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天津市葛沽第一中学2024-2025学年上学期八年级数学期中考试试题　
1．（2024八上·天津市期中）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(　　)
A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4
2．（2024八上·天津市期中）不是利用三角形稳定性的是（　　）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三脚架 D．学校的栅栏门
3．（2024八上·天津市期中）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·天津市期中）如图，在中，点D在的延长线上，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·天津市期中）如图，中，，，平分，交于点，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·天津市期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2024八上·天津市期中）如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且 ，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·天津市期中）如图，≌，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八上·天津市期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事．
A．① B．② C．③ D．①③
10．（2024八上·天津市期中）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八上·天津市期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2024八上·天津市期中）如图，平分，过点作于，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数有（　　）
A． B． C． D．
13．（2024八上·天津市期中）一个等腰三角形两边的长分别为2m、5cm．则它的周长为　 　cm．
14．（2024八上·天津市期中）若正边形的每一个内角为，则　 　．
15．（2024八上·天津市期中）一个三角形的两边长为5和7，则第三边a的取值范围是　 　．
16．（2024八上·天津市期中）如图，平分，要用确定≌，还需要添加的一个条件是　 　 ．
17．（2024八上·天津市期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于　 　 ．
18．（2024八上·天津市期中）如图，的顶点分别为，，，且与全等（点与点不重合），则点坐标可以是　 　．
19．（2024八上·天津市期中）如图，在中，，，于点，平分，求与的度数．
20．（2024八上·天津市期中）一个多边形的内角和与外角和的差为1260度，求它的边数．
21．（2024八上·天津市期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：．
22．（2024八上·天津市期中）如图所示，，，垂足均为点，且，．求证：．
23．（2024八上·天津市期中）如图，在中，，，，，垂足分别为D、E．求证：
24．（2024八上·天津市期中）如图，在中，平分，点是的中点，于点，于点．求证：．
25．（2024八上·天津市期中）如图（1）所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，可以得到BD平分EF，为什么？若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可。
A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；
D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确。
故选D.
2．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【解析】【解答】解：因为三角形具有稳定性，而学校的栅栏门是可以伸缩的，是利用了四边形的不稳定性，
故选D．
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，∴A符合题意；
B、不是轴对称图形，∴B不合题意；
C、不是轴对称图形，∴C不合题意；
D、不是轴对称图形，∴D不合题意；
故答案为：A．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故选：B．
【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在中，，，
则，
平分，
，
在中，由三角形内角和定理可得，
故答案为：A．
【分析】
在中，由三角形内角和定理得到，再由角平分线定义求出，在中，由三角形内角和定理计算即可解答．
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，
故选：C．
【分析】根据垂直平分线性质可得EB＝EA＝4，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边，上的中点，
∴分别为的中线，
∴，，，
∴．
故答案为：A．
【分析】
根据三角形的中线平分面积，推出，即可解答．
8．【答案】C
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ACB≌△A'CB'，
∴∠ACB=∠A'CB'，
∴∠BCB'=∠A'CB' ∠A'CB=70°．
故答案为：C．
【分析】
根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠A'CB'，再用角度的和差运算计算即可解答．
9．【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的判定方法及应用分析求解即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：根据尺规作图可得，，
∴，
∴，
∴依据是，
故答案为：D ．
【分析】
根据尺规作角平分线可得，即可由SSS证明，解答即可．
11．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
A、在和中，
，
∴，故选项A不符合题意；
B、由，根据能判定，故选项B不符合题意；
C、由，根据能判定，故选项C不符合题意；
D、由，不能判定，故选项D符合题意；
故选：D．
【分析】
对于一般三角形，若已知两条边对应相等，则可利用SSS或SAS来判定两三角形全等；对于直角三角形，则可利用SAS或HL进行判定．
12．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；多边形内角与外角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过C作于F．
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
即，故①正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
又∵，
∴，
∴四边形中，，故②正确；
∵，
∴，
即，故④错误．
综上，正确的结论共3个．
故答案为：D．
【分析】
过C作于F，先用HL判定，根据全等三角形的性质和线段的和差运算即可得出可判断①；再判定，即可得到可判断③；再根据四边形内角和可判断②；根据三角形的面积公式计算可判断④，逐一判断即可解答．
13．【答案】12
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，
当腰长是5cm时，则三角形的三边是5cm，5cm，2cm，5cm+2cm＞5cm，满足三角形的三边关系，三角形的周长是12cm；
当腰长是2cm时，三角形的三边是2cm，2cm，5cm，2cm+2cm＜5cm，不满足三角形的三边关系．
故答案为12．
【分析】由于不明确等腰三角形的底和腰分别是多少，故需分腰长是5cm和腰长是2cm分别计算，先根据等腰三角形的性质得到三角形的三边长，再根据三角形三边关系判断这三条边能否组成三角形，若能再计算其周长，若不能，则这样的三角形不存在.
14．【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正边形的每一个内角为，则正边形的每一个外角为，，
故答案为：10．
【分析】由于正多边形的每一个内角相等，则它的每一个外角也相等，而且任意多边形的外角和总是360度，可先求出它一个外角的度数，再除360度即可。
15．【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系：，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据三角形三边关系，列出不等式，解不等式即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，
，
添加，利用得出≌；
添加，利用得出≌；
添加，利用得出≌；
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵折叠得到，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：
【分析】
由三角形的内角和求出，再由折叠的性质得到，进而用平角的定义计算即可求解．
18．【答案】或或
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图所示，与全等，点D的坐标可以是或或．
故答案为：或或．
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
19．【答案】解：在中，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC，再根据角平分线定义可得∠BAE，再根据三角形内角和定理可得∠AEC，再根据三角形外角性质可得∠AED，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
20．【答案】解：设多边形的边数是n，则
(n－2)·180－360＝1 260.解得n＝11.
答：它的边数为11.
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】设多边形的边数是n，再根据多边形内角和与外角和建立方程，解方程即可求出答案.
21．【答案】证明：∵，∴，
在和中，
，
∴．
∴
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】利用已知可证得，利用SSS可证得，利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.
22．【答案】证明：∵，，
∴
∴
即
在和中
∴
∴
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
根据同角的余角相等可得再根据SAS证明即可解答．
23．【答案】证明：∵，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由已知条件易得，，从而根据同角的余角相等可得，即可利用AAS证得，由此可得，解答即可．
24．【答案】证明：平分，，，
，，
是的中点，
在和中，
，
∴，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段的中点；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】根据角平分线的性质得到，再根据中点的定义得到 再用HL证明，即可解答．
25．【答案】解：（1）BD平分EF，理由如下：
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEG＝∠BFE＝90°，
∵AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF＝DE．
在△BFG和△DEG中，，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴FG＝EG，即BD平分EF．
（2）FG＝EG，即BD平分EF的结论依然成立．理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEG＝∠BFE＝90°，
∵AE＝CF，AE-EF＝CF-EF，
即AF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF＝DE，
在△BFG和△DEG中，，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴FG＝EG，即BD平分EF．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS；平移全等模型；翻折全等-公共边模型
【解析】【分析】（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF＝DE；再利用AAS判定△BFG≌△DEG，从而得出FG＝EG，即BD平分EF，解答即可；
（2）结论仍然成立，先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF＝DE；再利用AAS判定△BFG≌△DEG，从而得出FG＝EG，即BD平分EF，解答即可．
1 / 1天津市葛沽第一中学2024-2025学年上学期八年级数学期中考试试题　
1．（2024八上·天津市期中）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是(　　)
A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可。
A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；
D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确。
故选D.
2．（2024八上·天津市期中）不是利用三角形稳定性的是（　　）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三脚架 D．学校的栅栏门
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【解析】【解答】解：因为三角形具有稳定性，而学校的栅栏门是可以伸缩的，是利用了四边形的不稳定性，
故选D．
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
3．（2024八上·天津市期中）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，∴A符合题意；
B、不是轴对称图形，∴B不合题意；
C、不是轴对称图形，∴C不合题意；
D、不是轴对称图形，∴D不合题意；
故答案为：A．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
4．（2024八上·天津市期中）如图，在中，点D在的延长线上，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故选：B．
【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.
5．（2024八上·天津市期中）如图，中，，，平分，交于点，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在中，，，
则，
平分，
，
在中，由三角形内角和定理可得，
故答案为：A．
【分析】
在中，由三角形内角和定理得到，再由角平分线定义求出，在中，由三角形内角和定理计算即可解答．
6．（2024八上·天津市期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，
故选：C．
【分析】根据垂直平分线性质可得EB＝EA＝4，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．（2024八上·天津市期中）如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且 ，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为边，上的中点，
∴分别为的中线，
∴，，，
∴．
故答案为：A．
【分析】
根据三角形的中线平分面积，推出，即可解答．
8．（2024八上·天津市期中）如图，≌，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ACB≌△A'CB'，
∴∠ACB=∠A'CB'，
∴∠BCB'=∠A'CB' ∠A'CB=70°．
故答案为：C．
【分析】
根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠A'CB'，再用角度的和差运算计算即可解答．
9．（2024八上·天津市期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事．
A．① B．② C．③ D．①③
【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的判定方法及应用分析求解即可.
10．（2024八上·天津市期中）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：根据尺规作图可得，，
∴，
∴，
∴依据是，
故答案为：D ．
【分析】
根据尺规作角平分线可得，即可由SSS证明，解答即可．
11．（2024八上·天津市期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
A、在和中，
，
∴，故选项A不符合题意；
B、由，根据能判定，故选项B不符合题意；
C、由，根据能判定，故选项C不符合题意；
D、由，不能判定，故选项D符合题意；
故选：D．
【分析】
对于一般三角形，若已知两条边对应相等，则可利用SSS或SAS来判定两三角形全等；对于直角三角形，则可利用SAS或HL进行判定．
12．（2024八上·天津市期中）如图，平分，过点作于，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数有（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；多边形内角与外角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过C作于F．
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
即，故①正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
又∵，
∴，
∴四边形中，，故②正确；
∵，
∴，
即，故④错误．
综上，正确的结论共3个．
故答案为：D．
【分析】
过C作于F，先用HL判定，根据全等三角形的性质和线段的和差运算即可得出可判断①；再判定，即可得到可判断③；再根据四边形内角和可判断②；根据三角形的面积公式计算可判断④，逐一判断即可解答．
13．（2024八上·天津市期中）一个等腰三角形两边的长分别为2m、5cm．则它的周长为　 　cm．
【答案】12
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，
当腰长是5cm时，则三角形的三边是5cm，5cm，2cm，5cm+2cm＞5cm，满足三角形的三边关系，三角形的周长是12cm；
当腰长是2cm时，三角形的三边是2cm，2cm，5cm，2cm+2cm＜5cm，不满足三角形的三边关系．
故答案为12．
【分析】由于不明确等腰三角形的底和腰分别是多少，故需分腰长是5cm和腰长是2cm分别计算，先根据等腰三角形的性质得到三角形的三边长，再根据三角形三边关系判断这三条边能否组成三角形，若能再计算其周长，若不能，则这样的三角形不存在.
14．（2024八上·天津市期中）若正边形的每一个内角为，则　 　．
【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正边形的每一个内角为，则正边形的每一个外角为，，
故答案为：10．
【分析】由于正多边形的每一个内角相等，则它的每一个外角也相等，而且任意多边形的外角和总是360度，可先求出它一个外角的度数，再除360度即可。
15．（2024八上·天津市期中）一个三角形的两边长为5和7，则第三边a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系：，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据三角形三边关系，列出不等式，解不等式即可求出答案.
16．（2024八上·天津市期中）如图，平分，要用确定≌，还需要添加的一个条件是　 　 ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，
，
添加，利用得出≌；
添加，利用得出≌；
添加，利用得出≌；
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
17．（2024八上·天津市期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于　 　 ．
【答案】
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵折叠得到，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：
【分析】
由三角形的内角和求出，再由折叠的性质得到，进而用平角的定义计算即可求解．
18．（2024八上·天津市期中）如图，的顶点分别为，，，且与全等（点与点不重合），则点坐标可以是　 　．
【答案】或或
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图所示，与全等，点D的坐标可以是或或．
故答案为：或或．
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
19．（2024八上·天津市期中）如图，在中，，，于点，平分，求与的度数．
【答案】解：在中，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC，再根据角平分线定义可得∠BAE，再根据三角形内角和定理可得∠AEC，再根据三角形外角性质可得∠AED，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
20．（2024八上·天津市期中）一个多边形的内角和与外角和的差为1260度，求它的边数．
【答案】解：设多边形的边数是n，则
(n－2)·180－360＝1 260.解得n＝11.
答：它的边数为11.
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】设多边形的边数是n，再根据多边形内角和与外角和建立方程，解方程即可求出答案.
21．（2024八上·天津市期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．求证：．
【答案】证明：∵，∴，
在和中，
，
∴．
∴
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】利用已知可证得，利用SSS可证得，利用全等三角形的对应角相等，可证得结论.
22．（2024八上·天津市期中）如图所示，，，垂足均为点，且，．求证：．
【答案】证明：∵，，
∴
∴
即
在和中
∴
∴
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
根据同角的余角相等可得再根据SAS证明即可解答．
23．（2024八上·天津市期中）如图，在中，，，，，垂足分别为D、E．求证：
【答案】证明：∵，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由已知条件易得，，从而根据同角的余角相等可得，即可利用AAS证得，由此可得，解答即可．
24．（2024八上·天津市期中）如图，在中，平分，点是的中点，于点，于点．求证：．
【答案】证明：平分，，，
，，
是的中点，
在和中，
，
∴，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段的中点；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】根据角平分线的性质得到，再根据中点的定义得到 再用HL证明，即可解答．
25．（2024八上·天津市期中）如图（1）所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，可以得到BD平分EF，为什么？若将△DEC的边EC沿AC方向移动，变为图（2）时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．
【答案】解：（1）BD平分EF，理由如下：
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEG＝∠BFE＝90°，
∵AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF，
即AF＝CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF＝DE．
在△BFG和△DEG中，，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴FG＝EG，即BD平分EF．
（2）FG＝EG，即BD平分EF的结论依然成立．理由如下：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEG＝∠BFE＝90°，
∵AE＝CF，AE-EF＝CF-EF，
即AF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF＝DE，
在△BFG和△DEG中，，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴FG＝EG，即BD平分EF．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-AAS；平移全等模型；翻折全等-公共边模型
【解析】【分析】（1）先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF＝DE；再利用AAS判定△BFG≌△DEG，从而得出FG＝EG，即BD平分EF，解答即可；
（2）结论仍然成立，先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF＝DE；再利用AAS判定△BFG≌△DEG，从而得出FG＝EG，即BD平分EF，解答即可．
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