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四川省眉山市洪雅县2024-2025学年九年级上学期期中数学试题
1．（2024九上·洪雅期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·洪雅期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·洪雅期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值（　　）
A．2 B．1 C．1或2 D．6
4．（2024九上·洪雅期中）已知 ，下列变形错误的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·洪雅期中）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（　　）
A．4 B．7 C．3 D．12
6．（2024九上·洪雅期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．
7．（2024九上·洪雅期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．（2024九上·洪雅期中）化简二次根式的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·洪雅期中）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛 若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024九上·洪雅期中）如图，中，D为上一点，E为上一点，，交于G，且，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024九上·洪雅期中）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和DC的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（　　）
A．2 B． C． D．
12．（2024九上·洪雅期中）如图，矩形的边在x轴上，在轴上，点，把矩形绕点逆时针旋转，使点恰好落在边上的处，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
13．（2024九上·洪雅期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是　 　．
14．（2024九上·洪雅期中）如图，点、在的边、上，要使，请添加一个由一个等式表示的合适条件：　 　．
15．（2024九上·洪雅期中）已知实数，且，，则　 　．
16．（2024九上·洪雅期中）已知，则的最小值为　 　，的最大值为　 　．
17．（2024九上·洪雅期中）如图，已知等边，，为边上一动点，为边上一动点，且，连结，则的最小值为　 　．
18．（2024九上·洪雅期中）如图，E，F是平行四边形对角线上两点，，连接并延长，分别交于点G，H，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有　 　（只填序号）．
19．（2024九上·洪雅期中）计算：．
20．（2024九上·洪雅期中）解方程：
（1）；
（2）．
21．（2024九上·洪雅期中）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为．与是以点P为位似中心的位似图形．
（1）请画出点P的位置，并写出点P的坐标___________；
（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使相似比为，若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________．
22．（2024九上·洪雅期中）如图，四边形平行四边形，点在边上，点在对角线上，，．
（1）求证：；
（2）若，，，则的长________．
23．（2024九上·洪雅期中）已知关于的方程．
（1）当方程有两个实数根时，求的取值范围；
（2）当方程的两个根满足时，求的值．
24．（2024九上·洪雅期中）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门.设花圃垂直于墙的边AB长为x米，花圃面积为S平方米．
（1）用含x的代数式表示S．
（2）如果花圃的面积刚好为，此时边AB的长是多少米？
（3）按题目的设计要求，能围成比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
25．（2024九上·洪雅期中）阅读理解．
定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是．
（1）写出一元二次方程的“密友方程”是________．
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
（3）已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程．
26．（2024九上·洪雅期中）如图，已知梯形中，，，，，为一动点从点出发，沿方向，以的速度向由点向点运动；为另一动点，从出发，沿方向，以的速度向由点向点运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为秒．
（1）如图1，当运动秒时，恰好有，求的值；
（2）如图2，过点作于点．
①在运动过程中，是否存在秒时，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
②在运动过程中，是否存在秒时，使得以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出关于字母x的不等式，求解即可解答．
2．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.原式=+，计算错误；
B.原式=2+，计算错误；
C.原式=2-，计算错误；
D.原式=2-=，计算正确。
故答案为：D.
【分析】根据二次根式加减法的运算，分别计算判断得到答案即可。
3．【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，不是最简二次根式，不符合题意，
故．
故答案为：B．
【分析】被开方数完全相同的几个最简二次根式就是同类二次根式，据此列出关于字母x的一元二次方程，解方程后并检验可得答案.
4．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】由 得，3a=2b，
A. 由 得 ，所以变形正确，故不符合题意；
B. 由 得3a=2b，所以变形错误，故符合题意；
C. 由 可得 ，所以变形正确，故不符合题意；
D.3a=2b变形正确，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据已知比例式可得出3a=2b，再根据比例的基本性质对各选项逐一判断即可。
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵DE：EA=3：4，
∴DE：DA=3：7，
∵EF∥AB，
△DEF∽△DAB，
∴，
∵EF=3，
∴，
解得：AB=7，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=7．
故答案为：B．
【分析】由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得 △DEF∽△DAB， 由相似三角形对应边成比例建立方程求出AB的长，最后根据平行四边形的对边相等得出CD=AB.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴的取值范围为且．
故选：B．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得两边长和为6，
∴三角形第三边长＜6，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合三角形的三边关系即可求解。
8．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵＞0，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数列出关于字母x的不等式，求解得出x＜0，然后根据二次根式性质“”化简即可.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】每支球队都需要与其他球队赛场，但两个队之间只有1场比赛，
∴可列方程：，
故答案为：D．
【分析】根据题意直接列出方程即可。
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：作交的延长线于点，
则：，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】过点A作交的延长线于点，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得与，由相似三角形对应边成比例求出的值及，进而根据题中线段之间的关系即可求出答案．
11．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝ycm，
由折叠的性质得：AE＝AB＝x，
∵矩形AEFD与原矩形ADCB相似，
∴＝，即＝，
∴x2＝2y2，
∴x＝y，
∴＝＝，
故答案为：B．
【分析】由矩形对边相等得AD＝BC＝ycm，由折叠的性质得：AE＝AB＝x，进而由相似多边形对应边成比例列出方程，求解即可.
12．【答案】A
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作⊥x轴于M，过点作⊥x轴于N，
∴∠A1MO=∠C1NO=90°，
∴∠A1OM+∠OA1M=90°，
由旋转可得，∠A1OC1=∠AOC=90°，
∴∠A1OM+∠C1ON=90°，
∴∠C1ON=∠OA1M，
∴△∽△ON，
∵OC=6，OA=10，
∴ON：：O=：OM：O=3：4：5，
∴ON=， N=，
∴的坐标为，
故答案为：A.
【分析】 过A1作A1M⊥x轴于M，过C1作C1N⊥x轴于N， 由垂直得∠A1MO=∠C1NO=90°，由旋转得∠A1OC1=∠AOC=90°，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等得∠C1ON=∠OA1M，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似证明△∽△ON，由相似三角形对应边成比例求出ON=， N=，即可得到点C1的坐标.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得：，，
解得，，
故，
故答案为：-1．
【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”就是一元二次方程，据此列出关于字母a的混合组，求解可得a的值.
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：，
∴如果添加，即可证明，
故答案为：.
【分析】开放性命题，答案不唯一；由于△AED与△ABC中，∠DAE=∠CAB，如果利用两组角对应相等的两个三角形相似可以添加 ∠2= ∠B或 ∠1= ∠C，能判断出△ADE∽△ACB；如果利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可添加，能判断出△ADE∽△ACB，据此求解即可.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：已知实数，且，，
∴ s与t是关于x的方程，
∴，
∵，
∴原式，
故答案为： ．
【分析】由题意可得s与t是关于x的方程，的两个实数根；利用一元二次方程根与系数的关系，设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根则，，可得，然后举哀那个待求式子通分计算后整体代入计算即可求解．
16．【答案】；3
【知识点】解二元一次方程；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值，
∴的最小值为，
，
∵，
∴的最大值为，
故答案为：，．
【分析】解已知二元一次方程，用含y的式子表示出x，然后代入将x2+y2与xy都表示为关于x的二次函数，根据二次函数的性质，分别求得最值即可.
17．【答案】
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，过作轴，设，则，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，
∴当时，有最小值，
故答案为：．
【分析】如图，以点B为坐标原点，BC所在直线为轴建立平面直角坐标系xBy，过D作轴，设，则，则，由等边三角形的性质得，，由含30度角直角三角形的性质可表示出BK，进而根据勾股定理表示出DK，则可得，根据两点间距离公式表示出DE2，再利用二次函数的性质即可得解．
18．【答案】①②④
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，AB∥CD，AD∥BC，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴△AEG∽△CED，△CFH∽△AFD，
又∵
∴，，
∴
∴，故①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，∠HGB=∠CAB，故②正确；
∴GH∥AC，
，
∵，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴△AEG∽△CED，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确，
综上，正确的有①②④.
故答案为：①②④．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC，CD=AB，AB∥CD，AD∥BC，从而利用“SSS”判断出△ADC≌△CBA，由全等三角形的面积相等得S△ADC=S△CBA；由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AEG∽△CED，△CFH∽△AFD，由相似三角形对应边成比例可求出G∶AB=CH∶BC=1∶3，进而得到AG∶GB=1∶2，故判断①；由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△BHG∽△BCA，由相似三角形对应边成比例得，故判断②；由相似三角形面积的比等于相似比的平方得，由同高三角形的面积之比等于对应底之比得，从而判断③；由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得得，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方判断④．
19．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据立方根定义、分母有理化方法、负指数幂法则“”及绝对值代数意义分别化简，再合并同类项项即可.
20．【答案】（1）解：
或
，
（2）解：
，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）把x-7看成一个整体，将方程的右边整体移到方程的左边，方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）将方程左边利用平方差公式展开发现此题缺一次项，故将常数项移到方程的右边合并同类项，利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：
或
，
（2）解：
，．
21．【答案】（1）解：如图所示：连接，，并延长相交与点P，
点P即为所求，
（0，-2）
（2）解：以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使相似比为，点A，B，C的坐标分别为，
，
如图所示：
即为所求，
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：（1）由图可得点P(0，-2)；
故答案为：P(0，-2)；
（2）根据关于原点对称的点横纵坐标都分别互为相反数可得出点M的对应点的坐标为(-a，-b).
故答案为：(-a，-b).
【分析】（1）根据过位似图形任意一对对应点的直线一定经过位似中心可得连接A1A、B1B、C1C并延长相交与点P， 该点P就是所求的点，然后根据点P所在的位置写出其坐标即可；
（2）根据关于原点对称的点横纵坐标都分别互为相反数可得出点A2、B2、C2的坐标，然后在坐标平面内描出各点，再顺次连接可得所求的△A2B2C2，进而根据关于原点对称的点的坐标特点求出点M的对应点得坐标.
（1）解：如图所示：连接，，并延长相交与点P，
点P即为所求，
点；
（2）解：以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使相似比为，点A，B，C的坐标分别为，
，
如图所示：
即为所求，点M对应点的坐标为：．
22．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
；
，
；
（2）
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）解：，
，
，，，
，
．
故答案为：．
【分析】（1）由平行四边形的对角相等∠B=∠D，结合 ，由等量代换推出，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得出；
（2）由相似三角形对应边成比例建立方程即可求AF的长．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
；
，
；
（2）解：，
，
，，，
，
．
故答案为：．
23．【答案】（1）解：∵关于的方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围为；
（2）解：∵关于的方程的两个根分别为：，，
∴，，
∵，
∴，
即，
整理得，
∴，
解得：，，
∵，
∴m的值为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母m的不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，由一元二次方程根与系数得x1+x2=，，据此得，；利用完全平方公式将所给等式变形为，从而整体代入得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合（1）的结论即可确定m的值．
24．【答案】（1）解：；
（2）解：由题意可得：
解得：；，
∴当时，，不符合题意舍去，
当时，，满足题意，
答：花圃的长为9米，宽为5米；
（3）解：能，理由如下：
由题意可得：
∴当时，S取得最大值，
当x=4时，BC=24-3x=12<14，符合题意，
∴S的最大值为48，
答：能围成比45平方米更大的花圃，当边AB长为4米时，花圃面积最大，为48平方米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1） 设花圃垂直于墙的边AB长为x米，则BC=22-3x+2=(24-3x)米，进而由矩形面积S=长×宽，列出函数解析式；
（2）将s=45代入所求S关于x的式子，可得关于字母x的一元二次方程，解方程判断即可；
（3）将（1）中所求的S关于x的函数解析式化为顶点式，根据函数的性质得到最大值，验证BC边符合题意即可．
（1）解：；
（2）由题意可得：
解得：；，
∴当时，，不符合题意舍去，
当时，，满足题意，
答：花圃的长为9米，宽为5米；
（3）由题意可得：
∴当时，S取得最大值，
当x=4时，BC=24-3x=12<14，符合题意，
∴S的最大值为48，
答：能围成比45平方米更大的花圃，当边AB长为4米时，花圃面积最大，为48平方米．
25．【答案】（1）
（2），；，
证明：的两根为、，
设，则，整理的
，即方程两根为、
原方程的两根与“密友方程”的两根分别互为倒数．
即，；
（3）解：已知关于的方程的两根是，，
的两根为，
方程即为，两根设为、
，
，．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：一元二次方程，
，，，
其“密友方程”是；
故答案为：；
（2）解：该一元一次方程的“密友方程”是；
∵
∴
解得：，；
关系为：，
或者叙述为：原方程的两根分别与“密友方程”的两根互为倒数．
故答案为：，；，；
【分析】（1）先找出方程2x2-7x+3=0的二次项系数、一次项系数及常数项，然后根据“密友方程”的定义写出对应的“密友方程”即可；
（2）先根据“密友方程”定义写出方程x2-6x+8=0的“密友方程”，再利用因式分解法求出该方程的实数根，观察一对“密友方程”的根得出规律；设，根据方程根的定义将代入ax2+bx+c=0，整理可得，据此可得结论；
（3）根据题意可得的两根，进而得到，进而求解.
（1）解：一元二次方程，
，，，
其“密友方程”是；
（2）解：该一元一次方程的“密友方程”是；
解得：，；
关系为：，
或者叙述为：原方程的两根分别与“密友方程”的两根互为倒数．
证明：的两根为、，
设，则，整理的
，即方程两根为、
原方程的两根与“密友方程”的两根分别互为倒数．
即，；
故答案为：，；，
（3）解：已知关于的方程的两根是，，
的两根为，
方程即为，两根设为、
，
，．
26．【答案】（1）解：∵点沿方向以的速度向由点向点运动；点沿方向以的速度向由点向点运动，
∴点由点到点的运动时间为：（秒），
∵运动时间为秒，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
∴的值为秒；
（2）解：①存在，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∵运动时间为秒，运动速度为1cm/秒，
∴cm，
设，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
存在以、、为顶点的三角形与相似，
当时，
∴，即，
解得：，
∴（秒）；
当时，
∴，即，
解得：，
∴（秒）；
综上所述，的值为秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似；
②存在，t的值为秒或秒或秒.
【知识点】矩形的判定与性质；四边形-动点问题；无理方程；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）②过点作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，
，
存在以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形；
当时，得：，
∴，
解得：，，
∵，
∴（不合题意，舍去），；
当时，得：，
∴，
解得：，
∴；
当时，得：，
，
解得：，，
（不合题意舍去），；
综上所述，当的值为秒或秒或秒时，以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形．
【分析】（1）根据题意得：，，根据相似三角形的对应边成比例建立方程，求解并检验即可；
（2）①过点D作DF⊥BC于点F，由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形ABFD是矩形，由矩形的对边相等得BF=AD=1，及DF=AB=4，在Rt△CDF中，由勾股定理算出CD=5，设，得，，由有两组角对应相等的两个是哪些相似得，由相似三角形对应边成比例建立方程求出，，分两种情况求解：当时与当时，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程求解得出x的值，进而可得t的值；
②过点作于点，由有三个内角为90°的四边形是矩形得四边形BEQG是矩形，由矩形对边相等得，，则，在Rt△GPQ与Rt△ADP中，分别用勾股定理表示出PQ、PD，然后根据DQ=DC-QC表示出DQ，分三种情况：当时，当时，当PD=PQ时，分别建立出关于字母x的方程，求解并检验可得答案.
（1）解：∵点沿方向以的速度向由点向点运动；点沿方向以的速度向由点向点运动，
∴点由点到点的运动时间为：（秒），
点由点到点的运动时间为：（秒），
∵运动时间为秒，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
∴的值为秒；
（2）①过点作于点，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∵运动时间为秒，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
存在以、、为顶点的三角形与相似，
当时，
∴，即，
解得：，
∴（秒）；
当时，
∴，即，
解得：，
∴（秒）；
综上所述，的值为秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似；
②过点作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，
，
存在以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形；
当时，得：，
∴，
解得：，，
∵，
∴（不合题意，舍去），；
当时，得：，
∴，
解得：，
∴；
当时，得：，
，
解得：，，
（不合题意舍去），；
综上所述，当的值为秒或秒或秒时，以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形．
1 / 1四川省眉山市洪雅县2024-2025学年九年级上学期期中数学试题
1．（2024九上·洪雅期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出关于字母x的不等式，求解即可解答．
2．（2024九上·洪雅期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.原式=+，计算错误；
B.原式=2+，计算错误；
C.原式=2-，计算错误；
D.原式=2-=，计算正确。
故答案为：D.
【分析】根据二次根式加减法的运算，分别计算判断得到答案即可。
3．（2024九上·洪雅期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值（　　）
A．2 B．1 C．1或2 D．6
【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，不是最简二次根式，不符合题意，
故．
故答案为：B．
【分析】被开方数完全相同的几个最简二次根式就是同类二次根式，据此列出关于字母x的一元二次方程，解方程后并检验可得答案.
4．（2024九上·洪雅期中）已知 ，下列变形错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】由 得，3a=2b，
A. 由 得 ，所以变形正确，故不符合题意；
B. 由 得3a=2b，所以变形错误，故符合题意；
C. 由 可得 ，所以变形正确，故不符合题意；
D.3a=2b变形正确，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据已知比例式可得出3a=2b，再根据比例的基本性质对各选项逐一判断即可。
5．（2024九上·洪雅期中）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（　　）
A．4 B．7 C．3 D．12
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵DE：EA=3：4，
∴DE：DA=3：7，
∵EF∥AB，
△DEF∽△DAB，
∴，
∵EF=3，
∴，
解得：AB=7，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=7．
故答案为：B．
【分析】由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得 △DEF∽△DAB， 由相似三角形对应边成比例建立方程求出AB的长，最后根据平行四边形的对边相等得出CD=AB.
6．（2024九上·洪雅期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴的取值范围为且．
故选：B．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案.
7．（2024九上·洪雅期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得两边长和为6，
∴三角形第三边长＜6，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合三角形的三边关系即可求解。
8．（2024九上·洪雅期中）化简二次根式的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵＞0，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数列出关于字母x的不等式，求解得出x＜0，然后根据二次根式性质“”化简即可.
9．（2024九上·洪雅期中）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排共计28场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛 若设应邀请x个队参赛，可列出的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】每支球队都需要与其他球队赛场，但两个队之间只有1场比赛，
∴可列方程：，
故答案为：D．
【分析】根据题意直接列出方程即可。
10．（2024九上·洪雅期中）如图，中，D为上一点，E为上一点，，交于G，且，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：作交的延长线于点，
则：，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】过点A作交的延长线于点，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得与，由相似三角形对应边成比例求出的值及，进而根据题中线段之间的关系即可求出答案．
11．（2024九上·洪雅期中）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和DC的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝ycm，
由折叠的性质得：AE＝AB＝x，
∵矩形AEFD与原矩形ADCB相似，
∴＝，即＝，
∴x2＝2y2，
∴x＝y，
∴＝＝，
故答案为：B．
【分析】由矩形对边相等得AD＝BC＝ycm，由折叠的性质得：AE＝AB＝x，进而由相似多边形对应边成比例列出方程，求解即可.
12．（2024九上·洪雅期中）如图，矩形的边在x轴上，在轴上，点，把矩形绕点逆时针旋转，使点恰好落在边上的处，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作⊥x轴于M，过点作⊥x轴于N，
∴∠A1MO=∠C1NO=90°，
∴∠A1OM+∠OA1M=90°，
由旋转可得，∠A1OC1=∠AOC=90°，
∴∠A1OM+∠C1ON=90°，
∴∠C1ON=∠OA1M，
∴△∽△ON，
∵OC=6，OA=10，
∴ON：：O=：OM：O=3：4：5，
∴ON=， N=，
∴的坐标为，
故答案为：A.
【分析】 过A1作A1M⊥x轴于M，过C1作C1N⊥x轴于N， 由垂直得∠A1MO=∠C1NO=90°，由旋转得∠A1OC1=∠AOC=90°，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等得∠C1ON=∠OA1M，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似证明△∽△ON，由相似三角形对应边成比例求出ON=， N=，即可得到点C1的坐标.
13．（2024九上·洪雅期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得：，，
解得，，
故，
故答案为：-1．
【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”就是一元二次方程，据此列出关于字母a的混合组，求解可得a的值.
14．（2024九上·洪雅期中）如图，点、在的边、上，要使，请添加一个由一个等式表示的合适条件：　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：，
∴如果添加，即可证明，
故答案为：.
【分析】开放性命题，答案不唯一；由于△AED与△ABC中，∠DAE=∠CAB，如果利用两组角对应相等的两个三角形相似可以添加 ∠2= ∠B或 ∠1= ∠C，能判断出△ADE∽△ACB；如果利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可添加，能判断出△ADE∽△ACB，据此求解即可.
15．（2024九上·洪雅期中）已知实数，且，，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：已知实数，且，，
∴ s与t是关于x的方程，
∴，
∵，
∴原式，
故答案为： ．
【分析】由题意可得s与t是关于x的方程，的两个实数根；利用一元二次方程根与系数的关系，设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根则，，可得，然后举哀那个待求式子通分计算后整体代入计算即可求解．
16．（2024九上·洪雅期中）已知，则的最小值为　 　，的最大值为　 　．
【答案】；3
【知识点】解二元一次方程；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值，
∴的最小值为，
，
∵，
∴的最大值为，
故答案为：，．
【分析】解已知二元一次方程，用含y的式子表示出x，然后代入将x2+y2与xy都表示为关于x的二次函数，根据二次函数的性质，分别求得最值即可.
17．（2024九上·洪雅期中）如图，已知等边，，为边上一动点，为边上一动点，且，连结，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，过作轴，设，则，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，
∴当时，有最小值，
故答案为：．
【分析】如图，以点B为坐标原点，BC所在直线为轴建立平面直角坐标系xBy，过D作轴，设，则，则，由等边三角形的性质得，，由含30度角直角三角形的性质可表示出BK，进而根据勾股定理表示出DK，则可得，根据两点间距离公式表示出DE2，再利用二次函数的性质即可得解．
18．（2024九上·洪雅期中）如图，E，F是平行四边形对角线上两点，，连接并延长，分别交于点G，H，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有　 　（只填序号）．
【答案】①②④
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，AB∥CD，AD∥BC，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴△AEG∽△CED，△CFH∽△AFD，
又∵
∴，，
∴
∴，故①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，∠HGB=∠CAB，故②正确；
∴GH∥AC，
，
∵，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴△AEG∽△CED，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确，
综上，正确的有①②④.
故答案为：①②④．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC，CD=AB，AB∥CD，AD∥BC，从而利用“SSS”判断出△ADC≌△CBA，由全等三角形的面积相等得S△ADC=S△CBA；由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AEG∽△CED，△CFH∽△AFD，由相似三角形对应边成比例可求出G∶AB=CH∶BC=1∶3，进而得到AG∶GB=1∶2，故判断①；由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△BHG∽△BCA，由相似三角形对应边成比例得，故判断②；由相似三角形面积的比等于相似比的平方得，由同高三角形的面积之比等于对应底之比得，从而判断③；由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得得，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方判断④．
19．（2024九上·洪雅期中）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据立方根定义、分母有理化方法、负指数幂法则“”及绝对值代数意义分别化简，再合并同类项项即可.
20．（2024九上·洪雅期中）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
或
，
（2）解：
，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）把x-7看成一个整体，将方程的右边整体移到方程的左边，方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）将方程左边利用平方差公式展开发现此题缺一次项，故将常数项移到方程的右边合并同类项，利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：
或
，
（2）解：
，．
21．（2024九上·洪雅期中）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为．与是以点P为位似中心的位似图形．
（1）请画出点P的位置，并写出点P的坐标___________；
（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使相似比为，若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________．
【答案】（1）解：如图所示：连接，，并延长相交与点P，
点P即为所求，
（0，-2）
（2）解：以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使相似比为，点A，B，C的坐标分别为，
，
如图所示：
即为所求，
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：（1）由图可得点P(0，-2)；
故答案为：P(0，-2)；
（2）根据关于原点对称的点横纵坐标都分别互为相反数可得出点M的对应点的坐标为(-a，-b).
故答案为：(-a，-b).
【分析】（1）根据过位似图形任意一对对应点的直线一定经过位似中心可得连接A1A、B1B、C1C并延长相交与点P， 该点P就是所求的点，然后根据点P所在的位置写出其坐标即可；
（2）根据关于原点对称的点横纵坐标都分别互为相反数可得出点A2、B2、C2的坐标，然后在坐标平面内描出各点，再顺次连接可得所求的△A2B2C2，进而根据关于原点对称的点的坐标特点求出点M的对应点得坐标.
（1）解：如图所示：连接，，并延长相交与点P，
点P即为所求，
点；
（2）解：以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使相似比为，点A，B，C的坐标分别为，
，
如图所示：
即为所求，点M对应点的坐标为：．
22．（2024九上·洪雅期中）如图，四边形平行四边形，点在边上，点在对角线上，，．
（1）求证：；
（2）若，，，则的长________．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
；
，
；
（2）
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）解：，
，
，，，
，
．
故答案为：．
【分析】（1）由平行四边形的对角相等∠B=∠D，结合 ，由等量代换推出，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似得出；
（2）由相似三角形对应边成比例建立方程即可求AF的长．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
；
，
；
（2）解：，
，
，，，
，
．
故答案为：．
23．（2024九上·洪雅期中）已知关于的方程．
（1）当方程有两个实数根时，求的取值范围；
（2）当方程的两个根满足时，求的值．
【答案】（1）解：∵关于的方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围为；
（2）解：∵关于的方程的两个根分别为：，，
∴，，
∵，
∴，
即，
整理得，
∴，
解得：，，
∵，
∴m的值为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母m的不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，由一元二次方程根与系数得x1+x2=，，据此得，；利用完全平方公式将所给等式变形为，从而整体代入得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合（1）的结论即可确定m的值．
24．（2024九上·洪雅期中）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门.设花圃垂直于墙的边AB长为x米，花圃面积为S平方米．
（1）用含x的代数式表示S．
（2）如果花圃的面积刚好为，此时边AB的长是多少米？
（3）按题目的设计要求，能围成比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：；
（2）解：由题意可得：
解得：；，
∴当时，，不符合题意舍去，
当时，，满足题意，
答：花圃的长为9米，宽为5米；
（3）解：能，理由如下：
由题意可得：
∴当时，S取得最大值，
当x=4时，BC=24-3x=12<14，符合题意，
∴S的最大值为48，
答：能围成比45平方米更大的花圃，当边AB长为4米时，花圃面积最大，为48平方米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1） 设花圃垂直于墙的边AB长为x米，则BC=22-3x+2=(24-3x)米，进而由矩形面积S=长×宽，列出函数解析式；
（2）将s=45代入所求S关于x的式子，可得关于字母x的一元二次方程，解方程判断即可；
（3）将（1）中所求的S关于x的函数解析式化为顶点式，根据函数的性质得到最大值，验证BC边符合题意即可．
（1）解：；
（2）由题意可得：
解得：；，
∴当时，，不符合题意舍去，
当时，，满足题意，
答：花圃的长为9米，宽为5米；
（3）由题意可得：
∴当时，S取得最大值，
当x=4时，BC=24-3x=12<14，符合题意，
∴S的最大值为48，
答：能围成比45平方米更大的花圃，当边AB长为4米时，花圃面积最大，为48平方米．
25．（2024九上·洪雅期中）阅读理解．
定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是．
（1）写出一元二次方程的“密友方程”是________．
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
（3）已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程．
【答案】（1）
（2），；，
证明：的两根为、，
设，则，整理的
，即方程两根为、
原方程的两根与“密友方程”的两根分别互为倒数．
即，；
（3）解：已知关于的方程的两根是，，
的两根为，
方程即为，两根设为、
，
，．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：一元二次方程，
，，，
其“密友方程”是；
故答案为：；
（2）解：该一元一次方程的“密友方程”是；
∵
∴
解得：，；
关系为：，
或者叙述为：原方程的两根分别与“密友方程”的两根互为倒数．
故答案为：，；，；
【分析】（1）先找出方程2x2-7x+3=0的二次项系数、一次项系数及常数项，然后根据“密友方程”的定义写出对应的“密友方程”即可；
（2）先根据“密友方程”定义写出方程x2-6x+8=0的“密友方程”，再利用因式分解法求出该方程的实数根，观察一对“密友方程”的根得出规律；设，根据方程根的定义将代入ax2+bx+c=0，整理可得，据此可得结论；
（3）根据题意可得的两根，进而得到，进而求解.
（1）解：一元二次方程，
，，，
其“密友方程”是；
（2）解：该一元一次方程的“密友方程”是；
解得：，；
关系为：，
或者叙述为：原方程的两根分别与“密友方程”的两根互为倒数．
证明：的两根为、，
设，则，整理的
，即方程两根为、
原方程的两根与“密友方程”的两根分别互为倒数．
即，；
故答案为：，；，
（3）解：已知关于的方程的两根是，，
的两根为，
方程即为，两根设为、
，
，．
26．（2024九上·洪雅期中）如图，已知梯形中，，，，，为一动点从点出发，沿方向，以的速度向由点向点运动；为另一动点，从出发，沿方向，以的速度向由点向点运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为秒．
（1）如图1，当运动秒时，恰好有，求的值；
（2）如图2，过点作于点．
①在运动过程中，是否存在秒时，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
②在运动过程中，是否存在秒时，使得以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点沿方向以的速度向由点向点运动；点沿方向以的速度向由点向点运动，
∴点由点到点的运动时间为：（秒），
∵运动时间为秒，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
∴的值为秒；
（2）解：①存在，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∵运动时间为秒，运动速度为1cm/秒，
∴cm，
设，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
存在以、、为顶点的三角形与相似，
当时，
∴，即，
解得：，
∴（秒）；
当时，
∴，即，
解得：，
∴（秒）；
综上所述，的值为秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似；
②存在，t的值为秒或秒或秒.
【知识点】矩形的判定与性质；四边形-动点问题；无理方程；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（2）②过点作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，
，
存在以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形；
当时，得：，
∴，
解得：，，
∵，
∴（不合题意，舍去），；
当时，得：，
∴，
解得：，
∴；
当时，得：，
，
解得：，，
（不合题意舍去），；
综上所述，当的值为秒或秒或秒时，以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形．
【分析】（1）根据题意得：，，根据相似三角形的对应边成比例建立方程，求解并检验即可；
（2）①过点D作DF⊥BC于点F，由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形ABFD是矩形，由矩形的对边相等得BF=AD=1，及DF=AB=4，在Rt△CDF中，由勾股定理算出CD=5，设，得，，由有两组角对应相等的两个是哪些相似得，由相似三角形对应边成比例建立方程求出，，分两种情况求解：当时与当时，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程求解得出x的值，进而可得t的值；
②过点作于点，由有三个内角为90°的四边形是矩形得四边形BEQG是矩形，由矩形对边相等得，，则，在Rt△GPQ与Rt△ADP中，分别用勾股定理表示出PQ、PD，然后根据DQ=DC-QC表示出DQ，分三种情况：当时，当时，当PD=PQ时，分别建立出关于字母x的方程，求解并检验可得答案.
（1）解：∵点沿方向以的速度向由点向点运动；点沿方向以的速度向由点向点运动，
∴点由点到点的运动时间为：（秒），
点由点到点的运动时间为：（秒），
∵运动时间为秒，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
∴的值为秒；
（2）①过点作于点，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∵运动时间为秒，
∴，
设，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
存在以、、为顶点的三角形与相似，
当时，
∴，即，
解得：，
∴（秒）；
当时，
∴，即，
解得：，
∴（秒）；
综上所述，的值为秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似；
②过点作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，
，
存在以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形；
当时，得：，
∴，
解得：，，
∵，
∴（不合题意，舍去），；
当时，得：，
∴，
解得：，
∴；
当时，得：，
，
解得：，，
（不合题意舍去），；
综上所述，当的值为秒或秒或秒时，以、、为顶点的三角形恰好是等腰三角形．
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