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浙江省杭州市萧山区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷
1．（2024八上·萧山期中）已知三角形两边的长分别是和，则第三边的长可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边的长度为x，
由题意得：，
即：，
∴C符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，即可逐一判断得出答案.
2．（2024八上·萧山期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．（2024八上·萧山期中）对于命题“若，则” 能说明它属于假命题的反例是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、当时，且，不能说明它属于假命题，故A不符合题意 ；
B、当时，但，可以说明它属于假命题，故B符合题意 ；
C、当时，不能说明它属于假命题，故C不符合题意 ；
D、当时，且，不能说明它属于假命题，故D不符合题意 .
故答案为：B．
【分析】假命题：条件符合题意，但是结论相反；根据假命题的判断方法逐一判断即可.
4．（2024八上·萧山期中）如果，那么下列结论一定正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 ∵ ，∴，故该选项正确，符合题意；
B、 ∵ ，∴，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ∵ ，∴，故该选项不正确，不符合题意；
D、 ∵ ，且，∴，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断得出答案.
5．（2024八上·萧山期中）下列各语句是真命题的是（　　）
A．三个角对应相等的三角形全等
B．等角对等边
C．等腰三角形的对称轴是顶角平分线
D．三角形任何两边的和大于第三边
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、三个角对应相等的三角形全等，是假命题，本选项不符合题意；
B、等角对等边，是假命题，成立的条件是在同一个三角形中，本选项不符合题意；
C、等腰三角形的对称轴是顶角平分线，是假命题，应该是等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，本选项不符合题意；
D、三角形任何两边的和大于第三边，是真命题，本选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据三角形全等的判定定理“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”可得两个三角形全等，至少要有一条边对应相等，据此可判断A选项；根据同一个三角形中，大边对大角，等边对等角，可判断B选项；三角形的角平分线是一条射线，轴对称图形的对称轴是一条直线，据此可判断C选项；根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可判断D选项.
6．（2024八上·萧山期中）如图，点P在∠ABC的平分线上，PD⊥BC于点D，若PD=4，则P到BA的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点P在∠ABC的平分线上，
∴点P到AB、AC的距离相等，
∵PD⊥BC于点D， PD=4，
∴P到BA的距离为4；
故选：B．
【分析】
角平分线的点到角两边距离相等．
7．（2024八上·萧山期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
A、在和中，
，
∴，故选项A不符合题意；
B、由，根据能判定，故选项B不符合题意；
C、由，根据能判定，故选项C不符合题意；
D、由，不能判定，故选项D符合题意；
故选：D．
【分析】
对于一般三角形，若已知两条边对应相等，则可利用SSS或SAS来判定两三角形全等；对于直角三角形，则可利用SAS或HL进行判定．
8．（2024八上·萧山期中）如图， ABC 中，AB = 6cm ，AC = 8cm ，BC 的垂直平分线l 与 AC 相交于点 D ，则 ABD 的周长为（　　）
A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵BC的垂直平分线l与AC相交于点D，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB＋AD＋DB＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC＝14（cm），
故选：C．
【分析】
由线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，则的周长可转化为边AC与AB的和．
9．（2024八上·萧山期中）如图，在中，于点F，于点E，D为的中点，M为的中点，则的长为（　　）
A．7 B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴F是中点，
∵，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】连接，根据等腰三角形三线合一得到F是中点，从而得到，同理可得，最后根据勾股定理即可求出的长．
10．（2024八上·萧山期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
故选：A．
【分析】
观察图形知阴影部分面积等于S2的一半，可先由勾股定理可得，则，再结合已知可得出，再求出S2的值即可．
11．（2024八上·萧山期中）根据数量关系列不等式：的3倍与的差大于2．　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：的3倍与的差大于2为：，
故答案为：．
【分析】"x的3倍”即3与x相乘，可表示为3x，“与y的差”是指3x减去y，即3x-y；“大于2”表示上述差的结果比2大，所以用大于号“>”连接，从而列出不等式Зх - у > 2.
12．（2024八上·萧山期中）如图，在△ABC中，AB=AC，外角∠ACD=110°，则∠A=　 　．
【答案】40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ACD=110，
∴∠ACB=180-110=70；
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70；
∴∠A=∠ACD-∠B=110-70=40.
故答案为：40.
【分析】先求出∠ACB=70；然后根据等边对等角得到∠B=∠ACB=70，然后利用三角形外角求出∠A即可.
13．（2024八上·萧山期中）命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是　 　命题 填“真”或“假”
【答案】真
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：等腰三角形两腰上的高线相等的逆命题是如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题。
故答案为：真。
【分析】一个命题包含题设和结论两部分，题设就是命题的已知部分，一般用“如果”领起，结论是由已知条件推出的结果，一般由“那么”领起；一个命题的逆命题，就是将原命题的题设和结论交换位置，再根据已有的知识定理判断出其正确与否即可得出结论。
14．（2024八上·萧山期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
故答案为：6．
【分析】
由角平分线的概念与平行线的性质可得，则有，同理可得，则可转化为即可．
15．（2024八上·萧山期中）如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．若．则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，，
∴，
∵是边上的中线．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AD=2CD=8，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据三角形的内角和定理求出，根据角平分线定义得，根据含角的直角三角形的性质得，根据等角对等边得AD=BD，则，由三角形边中线得，根据DE=CE-CD建立方程可求出CD，最后根据勾股定理可算出AC.
16．（2024八上·萧山期中）如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．
（1）如图，在 中，，点 D 在边上，且，则　 　度；
（2）在 中，和是 的“好好线”，点 D 在 边上，点 E 在 边上，且，，则的度数为　 　．
【答案】；或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，，
设，
则，，
即，
解得，
则，
故答案为：；
（2）设，
①当时，如图：
，
；
②当时，如图：
，
，
所以的度数为或；
故答案为：或．
【分析】（1）设，利用角的运算求出，，再结合题意列出方程，再求解即可；
（2）分类讨论：①当时，①当时，再分别画出图形并列出方程求解即可.
17．（2024八上·萧山期中）在中，利用直尺（没有刻度）和圆规作图(要求保留作图痕迹，不必写出作法）：
（1）作出边上的中线；
（2）作出的角平分线．
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作线段垂直平分线的方法，作AC的垂直平分线得到AC的中点D，然后连接BD即可；
（2）利用尺规作角平分线的方法作的平分线即可．
（1）如图，为所作；
（2）如图，为所作．
18．（2024八上·萧山期中）如图，点D在上，点E在上，相交于点O．
（1）若，求的度数；
（2）试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）解：，，
，
（2）解：猜想，
理由如下：，，
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和求出，根据三角形内角和定理求出的度数；
（2）根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出，，然后整体替换即可得出结论.
（1）解：，，
，
；
（2）解：猜想，
理由如下：，，
．
19．（2024八上·萧山期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：
【答案】证明：∵，∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据等式性质及线段构成可推出BC=EF，从而由可证明，根据全等三角形的对应边相等即可得证．
20．（2024八上·萧山期中）如图，的延长线于点，于点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，
∴
在和中，
，
∴
（2）证明：∵，
∴，
又，，
∴是的平分线，
∵
∴
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）运用“HL”可直接证明Rt△BDE≌Rt△CDF；
（2）由全等三角形的对应边相等得，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得是的平分线，再根据角平分线的定义得出，最后根据直角三角形两锐角互余可求出∠C的度数.
（1）证明：∵，，
∴
在和中，
，
∴
（2）证明：∵，
∴，
又，，
∴是的平分线，
∵
∴
∴
21．（2024八上·萧山期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且．
（1）求修建的公路的长；
（2）若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
【答案】（1）解：∵，，
∴是直角三角形，，
∵，
∴．
故修建的公路的长是；
（2）解：在中，，
一辆货车从C处经过D点到B处的路程．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】
（1）先利用勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，，再利用等面积法即可；
（2）先利用勾股定理求出的长，再计算CD与BD的和即可。
（1）解：∵，，
∴是直角三角形，，
∵，
∴．
故修建的公路的长是；
（2）解：在中，，
一辆货车从C处经过D点到B处的路程．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是．
22．（2024八上·萧山期中）如图，已知是等边三角形，，，分别是射线，，上的点，且，连结，，．
（1）求证：；
（2）试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
（2）解：是等边三角形．
理由：在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质得，，根据邻补角及等角的补角相等得，根据线段的构成及等式性质可推出，从而利用SAS证判断出△DEB≌△EFC，然后根据全等三角形的对应边相等可得出结论；
（2）由SAS判断出△ADF≌△CFE，由全等三角形的对应边相等得，结合（1）的结论得，由此可判定的形状.
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）是等边三角形．
理由：在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
23．（2024八上·萧山期中）【问题提出】
（1）已知：如图1所示，于点D，于点E，点C在线段上，，且．求证：
①．
②．
【问题解决】
（2）如图2所示，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，，若，，求的面积．
【答案】解：（1）①∵于点D，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
②∵，
∴，，
∴，
即；
（2）作于点G，于点H，
∵，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
由（1）同理可得，，
∴，，
∵，，
∴，
∴
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）①根据直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等可得∠A=∠BCE，从而用AAS可判断出△ADC≌△CEB；
②由全等三角形的对应边相等得到，，进而根据线段的构成及等量代换可求解；
（2）作于点G，于点H，根据等腰三角形的三线合一得，利用勾股定理得，由（1）同理得，由全等三角形的对应边相等得，BH=CG=3cm，再利用等腰三角形的三线合一得到，从而得出答案．
24．（2024八上·萧山期中）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则．
（1）如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：．
（2）如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图④，在四边形中，，，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，即，
，，
，
（2）解：，；理由如下：
设交于，如图：
，
，即，
，，
，
，，
，，
，
即；
为等腰直角中边上的高，
，
，
（3）解：作，且，连接，，如图，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）由等式性质及角的构成推出∠BAD=∠CAE，从而利用SAS判断出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等得BE=CE；
（2）设交于，由等式性质及角的构成推出∠ACD=∠BCE，从而利用SAS证明，由全等三角形的对应边相等，对应角相等可得，，结合对顶角相等及三角形的内角和定理即可得，即；由等腰直角三角形的性质得，从而根据线段的和差及等量代换得；
（3）作，且，连接，，由等角对等边得AB=AC，由角的构成及等式性质推出∠DAB=∠CAE，从而利用SAS判断出证明，由全等三角形的对应边相等可得，由等腰直角三角形的性质及勾股定理得，进而再根据勾股定理算出CE的长，即可得出答案．
（1）证明：，
，即，
，，
，
；
（2）解：，；理由如下：
设交于，如图：
，
，即，
，，
，
，，
，，
，
即；
为等腰直角中边上的高，
，
，
；
（3）解：作，且，连接，，如图，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
1 / 1浙江省杭州市萧山区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷
1．（2024八上·萧山期中）已知三角形两边的长分别是和，则第三边的长可以是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·萧山期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·萧山期中）对于命题“若，则” 能说明它属于假命题的反例是（　　）．
A． B． C． D．
4．（2024八上·萧山期中）如果，那么下列结论一定正确的是(　　)
A． B． C． D．
5．（2024八上·萧山期中）下列各语句是真命题的是（　　）
A．三个角对应相等的三角形全等
B．等角对等边
C．等腰三角形的对称轴是顶角平分线
D．三角形任何两边的和大于第三边
6．（2024八上·萧山期中）如图，点P在∠ABC的平分线上，PD⊥BC于点D，若PD=4，则P到BA的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2024八上·萧山期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八上·萧山期中）如图， ABC 中，AB = 6cm ，AC = 8cm ，BC 的垂直平分线l 与 AC 相交于点 D ，则 ABD 的周长为（　　）
A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm
9．（2024八上·萧山期中）如图，在中，于点F，于点E，D为的中点，M为的中点，则的长为（　　）
A．7 B．8 C． D．
10．（2024八上·萧山期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．12 C．10 D．8
11．（2024八上·萧山期中）根据数量关系列不等式：的3倍与的差大于2．　 　．
12．（2024八上·萧山期中）如图，在△ABC中，AB=AC，外角∠ACD=110°，则∠A=　 　．
13．（2024八上·萧山期中）命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是　 　命题 填“真”或“假”
14．（2024八上·萧山期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 ．
15．（2024八上·萧山期中）如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．若．则　 　．
16．（2024八上·萧山期中）如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．
（1）如图，在 中，，点 D 在边上，且，则　 　度；
（2）在 中，和是 的“好好线”，点 D 在 边上，点 E 在 边上，且，，则的度数为　 　．
17．（2024八上·萧山期中）在中，利用直尺（没有刻度）和圆规作图(要求保留作图痕迹，不必写出作法）：
（1）作出边上的中线；
（2）作出的角平分线．
18．（2024八上·萧山期中）如图，点D在上，点E在上，相交于点O．
（1）若，求的度数；
（2）试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．
19．（2024八上·萧山期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：
20．（2024八上·萧山期中）如图，的延长线于点，于点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21．（2024八上·萧山期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且．
（1）求修建的公路的长；
（2）若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
22．（2024八上·萧山期中）如图，已知是等边三角形，，，分别是射线，，上的点，且，连结，，．
（1）求证：；
（2）试判断的形状，并说明理由．
23．（2024八上·萧山期中）【问题提出】
（1）已知：如图1所示，于点D，于点E，点C在线段上，，且．求证：
①．
②．
【问题解决】
（2）如图2所示，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，，若，，求的面积．
24．（2024八上·萧山期中）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则．
（1）如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：．
（2）如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图④，在四边形中，，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边的长度为x，
由题意得：，
即：，
∴C符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，即可逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、当时，且，不能说明它属于假命题，故A不符合题意 ；
B、当时，但，可以说明它属于假命题，故B符合题意 ；
C、当时，不能说明它属于假命题，故C不符合题意 ；
D、当时，且，不能说明它属于假命题，故D不符合题意 .
故答案为：B．
【分析】假命题：条件符合题意，但是结论相反；根据假命题的判断方法逐一判断即可.
4．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、 ∵ ，∴，故该选项正确，符合题意；
B、 ∵ ，∴，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ∵ ，∴，故该选项不正确，不符合题意；
D、 ∵ ，且，∴，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、三个角对应相等的三角形全等，是假命题，本选项不符合题意；
B、等角对等边，是假命题，成立的条件是在同一个三角形中，本选项不符合题意；
C、等腰三角形的对称轴是顶角平分线，是假命题，应该是等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，本选项不符合题意；
D、三角形任何两边的和大于第三边，是真命题，本选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据三角形全等的判定定理“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”可得两个三角形全等，至少要有一条边对应相等，据此可判断A选项；根据同一个三角形中，大边对大角，等边对等角，可判断B选项；三角形的角平分线是一条射线，轴对称图形的对称轴是一条直线，据此可判断C选项；根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可判断D选项.
6．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点P在∠ABC的平分线上，
∴点P到AB、AC的距离相等，
∵PD⊥BC于点D， PD=4，
∴P到BA的距离为4；
故选：B．
【分析】
角平分线的点到角两边距离相等．
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
A、在和中，
，
∴，故选项A不符合题意；
B、由，根据能判定，故选项B不符合题意；
C、由，根据能判定，故选项C不符合题意；
D、由，不能判定，故选项D符合题意；
故选：D．
【分析】
对于一般三角形，若已知两条边对应相等，则可利用SSS或SAS来判定两三角形全等；对于直角三角形，则可利用SAS或HL进行判定．
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵BC的垂直平分线l与AC相交于点D，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB＋AD＋DB＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC＝14（cm），
故选：C．
【分析】
由线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，则的周长可转化为边AC与AB的和．
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴F是中点，
∵，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】连接，根据等腰三角形三线合一得到F是中点，从而得到，同理可得，最后根据勾股定理即可求出的长．
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
故选：A．
【分析】
观察图形知阴影部分面积等于S2的一半，可先由勾股定理可得，则，再结合已知可得出，再求出S2的值即可．
11．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：的3倍与的差大于2为：，
故答案为：．
【分析】"x的3倍”即3与x相乘，可表示为3x，“与y的差”是指3x减去y，即3x-y；“大于2”表示上述差的结果比2大，所以用大于号“>”连接，从而列出不等式Зх - у > 2.
12．【答案】40°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ACD=110，
∴∠ACB=180-110=70；
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70；
∴∠A=∠ACD-∠B=110-70=40.
故答案为：40.
【分析】先求出∠ACB=70；然后根据等边对等角得到∠B=∠ACB=70，然后利用三角形外角求出∠A即可.
13．【答案】真
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：等腰三角形两腰上的高线相等的逆命题是如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题。
故答案为：真。
【分析】一个命题包含题设和结论两部分，题设就是命题的已知部分，一般用“如果”领起，结论是由已知条件推出的结果，一般由“那么”领起；一个命题的逆命题，就是将原命题的题设和结论交换位置，再根据已有的知识定理判断出其正确与否即可得出结论。
14．【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
故答案为：6．
【分析】
由角平分线的概念与平行线的性质可得，则有，同理可得，则可转化为即可．
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，，
∴，
∵是边上的中线．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AD=2CD=8，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据三角形的内角和定理求出，根据角平分线定义得，根据含角的直角三角形的性质得，根据等角对等边得AD=BD，则，由三角形边中线得，根据DE=CE-CD建立方程可求出CD，最后根据勾股定理可算出AC.
16．【答案】；或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，，
设，
则，，
即，
解得，
则，
故答案为：；
（2）设，
①当时，如图：
，
；
②当时，如图：
，
，
所以的度数为或；
故答案为：或．
【分析】（1）设，利用角的运算求出，，再结合题意列出方程，再求解即可；
（2）分类讨论：①当时，①当时，再分别画出图形并列出方程求解即可.
17．【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作线段垂直平分线的方法，作AC的垂直平分线得到AC的中点D，然后连接BD即可；
（2）利用尺规作角平分线的方法作的平分线即可．
（1）如图，为所作；
（2）如图，为所作．
18．【答案】（1）解：，，
，
（2）解：猜想，
理由如下：，，
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和求出，根据三角形内角和定理求出的度数；
（2）根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出，，然后整体替换即可得出结论.
（1）解：，，
，
；
（2）解：猜想，
理由如下：，，
．
19．【答案】证明：∵，∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据等式性质及线段构成可推出BC=EF，从而由可证明，根据全等三角形的对应边相等即可得证．
20．【答案】（1）证明：∵，，
∴
在和中，
，
∴
（2）证明：∵，
∴，
又，，
∴是的平分线，
∵
∴
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）运用“HL”可直接证明Rt△BDE≌Rt△CDF；
（2）由全等三角形的对应边相等得，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得是的平分线，再根据角平分线的定义得出，最后根据直角三角形两锐角互余可求出∠C的度数.
（1）证明：∵，，
∴
在和中，
，
∴
（2）证明：∵，
∴，
又，，
∴是的平分线，
∵
∴
∴
21．【答案】（1）解：∵，，
∴是直角三角形，，
∵，
∴．
故修建的公路的长是；
（2）解：在中，，
一辆货车从C处经过D点到B处的路程．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】
（1）先利用勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，，再利用等面积法即可；
（2）先利用勾股定理求出的长，再计算CD与BD的和即可。
（1）解：∵，，
∴是直角三角形，，
∵，
∴．
故修建的公路的长是；
（2）解：在中，，
一辆货车从C处经过D点到B处的路程．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是．
22．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
（2）解：是等边三角形．
理由：在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质得，，根据邻补角及等角的补角相等得，根据线段的构成及等式性质可推出，从而利用SAS证判断出△DEB≌△EFC，然后根据全等三角形的对应边相等可得出结论；
（2）由SAS判断出△ADF≌△CFE，由全等三角形的对应边相等得，结合（1）的结论得，由此可判定的形状.
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）是等边三角形．
理由：在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
23．【答案】解：（1）①∵于点D，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
②∵，
∴，，
∴，
即；
（2）作于点G，于点H，
∵，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
由（1）同理可得，，
∴，，
∵，，
∴，
∴
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）①根据直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等可得∠A=∠BCE，从而用AAS可判断出△ADC≌△CEB；
②由全等三角形的对应边相等得到，，进而根据线段的构成及等量代换可求解；
（2）作于点G，于点H，根据等腰三角形的三线合一得，利用勾股定理得，由（1）同理得，由全等三角形的对应边相等得，BH=CG=3cm，再利用等腰三角形的三线合一得到，从而得出答案．
24．【答案】（1）证明：，
，即，
，，
，
（2）解：，；理由如下：
设交于，如图：
，
，即，
，，
，
，，
，，
，
即；
为等腰直角中边上的高，
，
，
（3）解：作，且，连接，，如图，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）由等式性质及角的构成推出∠BAD=∠CAE，从而利用SAS判断出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等得BE=CE；
（2）设交于，由等式性质及角的构成推出∠ACD=∠BCE，从而利用SAS证明，由全等三角形的对应边相等，对应角相等可得，，结合对顶角相等及三角形的内角和定理即可得，即；由等腰直角三角形的性质得，从而根据线段的和差及等量代换得；
（3）作，且，连接，，由等角对等边得AB=AC，由角的构成及等式性质推出∠DAB=∠CAE，从而利用SAS判断出证明，由全等三角形的对应边相等可得，由等腰直角三角形的性质及勾股定理得，进而再根据勾股定理算出CE的长，即可得出答案．
（1）证明：，
，即，
，，
，
；
（2）解：，；理由如下：
设交于，如图：
，
，即，
，，
，
，，
，，
，
即；
为等腰直角中边上的高，
，
，
；
（3）解：作，且，连接，，如图，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
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