关于x的一元二次方程的两个根，
∴．
∴m=4．
∴．
∴．
∴a=2，b=2．
此时2，2，3能够构成等腰三角形．
故m=4符合题意．
②当3是等腰三角形的一条腰时，则等腰三角形的另一条腰的长度是3．
∵a，b是关于x的一元二次方程的两个根，
把x=3代入得．
∴m=3．
∴．
∴，．
此时1，3，3能够构成等腰三角形．
∴m的值为4或3，共2个值．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，一元二次方程的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确进行分类讨论思想是解题关键．
8．A
【分析】设，则，，由勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：设，则，
四边形是矩形，
∴，
∵将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，
∴，
∵
∴，
∵在中，，
∴
解得：（舍去）
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质一元二次方程及勾股定理的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
9．B
【分析】根据题意，采用换元法，令，将转化为，即，得到，解得或，再结合，即可确定，从而确定答案．
【详解】解：令，
将转化为，
，即，解得或，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及换元法、解一元二次方程等知识，熟练掌握换元法、因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键．
10．D
【分析】由题意可知，m、n是一元二次方程x2－6x＝4的两个根，故可根据一元二次方程根与系数的关系可求mn.
【详解】因为m、n满足m2－6m＝4，n2－6n＝4，即m、n满足方程x2－6x＝4，所以m，n是一元二次方程x2－6x＝4的两根实数根，所以mn＝＝－4，故答案选D.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解此题的重点在于探究出m、n是方程x2－6x＝4的两个根这一结论.
11．D
【详解】因为x2=m，所以x=±，x是有理数，所以m不能取.
故选D.
12．B
【分析】根据根的判别式与0的关系判断出根的情况，再根据根与系数的关系判断根的正负即可．
【详解】方程的△=（4k+1）2-4×2（2k2-1）=8k+9，
∵k＞1，
∴△＞17，
∴方程有两不相等的实数根．
∴x1+x2= ＞>0，
x1·x2=＞>0 ，
∴方程的两根为正根．
故选B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系及根的判别式：①一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0 方程有两个不相等的实数根；△=0 方程有两个相等的实数根；△＜0 方程没有实数根；②根与系数的关系为：x1+x2= ，x1·x2=．
13．，
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握因式分解法解一元二次方程．
先将方程左边分解因式，转化为两个一次方程求解即可．
【详解】解：方程左边分解因式，得，
所以或，
解得：，．
故答案为：，．
14．2
【分析】本题考查了一元二次方程在几何问题中的应用，解题的关键在于根据三角形面积公式分别表示出和的面积，然后根据面积关系列出方程求解．
根据运动速度，可得，，则可表示与，再表示出和的面积，列式求解即可．
【详解】解：∵点，分别从，两点出发沿，方向向终点匀速运动，
且其速度均为，运动时间为，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
，
∵的面积是的面积的一半，
∴，
整理可得，
解得，，
∵当时，点P运动路程为，不满足题意，
∴当的面积是的面积的一半时，的值为2．
故答案为：2 ．
15．
【分析】主要考查一元二次方程根的判别式，根据题意，运用的方法判定即可．
【详解】解：将方程化为一般式得，，
∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为，
∴，
∴当方程有两个不相等的实数根时，，即，
解得，，
当方程有两个相等的实数根时，，即，
解得，，
当方程无实数根时，，即，
解得，，
故答案为：①；②；③．
16． 2或
【分析】首先把x+y看做一个整体，设x+y=z，变形为z2+2z-8=0，然后解关于z的方程即可．
【详解】解：设x+y=z，
则原方程整理为：z（z+2）-8=0，
整理得：z2+2z-8=0，
（z+4）（z-2）=0，
解方程得：z1=-4，z2=2，
∴x+y=-4或者x+y=2．
故答案为：，-4或2．
【点睛】本题考查了用因式分解法解方程，关键在于把x+y看做一个整体，正确的对方程式的左边因式分解．
17．1
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程是一元二次方程成为解题的关键．
根据一元二次方程的定义得出且，然后求解即可．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，解得：．
故答案为：1．
18．(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，；
(5)，；
(6)，；
(7)，；
(8)，
【分析】（1）利用开平方即可求解，（2）、（5）、（6）、（8）利用因式分解法求解即可，（3）、（4）、（7）用公式法求解即可．
【详解】（1）解：196x2－1 ＝ 0，
移项，得196x2＝ 1，
直接开平方，得14x＝，
x＝，
∴原方程的解为，；
（2）解：，
原方程化为，
，
∴或，
∴，；
（3）解：，
∵，，，
∴>0，
∴，
，；
（4）解：原方程化为，
∵，，，
∴>0，
∴ ，
∴，；
（5）解：，原方程化为，
因式分解，得，
∴或，
∴，；
（6）解：原方程化为，
∴或，
∴，；
（7）解：原方程化为，
∵，，，
∴>0，
∴，
∴，；
（8）解：原方程化为，
∴或，
∴，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握各种解法是解题的关键．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
（1）用十字相乘法分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出的值，再代入公式求出即可．
【详解】（1）解：
或
，；
（2）解：
，
，
，
．
20．，．
【分析】首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可．
【详解】解：
整理得，
∴或
解得，．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
21．(1)，
(2)
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利分解因式法求出解即可．
【详解】（1）x2﹣4x+2＝0
方程整理得：x2-4x=-2，
配方得：x2-4x+4=2，即（x-2）2=2，
开方得：x-2=±
解得，，；
（2）（x﹣1）2﹣x+1＝0
（x﹣1）2﹣(x-1)＝0
∴
【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
22．1800万元
【分析】增长率问题，一般形式为a(1+x) 2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．本题中a就是14年的经营收入，b就是16年的经营收入．由此求出增长率的值进而得出2017年经营总收入．
【详解】解：设2016年到2018年，每年经营总收入的年增长率为x，
600÷40%=1500万元
1500（1+x)2=2160
（1+x)2=1.44解
解此方程得（舍去），，
1500（1+0.2）=1800万元
答：2017年预计经营总收入为1800万元
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=b，其中a是变化前的原始量，b是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率.
23．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【详解】（1）解：，
，
则，
或，
解得：，；
（2）解：，，，
，
则，
即，．
24．x1=；x2=1.
【详解】：3x(x-1) -2(x-1) =0,
（x-1）(3x-2)=0,
x-1=0, 3x-2=0,
所以x1=，x2=1．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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