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浙江省杭州市2024-2025学年八年级上学期浙教版数学期末模拟试题
1．（2024八上·杭州期末）下面四幅作品分别代表“惊蛰”“谷雨”“立秋”“冬至”，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义，可知ACD不符合题意，B符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项进行判断即可.
2．（2024八上·杭州期末）已知三角形的两边长分别为3，6，则第三边的长不可能是　　
A．4 B．6 C．8.5 D．10
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系，设其第三边的长为x，
6-3 第三边的长不可能是10.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边，列出不等式判断即可.
3．（2024八上·杭州期末）如图，已知，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，P；作一条射线，以点F圆心，长为半径作弧l，交于点H；以H为圆心，长为半径作弧，交弧于点Q；作射线．这样可得，其依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作三角形；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，，
根据题意得，，，
在和中，，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
由基本尺规作图知，与三条边对应相等，则可利用证明两三角形全等，再由全等三角形的对应角相等即可证明．
4．（2024八上·杭州期末）如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，则下列不等式不成立是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得，
A．，故原选项不成立，符合题意；
B．，故原选项成立，不符合题意；
C.，故原选项成立，不符合题意；
D．，故原选项成立，不符合题意；
故选：A．
【分析】
不等式的基本性质：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以 (或除以) 同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以 (或除以) 同一个负数，不等号的方向改变；因此可观察数轴知，再根据不等式的性质逐项判断即可．
5．（2024八上·杭州期末）学习了三角形知识后，小明制作了一个“三等分角仪”，借助如图1所示的“三等分角仪”三等分任意一角，这个三等分角仪(图2)由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，点D，E可在槽中滑动，若，则度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
设，
∴，
∴，
∵，，
即，
解得：，
．
故答案为：D．
【分析】根据等边对等角得到，，设，即可得到，求出x值即可得到的度数．
6．（2024八上·杭州期末）某种蜡烛燃烧的长度与燃烧时间成正比例关系．若点燃6分钟后，高度下降，则长的此种蜡烛点燃15分钟后，剩余蜡烛的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设蜡烛燃烧的长度与燃烧时间之间的正比例关系为为常数，且，
把代入关系式，得，
解得：，
与之间的函数关系式为：，
∴当时，有，
∴，
∴剩余蜡烛的长度为，
故答案为：C．
【分析】先利用待定系数法求出蜡烛燃烧的长度与燃烧时间之间的函数关系式，从而求出当时间为15分钟时蜡烛燃烧的长度，进而得到蜡烛的总长度减去燃烧的长度就是剩余蜡烛的长度．
7．（2024八上·杭州期末）某电信公司手机的收费标准有A，B两类，已知每月应缴费用 S（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示．当通话时间为 200 分钟时，按这两类收费标准缴费的差为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设A类的解析式为，
把点，代入解析式，
得，解得，
∴，
设B类的解析式为，
把点代入解析式，
得，解得，
∴，
当时，A类，B类，
．
故选：C．
【分析】
先利用待定系数法分别求出两种缴费模式对应的函数解析式，再分别求出当时对应的函数值y，再求它们的差即可．
8．（2024八上·杭州期末）在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、反映，，反映，，则，故本选项错误；
B、反映，，反映，，则，故本选项错误；
C、反映，，反映，，则，故本选项错误；
D、反映，，反映，，则，故本选项错误；
故选：D．
【分析】
对于一次函数，当时直线过一、二、三象限；当时直线过一、三、四象限；当时直线过一、二、四象限；当时直线过二、三、四象限；因此可先假定直线的图象正确，则可确定的符号，从而可判定直线图象正确与否．
9．（2024八上·杭州期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点自点处向上平移1个单位长度至点处，然后向右平移2个单位长度至点处，再向下平移3个单位长度至点处，再向左平移4个单位长度至点处……按此规律平移下去，若这点平移到点处时，则点的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，
∴在第三象限，
根据题意，得第三象限的点为，
∴当时，有，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据运动过程确定点在第三象限，由第三象限各点横、纵坐标的数据得到规律，然后得到并解之，即可求出点的坐标.
10．（2024八上·杭州期末）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：和是等边三角形，
，，，
，，
在和中，
，
，
，，故选项A不合题意；
，
，故选项B不合题意；
在和中，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，故选项D不合题意；
∵，若，
则，
则，
而一定不等于，
故选项C不成立，符合题意，
故选：C．
【分析】
A、由于和都等边三角形且有公共顶点C，则由旋转全等模型可得，则AD＝BE；
B、由全等三角形的对应角相等可得，再由三角形外角的性质并等量代换可得；
C、由于DE＝DC，且可求得，若DP＝DE，则为等边三角形，则，但是的外角，则，即，故结论不可能成立；
D、同A可利用旋转全等模型证明，则PC＝PQ，又可证，即是等边三角形，则，再利用内错角相等两直线平行即可证明结论成立．
11．（2024八上·杭州期末）若点M（a﹣2，a+3）在y轴上，则a=　 　．
【答案】2
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由题意，得
a-2=0．解得a=2，
故答案为：2．
【分析】根据y轴上的点的横坐标等于零，可得a的值．
12．（2024八上·杭州期末）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵直线与直线相交于点，
∴，
解得：，
∴
∴由图可知的解集为：，
故答案为：．
【分析】先求出点坐标，要求关于的不等式的解集，只需观察在上方的图像，据此即可得到答案.
13．（2024八上·杭州期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于　 　．
【答案】3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解∶∵，，，
∴，
∵将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：3．
【分析】先利用勾股定理求得，根据折叠的性质得到，，，从而得，，进而利用勾股定理构建方程并解之可求得的长．
14．（2024八上·杭州期末）在弹性限度内，弹簧的长度（厘米）与所挂物体质量（千克）成一次函数关系，根据下表提供的数据，求关于的函数表达式．
所挂物体质量（千克） 8 24
弹簧长度（厘米） 12 16
【答案】解：设关于的函数表达式为．
将，和，分别代入，
得解得．
∴关于的函数表达式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】 将y关于x的函数表达式设为一次函数的一般形式，利用待定系数法求解即可.
15．（2024八上·杭州期末）如图，点分别在直线和上，点是轴上两点，已知四边形是正方形，则值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，设，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点在直线的图象上，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】
由直线上点的坐标特征可高设，则由正方形的性质可得，再利用直线上点的坐标特征把点坐标代入一次函数即可求解．
16．（2024八上·杭州期末）在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：
①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是　 　
【答案】①②③④
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
，点为中点，，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，，
始终为等腰直角三角形，故④正确；
，
，故②正确；
，
，故③正确；
综上所述，正确的是①②③④，
故答案为：①②③④.
【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线以及等腰直角三角形的性质得到，，，证明，得，，，从而得，进而得，利用勾股定理求出，即可得证，然后证明始终为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，最后结合三角形中线平分面积的性质即可得.
17．（2024八上·杭州期末）解不等式组：
（1）；
（2）．
【答案】解：（1）移项得：5x-3x>2+1，
合并得：2x>3，
解得：x>；
（2），
由①解得：x＞；
由②去分母得：3（1-x）≥2（2x+1）-6，
去括号得：3-3x≥4x+2-6，
移项合并得：-7x≥-7，
解得：x≤1，
则不等式组的解集为＜x≤1．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）题先移项合并，然后将x系数化为1，即可求出不等式的解；
（2）题分别求出不等式组中两不等式的解，然后可以直接利用取解集的方法、也可以利用数轴表示方法，进一步确定两个解的公共部分，该部分即为不等式组的解集。
18．（2024八上·杭州期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形；
（2）将向右平移4个单位长度得到，请直接写出各点坐标．
【答案】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2），，
【知识点】作图﹣轴对称；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）解：如图所示：
即为平移后三角形，对应顶点坐标为，，．
【分析】
（1）关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此可分别作A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接 A1、B1、C1 即可；
（2）先利用平移的性质分别作 A1、B1、C1 的对应点 A2、B2、C2 ，从而可以写出相应点的坐标．
（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：如图所示：
即为平移后三角形，对应顶点坐标为，，．
19．（2024八上·杭州期末）如图，直线l经过点和点．
（1）求直线l的解析式，直线与坐标轴的交点坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：设直线l的解析式为，把、代入中得：，
∴，
∴直线l的解析式为，
在中，当时，，当时，，
∴直线l与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；
（2）解：设直线l与y轴交于，∴，
∴
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）先利用待定系数法求出直线l的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征分别令和并分别解方程即可；
（2）设直线l与y轴交于点C ，则，即，再利用割补法即进行求解即可．
（1）解：设直线l的解析式为，
把、代入中得：，
∴，
∴直线l的解析式为，
在中，当时，，当时，，
∴直线l与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；
（2）解：设直线l与y轴交于，
∴，
∴
．
20．（2024八上·杭州期末）如图，在中，，BE平分，AD为BC边上的高，且．
（1）求证：
（2）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=∠C+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
∴∠ABE=∠DAC；
（2）解：AB=BD+CD，理由如下：在△ADC和△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴DH=DC，
∴BD+DH=DB+DC=BC=AB．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，则∠BEC=∠ADC=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理可得△ADC≌△BDH（AAS），则DH=DC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：证明：∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=∠C+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
∴∠ABE=∠DAC；
（2）AB=BD+CD，理由如下：
在△ADC和△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴DH=DC，
∴BD+DH=DB+DC=BC=AB．
21．（2024八上·杭州期末）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费；
乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费．
设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元．
（1）当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式；
（2）若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算 请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，得，
；
（2）解：选择乙方案更划算，理由如下：
当时，有，，
∵，
∴选择乙方案更划算．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据甲，乙两种收费方案列式求解即可；
（2）令，分别求出，的函数值，最后再比较结果即可求解.
（1）解：由题意得：，
；
（2）选择乙方案更划算
理由：当时，
，
．
∵，
∴选择乙方案更划算．
22．（2024八上·杭州期末）为了倡导居民节约用水，生活用水按阶梯式水价计费，如图是居民每户每月的水费y（元）与所用的水量x（吨）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题：
（1）当用水量不超过10吨时，每吨水收费______元．
（2）当用水量超过10吨且不超过30吨时，求y与x之间的函数表达式；
（3）某户居民四、五月份水费共85元，五月份用水比四月份多5吨，求这户居民四月份用水多少吨．
【答案】（1）2
（2）解：当时，设y关于x的函数解析式为，
，解得，
即y关于x的函数解析式为。
（3）解：设这户居民四月份用水x吨，则五月份用水吨．
当时，这户居民四、五月份水费为：，
∴．
∴，
解得：
∴这户居民四月份用水15吨．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）20÷10＝2（元/吨）．
∴用水量不超过10吨时，水费为2元/吨；
故答案为：（1）2.
【分析】（1）题可以直接根据根据图示上的坐标，当用水10吨时，对应的价格是20元，做除法即可求出答案；
（2）题根据图示知，该直线经过点（10，20），（30，80），则由待定系数法来求y与x之间的函数关系式，但是需要写出x的取值范围；
（3）题首先确定四月份的用水量在10吨以上还是10吨以下，确定范围之后用（2）题的函数关系式代入计算即可求解。
（1）如图所示，用水量不超过10吨时每吨水收费为：20÷10＝2（元/吨）．
答：用水量不超过10吨时，水费为2元/吨；
（2）当时，设y关于x的函数解析式为，
，解得，
即y关于x的函数解析式为；
（3）设这户居民四月份用水x吨，则五月份用水吨．
当时，这户居民四、五月份水费为：，
∴．
∴，
解得：
答：这户居民四月份用水15吨．
23．（2024八上·杭州期末）如图，在和中，，，若，连接、交于点P；
（1）求证∶．
（2）求的度数．
（3）如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，，∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，当在线段上时，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，当在的延长线上时，
同理可得，∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述，或．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明两三角形全等即可；
（2）根据全等可以得到，再利用三角形的内角和定理解题即可；
（3）分为在线段上，在的延长线上两种情况，得到，即可得到，然后格局线段的和差解题即可．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，当在线段上时，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，当在的延长线上时，
同理可得，∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述，或．
24．（2024八上·杭州期末）如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵直线的解析表达式为：，且与轴交于点，
∴令，得，
解得：，
∴；
（2）解：设直线的解析表达式为，
将代入表达式，得，
解得：，
∴直线的解析表达式为；
（3）解：联立，
解得：，
，
，
；
（4）解：与底边都是，与的面积相等，
高就是点到直线的距离，
∵点纵坐标的绝对值为3，
∴点到距离也为3，
点纵坐标是3，
当点在直线上时，
第一种情况，当时，有，
∴；
第二种情况，当时，有，与点重合，不符合题意；
当点在直线上时，
第一种情况，当时，有，
∴；
第二种情况，当时，有，与点重合，不符合题意；
综上所述，点的坐标是或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）令，求出的值即可求解；
（2）直接利用待定系数法进行求解；
（3）联立两函数解析式得到方程组并解之可求出交点的坐标，继而利用三角形面积公式可求出的值；
（4）与底边都是，根据与的面积相等，可得点的坐标．
（1）解：由，令，得，
，
；
（2）解：设直线的解析表达式为，
由图象知：，；，，代入表达式，
，
，
直线的解析表达式为；
（3）解：由，
解得，
，
，
；
（4）解：与底边都是，与的面积相等，
高就是点到直线的距离，
∵点纵坐标的绝对值为3，则到距离也为3，
点纵坐标是3，
当点在直线上时，
第一种情况，当时，则，
∴；
第二种情况，当时，则，与点重合，不符合题意；
当点在直线上时，
第一种情况，当时，则，
∴；
第二种情况，当时，则，与点重合，不符合题意；
综上所述，点的坐标是或．
1 / 1浙江省杭州市2024-2025学年八年级上学期浙教版数学期末模拟试题
1．（2024八上·杭州期末）下面四幅作品分别代表“惊蛰”“谷雨”“立秋”“冬至”，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·杭州期末）已知三角形的两边长分别为3，6，则第三边的长不可能是　　
A．4 B．6 C．8.5 D．10
3．（2024八上·杭州期末）如图，已知，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，P；作一条射线，以点F圆心，长为半径作弧l，交于点H；以H为圆心，长为半径作弧，交弧于点Q；作射线．这样可得，其依据是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·杭州期末）如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，则下列不等式不成立是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·杭州期末）学习了三角形知识后，小明制作了一个“三等分角仪”，借助如图1所示的“三等分角仪”三等分任意一角，这个三等分角仪(图2)由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，点D，E可在槽中滑动，若，则度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·杭州期末）某种蜡烛燃烧的长度与燃烧时间成正比例关系．若点燃6分钟后，高度下降，则长的此种蜡烛点燃15分钟后，剩余蜡烛的长度为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·杭州期末）某电信公司手机的收费标准有A，B两类，已知每月应缴费用 S（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示．当通话时间为 200 分钟时，按这两类收费标准缴费的差为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．30
8．（2024八上·杭州期末）在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八上·杭州期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点自点处向上平移1个单位长度至点处，然后向右平移2个单位长度至点处，再向下平移3个单位长度至点处，再向左平移4个单位长度至点处……按此规律平移下去，若这点平移到点处时，则点的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024八上·杭州期末）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八上·杭州期末）若点M（a﹣2，a+3）在y轴上，则a=　 　．
12．（2024八上·杭州期末）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
13．（2024八上·杭州期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的长等于　 　．
14．（2024八上·杭州期末）在弹性限度内，弹簧的长度（厘米）与所挂物体质量（千克）成一次函数关系，根据下表提供的数据，求关于的函数表达式．
所挂物体质量（千克） 8 24
弹簧长度（厘米） 12 16
15．（2024八上·杭州期末）如图，点分别在直线和上，点是轴上两点，已知四边形是正方形，则值为　 　．
16．（2024八上·杭州期末）在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边，交于E，F两点，下列结论：
①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是　 　
17．（2024八上·杭州期末）解不等式组：
（1）；
（2）．
18．（2024八上·杭州期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形；
（2）将向右平移4个单位长度得到，请直接写出各点坐标．
19．（2024八上·杭州期末）如图，直线l经过点和点．
（1）求直线l的解析式，直线与坐标轴的交点坐标；
（2）求的面积．
20．（2024八上·杭州期末）如图，在中，，BE平分，AD为BC边上的高，且．
（1）求证：
（2）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
21．（2024八上·杭州期末）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费；
乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费．
设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元．
（1）当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式；
（2）若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算 请说明理由．
22．（2024八上·杭州期末）为了倡导居民节约用水，生活用水按阶梯式水价计费，如图是居民每户每月的水费y（元）与所用的水量x（吨）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题：
（1）当用水量不超过10吨时，每吨水收费______元．
（2）当用水量超过10吨且不超过30吨时，求y与x之间的函数表达式；
（3）某户居民四、五月份水费共85元，五月份用水比四月份多5吨，求这户居民四月份用水多少吨．
23．（2024八上·杭州期末）如图，在和中，，，若，连接、交于点P；
（1）求证∶．
（2）求的度数．
（3）如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值．
24．（2024八上·杭州期末）如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线的解析表达式；
（3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义，可知ACD不符合题意，B符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系，设其第三边的长为x，
6-3 第三边的长不可能是10.
故答案为：D.
【分析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边，列出不等式判断即可.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作三角形；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，连接，，
根据题意得，，，
在和中，，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
由基本尺规作图知，与三条边对应相等，则可利用证明两三角形全等，再由全等三角形的对应角相等即可证明．
4．【答案】A
【知识点】不等式的性质；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得，
A．，故原选项不成立，符合题意；
B．，故原选项成立，不符合题意；
C.，故原选项成立，不符合题意；
D．，故原选项成立，不符合题意；
故选：A．
【分析】
不等式的基本性质：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以 (或除以) 同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以 (或除以) 同一个负数，不等号的方向改变；因此可观察数轴知，再根据不等式的性质逐项判断即可．
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
设，
∴，
∴，
∵，，
即，
解得：，
．
故答案为：D．
【分析】根据等边对等角得到，，设，即可得到，求出x值即可得到的度数．
6．【答案】C
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设蜡烛燃烧的长度与燃烧时间之间的正比例关系为为常数，且，
把代入关系式，得，
解得：，
与之间的函数关系式为：，
∴当时，有，
∴，
∴剩余蜡烛的长度为，
故答案为：C．
【分析】先利用待定系数法求出蜡烛燃烧的长度与燃烧时间之间的函数关系式，从而求出当时间为15分钟时蜡烛燃烧的长度，进而得到蜡烛的总长度减去燃烧的长度就是剩余蜡烛的长度．
7．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设A类的解析式为，
把点，代入解析式，
得，解得，
∴，
设B类的解析式为，
把点代入解析式，
得，解得，
∴，
当时，A类，B类，
．
故选：C．
【分析】
先利用待定系数法分别求出两种缴费模式对应的函数解析式，再分别求出当时对应的函数值y，再求它们的差即可．
8．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、反映，，反映，，则，故本选项错误；
B、反映，，反映，，则，故本选项错误；
C、反映，，反映，，则，故本选项错误；
D、反映，，反映，，则，故本选项错误；
故选：D．
【分析】
对于一次函数，当时直线过一、二、三象限；当时直线过一、三、四象限；当时直线过一、二、四象限；当时直线过二、三、四象限；因此可先假定直线的图象正确，则可确定的符号，从而可判定直线图象正确与否．
9．【答案】C
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，
∴在第三象限，
根据题意，得第三象限的点为，
∴当时，有，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据运动过程确定点在第三象限，由第三象限各点横、纵坐标的数据得到规律，然后得到并解之，即可求出点的坐标.
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：和是等边三角形，
，，，
，，
在和中，
，
，
，，故选项A不合题意；
，
，故选项B不合题意；
在和中，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，故选项D不合题意；
∵，若，
则，
则，
而一定不等于，
故选项C不成立，符合题意，
故选：C．
【分析】
A、由于和都等边三角形且有公共顶点C，则由旋转全等模型可得，则AD＝BE；
B、由全等三角形的对应角相等可得，再由三角形外角的性质并等量代换可得；
C、由于DE＝DC，且可求得，若DP＝DE，则为等边三角形，则，但是的外角，则，即，故结论不可能成立；
D、同A可利用旋转全等模型证明，则PC＝PQ，又可证，即是等边三角形，则，再利用内错角相等两直线平行即可证明结论成立．
11．【答案】2
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：由题意，得
a-2=0．解得a=2，
故答案为：2．
【分析】根据y轴上的点的横坐标等于零，可得a的值．
12．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵直线与直线相交于点，
∴，
解得：，
∴
∴由图可知的解集为：，
故答案为：．
【分析】先求出点坐标，要求关于的不等式的解集，只需观察在上方的图像，据此即可得到答案.
13．【答案】3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解∶∵，，，
∴，
∵将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：3．
【分析】先利用勾股定理求得，根据折叠的性质得到，，，从而得，，进而利用勾股定理构建方程并解之可求得的长．
14．【答案】解：设关于的函数表达式为．
将，和，分别代入，
得解得．
∴关于的函数表达式为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】 将y关于x的函数表达式设为一次函数的一般形式，利用待定系数法求解即可.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，设，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点在直线的图象上，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】
由直线上点的坐标特征可高设，则由正方形的性质可得，再利用直线上点的坐标特征把点坐标代入一次函数即可求解．
16．【答案】①②③④
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
，点为中点，，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，，
始终为等腰直角三角形，故④正确；
，
，故②正确；
，
，故③正确；
综上所述，正确的是①②③④，
故答案为：①②③④.
【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线以及等腰直角三角形的性质得到，，，证明，得，，，从而得，进而得，利用勾股定理求出，即可得证，然后证明始终为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，最后结合三角形中线平分面积的性质即可得.
17．【答案】解：（1）移项得：5x-3x>2+1，
合并得：2x>3，
解得：x>；
（2），
由①解得：x＞；
由②去分母得：3（1-x）≥2（2x+1）-6，
去括号得：3-3x≥4x+2-6，
移项合并得：-7x≥-7，
解得：x≤1，
则不等式组的解集为＜x≤1．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）题先移项合并，然后将x系数化为1，即可求出不等式的解；
（2）题分别求出不等式组中两不等式的解，然后可以直接利用取解集的方法、也可以利用数轴表示方法，进一步确定两个解的公共部分，该部分即为不等式组的解集。
18．【答案】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2），，
【知识点】作图﹣轴对称；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）解：如图所示：
即为平移后三角形，对应顶点坐标为，，．
【分析】
（1）关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此可分别作A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接 A1、B1、C1 即可；
（2）先利用平移的性质分别作 A1、B1、C1 的对应点 A2、B2、C2 ，从而可以写出相应点的坐标．
（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：如图所示：
即为平移后三角形，对应顶点坐标为，，．
19．【答案】（1）解：设直线l的解析式为，把、代入中得：，
∴，
∴直线l的解析式为，
在中，当时，，当时，，
∴直线l与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；
（2）解：设直线l与y轴交于，∴，
∴
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）先利用待定系数法求出直线l的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征分别令和并分别解方程即可；
（2）设直线l与y轴交于点C ，则，即，再利用割补法即进行求解即可．
（1）解：设直线l的解析式为，
把、代入中得：，
∴，
∴直线l的解析式为，
在中，当时，，当时，，
∴直线l与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；
（2）解：设直线l与y轴交于，
∴，
∴
．
20．【答案】（1）证明：∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=∠C+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
∴∠ABE=∠DAC；
（2）解：AB=BD+CD，理由如下：在△ADC和△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴DH=DC，
∴BD+DH=DB+DC=BC=AB．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，则∠BEC=∠ADC=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理可得△ADC≌△BDH（AAS），则DH=DC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：证明：∵AB=BC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=∠C+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
∴∠ABE=∠DAC；
（2）AB=BD+CD，理由如下：
在△ADC和△BDH中，
，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴DH=DC，
∴BD+DH=DB+DC=BC=AB．
21．【答案】（1）解：根据题意，得，
；
（2）解：选择乙方案更划算，理由如下：
当时，有，，
∵，
∴选择乙方案更划算．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据甲，乙两种收费方案列式求解即可；
（2）令，分别求出，的函数值，最后再比较结果即可求解.
（1）解：由题意得：，
；
（2）选择乙方案更划算
理由：当时，
，
．
∵，
∴选择乙方案更划算．
22．【答案】（1）2
（2）解：当时，设y关于x的函数解析式为，
，解得，
即y关于x的函数解析式为。
（3）解：设这户居民四月份用水x吨，则五月份用水吨．
当时，这户居民四、五月份水费为：，
∴．
∴，
解得：
∴这户居民四月份用水15吨．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）20÷10＝2（元/吨）．
∴用水量不超过10吨时，水费为2元/吨；
故答案为：（1）2.
【分析】（1）题可以直接根据根据图示上的坐标，当用水10吨时，对应的价格是20元，做除法即可求出答案；
（2）题根据图示知，该直线经过点（10，20），（30，80），则由待定系数法来求y与x之间的函数关系式，但是需要写出x的取值范围；
（3）题首先确定四月份的用水量在10吨以上还是10吨以下，确定范围之后用（2）题的函数关系式代入计算即可求解。
（1）如图所示，用水量不超过10吨时每吨水收费为：20÷10＝2（元/吨）．
答：用水量不超过10吨时，水费为2元/吨；
（2）当时，设y关于x的函数解析式为，
，解得，
即y关于x的函数解析式为；
（3）设这户居民四月份用水x吨，则五月份用水吨．
当时，这户居民四、五月份水费为：，
∴．
∴，
解得：
答：这户居民四月份用水15吨．
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，，∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，当在线段上时，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，当在的延长线上时，
同理可得，∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述，或．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明两三角形全等即可；
（2）根据全等可以得到，再利用三角形的内角和定理解题即可；
（3）分为在线段上，在的延长线上两种情况，得到，即可得到，然后格局线段的和差解题即可．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，当在线段上时，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图所示，当在的延长线上时，
同理可得，∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述，或．
24．【答案】（1）解：∵直线的解析表达式为：，且与轴交于点，
∴令，得，
解得：，
∴；
（2）解：设直线的解析表达式为，
将代入表达式，得，
解得：，
∴直线的解析表达式为；
（3）解：联立，
解得：，
，
，
；
（4）解：与底边都是，与的面积相等，
高就是点到直线的距离，
∵点纵坐标的绝对值为3，
∴点到距离也为3，
点纵坐标是3，
当点在直线上时，
第一种情况，当时，有，
∴；
第二种情况，当时，有，与点重合，不符合题意；
当点在直线上时，
第一种情况，当时，有，
∴；
第二种情况，当时，有，与点重合，不符合题意；
综上所述，点的坐标是或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）令，求出的值即可求解；
（2）直接利用待定系数法进行求解；
（3）联立两函数解析式得到方程组并解之可求出交点的坐标，继而利用三角形面积公式可求出的值；
（4）与底边都是，根据与的面积相等，可得点的坐标．
（1）解：由，令，得，
，
；
（2）解：设直线的解析表达式为，
由图象知：，；，，代入表达式，
，
，
直线的解析表达式为；
（3）解：由，
解得，
，
，
；
（4）解：与底边都是，与的面积相等，
高就是点到直线的距离，
∵点纵坐标的绝对值为3，则到距离也为3，
点纵坐标是3，
当点在直线上时，
第一种情况，当时，则，
∴；
第二种情况，当时，则，与点重合，不符合题意；
当点在直线上时，
第一种情况，当时，则，
∴；
第二种情况，当时，则，与点重合，不符合题意；
综上所述，点的坐标是或．
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