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浙江省杭州观成教育集团2025-2026学年九年级上学期开学数学试题
1．（2025九上·杭州开学考）函数y＝x2－4的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A．（2，0） B．（－2，0） C．（0，4） D．（0，－4）
2．（2025九上·杭州开学考） 抛物线 的对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·杭州开学考）下列线段能成比例线段的是（　　）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
4．（2025九上·杭州开学考）已知线段，，线段是和的比例中项，则等于（　　）
A．2 B．4 C．±4 D．8
5．（2025九上·杭州开学考）在一个不透明的盒子中装有8个白球，4个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·杭州开学考）已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（　　）
A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC BA
C． D．
7．（2025九上·杭州开学考）在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·杭州开学考）二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象如何平移可得到y=﹣2x2的图象（　　）
A．向左平移1个单位，向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，向下平移3个单位
9．（2025九上·杭州开学考）如图是二次函数过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①，②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（　　）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
10．（2025九上·杭州开学考） ， 点 是函数图象上任意一点， （　　）
A．若 ， 则
B．若 ， 则
C．若 ， 则
D．若 ， 则
11．（2025九上·杭州开学考）某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为　 　．
12．（2025九上·杭州开学考）若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解　 　．
13．（2025九上·杭州开学考）在“Wish you success”中，任选一个字母，这个字母为“s”的概率为　 　．
14．（2025九上·杭州开学考）已知，则　 　．
15．（2025九上·杭州开学考）抛物线与y轴交点的坐标为　 　，与x轴交点的坐标为　 　．
16．（2025九上·杭州开学考）如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C．则以下结论，其中正确结论的编号是　 　．
①无论x取何值， 的值总是正数；②；③当时，；④当时，；⑤．
17．（2025九上·杭州开学考）小丹、小林是某中学八年级的同班同学，在升入九年级时，要重新分班，他们将被随机编入A，B，C三个班；
（1）请你用画树状图法或列表法，列出所有可能的结果；
（2）求两人再次成为同班同学的概率．
18．（2025九上·杭州开学考）已知a：b：c=3：5：6，且2a+b﹣c=10，求abc的值．
19．（2025九上·杭州开学考）已知二次函数的图象经过点，．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个图象的顶点坐标和对称轴．
20．（2025九上·杭州开学考）一个斜抛物体的水平运动距离记为，对应的高度记为，与之间具有函数关系（常数，）．已知当时，；当时，．
（1）求关于的函数表达式；
（2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平运动距离．
21．（2025九上·杭州开学考）口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有个红球，个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球：
（1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求和的值．
（2）在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球．
22．（2025九上·杭州开学考）如图，用长为的细铁丝围成一个矩形（）．若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比）．
（1）求该矩形的长．（结果保留根号）
（2）求该矩形的面积．（结果保留根号）
23．（2025九上·杭州开学考）在一次高尔夫球的练习中，小成在O处击球，其飞行路线满足抛物线，其中是球的飞行高度，是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m．
（1）请求出抛物线的顶点坐标；
（2）请求出球洞离击球点的距离；
（3）若小成再一次从O处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式，
24．（2025九上·杭州开学考）已知抛物线（a，b为常数，且）．
（1）当，时，直接写出顶点坐标_______；当，时，直接写出顶点坐标_______．
（2）抛物线的顶点坐标随a、b的取值而改变，若，当抛物线的顶点在最低位置时：
①求a与b满足的关系式；
②抛物线上有两点，，当时，求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：将x=0代入y=x2-4得y=-4，
∴该函数与y轴有交点是（0，－4）.
故答案为：D.
【分析】令y=x2-4中的x=0，算出y的值，即可得到其与y轴交点的坐标.
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：根据 其对称轴为直线x=h可得：
那么其对称轴为直线x=1，
故答案为：A .
【分析】根据 其对称轴为直线x=h解题即可.
3．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴，，，四条线段不成比例，故此选项不符合题意；
B、∵1×4＝，∴，，，四条线段成比例，故此选项符合题意；
C、∵，∴，，，四条线段不成比例，故此选项不符合题意；
D、∵2×5≠3×4，∴，，， 四条线段不成比例，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】如果a、b、c、d四条线段成比例，且a＞b＞c＞d，则ad=bc，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：线段，，线段是和的比例中项，
，
，
，
（舍去负值），
故答案为：B．
【分析】如果a、b、c三条线段满足a∶b=b∶c，则称b是线段a、c的比例中项，据此列出比例式，求解即可.
5．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，白球个数占球总数的，
故随机摸出一个球为白球的概率是．
故答案为：A．
【分析】根据概率公式，用袋中白色小球的个数比上袋中小球的总个数即可.
6．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：黄金分割定义知，，所以AC2=AB．
设AB=1，AC=x，
，
解得：x=．
．
故选：C．
【分析】对于线段AB上一点C，若AC>BC，且AC2＝ABBC，则把点C叫线段AB的黄金分割点，且有.
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵，a=2＞0，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ ， ，且，
∴，
故答案为：C．
【分析】将抛物线的解析式配成顶点式，得出其对称轴直线为x=-1，由抛物线二次项系数a=2＞0，可得抛物线开口向上，故图象上的点离对称轴越远，函数值越大，从而判断出A1、A2、A3三点到对称轴直线的距离即可判断得出答案.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：二次函数y=﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），
只需将函数y=﹣2x2+4x+1的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位即可．
故选：C．
【分析】根据配方法，可得顶点式解析式，根据右移减，上移加，可得答案．
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】
①∵图象与x轴有交点，对称轴为x= =-1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴，
即，正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为x= =-1，
∴2a=b，
∴2a+b=4a，a≠0，
错误；
③∵x=-1时y有最大值，
由图象可知y≠0，错误；
④把x=1，x=-3代入解析式得a+b+c=0，9a-3b+c=0，两边相加整理得
5a-b=-c＜0，即5a＜b，正确．
故选B．
【分析】
① 观察图象知，抛物线与x轴有两个交点，则，故结论正确；
② 由于抛物线的对称轴为直线，则，即，故结论错误；
③ 观察图象知抛物线的顶点在x轴上方，即当时函数有最大值，所以，故结论错误；
④ 由抛物线的轴对称性质知，抛物线交x轴于另一个点，则由抛物线上点的坐标特征知、，由等式的性质可得，即有，又因为抛物线交y轴于正半轴，即，即，故结论正确．
10．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：
=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2
=，
=，
∵a>0，
∴y最小=，
∴若 ， 则 .
故答案为：D.
【分析】先把原函数式化为顶点式，由于a>0，得出其最小值为-+t，从而得出若 ， 则 .
11．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，所以黄灯的概率是.
故答案是：.
【分析】直接利用简单事件的概率计算公式求解即可.
12．【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为(3，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1，0)
∵ 关于x的一元二次方程的一个解，
∴另一个解为x2=-1.
故答案为：．
【分析】根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点为(-1，0)，然后根据一元二次方程与二次函数的关系可得方程3x2+bx+c=0的解，就是二次函数y=3x2+bx+c与x轴交点的横坐标，从而可得答案.
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：任选一个字母，这个字母为“s”的概率为： = ，
故答案为： ．
【分析】这句话中共有字母14个，从中任选一个，共有14种等可能的结果，其中S出现了4次，根据概率公式即可算出任选一个字母，这个字母为“s”的概率。
14．【答案】
【知识点】分式的值；比例的性质
【解析】【解答】解：由得，，
整理得，
．
故答案为：．
【分析】利用两内项之积等于两外项之积可将方程化为，解该二元一次方程，用含y的式子表示出x，从而代入待求式子约分化简即可.
15．【答案】；，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
抛物线与y轴交点的坐标为；
当时，由解得，，
抛物线与x轴交点的坐标为，；
故答案为：；，．
【分析】抛物线与y轴交点满足横坐标为0，把代入解析式可求得y的值，即可求出其与y轴交点坐标；抛物线与x轴交点满足纵坐标为0，把代入解析式可求得x的值，即可求出其与x轴交点的坐标.
16．【答案】①②⑤
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；偶次方的非负性；二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：①，
，
无论x取何值，的值总是正数，故①正确；
②抛物线与交于点，
，
，故②正确；
③分别将代入抛物线与，得到
，，
，故③错误；
④当时，，，
当时，，故④错误；
⑤当时，代入，
那么，解得，，
，
当时，代入，
那么，解得，，
，
，，
，故⑤正确，
故正确的有：①②⑤.
故答案为：①②⑤．
【分析】 利用平方的非负性，可判断①；将点代入算出a的值，可判断②；当时，分别算出，，即可判断③；将分别代入两函数解析式算出y1与y2，即可判断④；将分别代入两函数解析式算出对应的x的值，得到B、C点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出AB、AC，即可判断⑤.
17．【答案】（1）解：画树状图如下：
由树状图可知所有可能的结果为．
（2）解：由（1）可知两人再次成为同班同学的概率为：．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）此题是抽取放回类型，根据题意列出树状图，列举出所有等可能的情况数；
（2） 由树状图可知共有9种等可能的结果数，两人再次成为同班同学的等可能情况数有3种，从而根据概率公式计算可得答案.
（1）解：画树状图如下：
由树状图可知所有可能的结果为．
（2）解：由（1）可知两人再次成为同班同学的概率为：．
18．【答案】解：由a：b：c=3：5：6，得
a=3x，b=5x，c=6x．
由2a+b﹣c=10，得
6x+5x﹣6x﹣10，
解得x=2，
a=3x=6，b=10，c=12．
abc=6×10×12=720．
【知识点】比例线段
【解析】【分析】根据比的性质，可得a，b，c用x表示，根据解方程，可得x的值，根据有理数的乘法，可得答案．
19．【答案】（1）解：已知二次函数的图象经过点，，
，
，
；
（2）解：，
顶点坐标，对称轴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将点(-1，8)与(2，-1)分别代入y=x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）将其表达式变成顶点式，然后根据，其对称轴为，顶点坐标为解题即可．
（1）解：已知二次函数的图象经过点，，
，
，
；
（2）解：，
顶点坐标，对称轴．
20．【答案】（1）解：当时，；当时，，
，
解得，，
关于的函数表达式为：；
（2）解：，
斜抛物体的最大高度为，达到最大高度时的水平距离为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）将当时，与当时，，分别代入关系式 ，可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，即可求出抛物线的解析式；
（2） 将其表达式变成顶点式，然后根据，当a＜0时，x=h时，y最大为h可作答.
（1）解：当时，；当时，，
，
解得，，
关于的函数表达式为：；
（2）解：，
斜抛物体的最大高度为，达到最大高度时的水平距离为．
21．【答案】（1）解：摸到红球与摸到白球的可能性相等，且，
；
（2）解：设取走个白球，放入个红球，则口袋中现在有白球个，红球个，
根据题意得，，
解得，，
答：取走3个白球．
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）根据概率公式，即可确定红球与白球的数量的情况；
（2）设取走个白球，根据概率公式列出关于的方程，求解即可．
22．【答案】（1）解：设，那么，
经检验，是原方程的根，
，
答：矩形的长为．
（2）解：由（1）可知，，，
矩形的面积为：（）．
答：该矩形的面积为．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；分母有理化；解分式方程；黄金分割
【解析】【分析】（1）此题告知了矩形的周长，根据矩形周长计算公式，若设，那么，然后根据与之比等于黄金比，代入解方程即可；
（2）利用矩形面积等于长乘以宽，直接计算出答案即可．
（1）解：设，那么，
经检验，是原方程的根，
，
答：矩形的长为．
（2）解：由（1）可知，，，
矩形的面积为：（）．
答：该矩形的面积为．
23．【答案】解：（1）=
∴抛物线的顶点为（4，）；
（2）令y＝0，得：＝0
解得：x1＝0，x2＝8，
∴球飞行的最大水平距离是8m，
∴球洞离击球点的距离为8＋2＝10m；
（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m
∴抛物线的对称轴为直线x＝5，顶点为（5，）
设此时对应的抛物线解析式为y＝a（x 5）2＋
又∵点（0，0）在此抛物线上，
∴25a＋＝0，a＝
∴y＝-（x 5）2＋，
即其解析式为y＝-（x 5）2＋.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1） 将其表达式变成顶点式，然后根据中，顶点坐标为即可得出答案；
（2）令抛物线解析式中的y＝0，算出对应的x的值，根据球洞离击球点的距离为 |x1 x2|＋2即可得到结论；
（3）易得抛物线顶点为（5，），从而结合抛物线过点（0，0）用设顶点式法求出二次函数的解析式．
24．【答案】（1）；
（2）解：①，顶点纵坐标为，
若，则，
当抛物线的顶点在最低位置时，取最小值，
，，
a与b满足的关系式为；
②由（1）知，，抛物线的解析式为，对称轴为，作图如下：
由对称性可知，和对应的函数值相同，都等于．
当时，必有．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（1）当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为；
当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为；
故答案为：；；
【分析】（1）将a、b的值代入 ，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可求顶点坐标；
（2）①利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而可得顶点纵坐标为，由a＜0可得当抛物线的顶点在最低位置时，≥0取最小值，即可求出a与b的关系；
②由于a＜0，将b=2a代入抛物线可得抛物线开口向下，其对称轴直线为x=-1，由抛物线的对称性得出和对应的函数值相同，都等于．从而结合图象找出(-4，s)与(2，s)两点之间自变量的取值范围即可得出结论.
（1）当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为；
当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为．
（2）①，顶点纵坐标为，
若，则，
当抛物线的顶点在最低位置时，取最小值，
，，
a与b满足的关系式为；
②由（1）知，，抛物线的解析式为，对称轴为，作图如下：
由对称性可知，和对应的函数值相同，都等于．
当时，必有．
1 / 1浙江省杭州观成教育集团2025-2026学年九年级上学期开学数学试题
1．（2025九上·杭州开学考）函数y＝x2－4的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A．（2，0） B．（－2，0） C．（0，4） D．（0，－4）
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：将x=0代入y=x2-4得y=-4，
∴该函数与y轴有交点是（0，－4）.
故答案为：D.
【分析】令y=x2-4中的x=0，算出y的值，即可得到其与y轴交点的坐标.
2．（2025九上·杭州开学考） 抛物线 的对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：根据 其对称轴为直线x=h可得：
那么其对称轴为直线x=1，
故答案为：A .
【分析】根据 其对称轴为直线x=h解题即可.
3．（2025九上·杭州开学考）下列线段能成比例线段的是（　　）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴，，，四条线段不成比例，故此选项不符合题意；
B、∵1×4＝，∴，，，四条线段成比例，故此选项符合题意；
C、∵，∴，，，四条线段不成比例，故此选项不符合题意；
D、∵2×5≠3×4，∴，，， 四条线段不成比例，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】如果a、b、c、d四条线段成比例，且a＞b＞c＞d，则ad=bc，据此逐一判断得出答案.
4．（2025九上·杭州开学考）已知线段，，线段是和的比例中项，则等于（　　）
A．2 B．4 C．±4 D．8
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：线段，，线段是和的比例中项，
，
，
，
（舍去负值），
故答案为：B．
【分析】如果a、b、c三条线段满足a∶b=b∶c，则称b是线段a、c的比例中项，据此列出比例式，求解即可.
5．（2025九上·杭州开学考）在一个不透明的盒子中装有8个白球，4个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，白球个数占球总数的，
故随机摸出一个球为白球的概率是．
故答案为：A．
【分析】根据概率公式，用袋中白色小球的个数比上袋中小球的总个数即可.
6．（2025九上·杭州开学考）已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（　　）
A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC BA
C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：黄金分割定义知，，所以AC2=AB．
设AB=1，AC=x，
，
解得：x=．
．
故选：C．
【分析】对于线段AB上一点C，若AC>BC，且AC2＝ABBC，则把点C叫线段AB的黄金分割点，且有.
7．（2025九上·杭州开学考）在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵，a=2＞0，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ ， ，且，
∴，
故答案为：C．
【分析】将抛物线的解析式配成顶点式，得出其对称轴直线为x=-1，由抛物线二次项系数a=2＞0，可得抛物线开口向上，故图象上的点离对称轴越远，函数值越大，从而判断出A1、A2、A3三点到对称轴直线的距离即可判断得出答案.
8．（2025九上·杭州开学考）二次函数y=﹣2x2+4x+1的图象如何平移可得到y=﹣2x2的图象（　　）
A．向左平移1个单位，向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，向下平移3个单位
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：二次函数y=﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），
只需将函数y=﹣2x2+4x+1的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位即可．
故选：C．
【分析】根据配方法，可得顶点式解析式，根据右移减，上移加，可得答案．
9．（2025九上·杭州开学考）如图是二次函数过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①，②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（　　）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】
①∵图象与x轴有交点，对称轴为x= =-1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
∴，
即，正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为x= =-1，
∴2a=b，
∴2a+b=4a，a≠0，
错误；
③∵x=-1时y有最大值，
由图象可知y≠0，错误；
④把x=1，x=-3代入解析式得a+b+c=0，9a-3b+c=0，两边相加整理得
5a-b=-c＜0，即5a＜b，正确．
故选B．
【分析】
① 观察图象知，抛物线与x轴有两个交点，则，故结论正确；
② 由于抛物线的对称轴为直线，则，即，故结论错误；
③ 观察图象知抛物线的顶点在x轴上方，即当时函数有最大值，所以，故结论错误；
④ 由抛物线的轴对称性质知，抛物线交x轴于另一个点，则由抛物线上点的坐标特征知、，由等式的性质可得，即有，又因为抛物线交y轴于正半轴，即，即，故结论正确．
10．（2025九上·杭州开学考） ， 点 是函数图象上任意一点， （　　）
A．若 ， 则
B．若 ， 则
C．若 ， 则
D．若 ， 则
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：
=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2
=，
=，
∵a>0，
∴y最小=，
∴若 ， 则 .
故答案为：D.
【分析】先把原函数式化为顶点式，由于a>0，得出其最小值为-+t，从而得出若 ， 则 .
11．（2025九上·杭州开学考）某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，所以黄灯的概率是.
故答案是：.
【分析】直接利用简单事件的概率计算公式求解即可.
12．（2025九上·杭州开学考）若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解　 　．
【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为(3，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1，0)
∵ 关于x的一元二次方程的一个解，
∴另一个解为x2=-1.
故答案为：．
【分析】根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点为(-1，0)，然后根据一元二次方程与二次函数的关系可得方程3x2+bx+c=0的解，就是二次函数y=3x2+bx+c与x轴交点的横坐标，从而可得答案.
13．（2025九上·杭州开学考）在“Wish you success”中，任选一个字母，这个字母为“s”的概率为　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：任选一个字母，这个字母为“s”的概率为： = ，
故答案为： ．
【分析】这句话中共有字母14个，从中任选一个，共有14种等可能的结果，其中S出现了4次，根据概率公式即可算出任选一个字母，这个字母为“s”的概率。
14．（2025九上·杭州开学考）已知，则　 　．
【答案】
【知识点】分式的值；比例的性质
【解析】【解答】解：由得，，
整理得，
．
故答案为：．
【分析】利用两内项之积等于两外项之积可将方程化为，解该二元一次方程，用含y的式子表示出x，从而代入待求式子约分化简即可.
15．（2025九上·杭州开学考）抛物线与y轴交点的坐标为　 　，与x轴交点的坐标为　 　．
【答案】；，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，，
抛物线与y轴交点的坐标为；
当时，由解得，，
抛物线与x轴交点的坐标为，；
故答案为：；，．
【分析】抛物线与y轴交点满足横坐标为0，把代入解析式可求得y的值，即可求出其与y轴交点坐标；抛物线与x轴交点满足纵坐标为0，把代入解析式可求得x的值，即可求出其与x轴交点的坐标.
16．（2025九上·杭州开学考）如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C．则以下结论，其中正确结论的编号是　 　．
①无论x取何值， 的值总是正数；②；③当时，；④当时，；⑤．
【答案】①②⑤
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；偶次方的非负性；二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：①，
，
无论x取何值，的值总是正数，故①正确；
②抛物线与交于点，
，
，故②正确；
③分别将代入抛物线与，得到
，，
，故③错误；
④当时，，，
当时，，故④错误；
⑤当时，代入，
那么，解得，，
，
当时，代入，
那么，解得，，
，
，，
，故⑤正确，
故正确的有：①②⑤.
故答案为：①②⑤．
【分析】 利用平方的非负性，可判断①；将点代入算出a的值，可判断②；当时，分别算出，，即可判断③；将分别代入两函数解析式算出y1与y2，即可判断④；将分别代入两函数解析式算出对应的x的值，得到B、C点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出AB、AC，即可判断⑤.
17．（2025九上·杭州开学考）小丹、小林是某中学八年级的同班同学，在升入九年级时，要重新分班，他们将被随机编入A，B，C三个班；
（1）请你用画树状图法或列表法，列出所有可能的结果；
（2）求两人再次成为同班同学的概率．
【答案】（1）解：画树状图如下：
由树状图可知所有可能的结果为．
（2）解：由（1）可知两人再次成为同班同学的概率为：．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）此题是抽取放回类型，根据题意列出树状图，列举出所有等可能的情况数；
（2） 由树状图可知共有9种等可能的结果数，两人再次成为同班同学的等可能情况数有3种，从而根据概率公式计算可得答案.
（1）解：画树状图如下：
由树状图可知所有可能的结果为．
（2）解：由（1）可知两人再次成为同班同学的概率为：．
18．（2025九上·杭州开学考）已知a：b：c=3：5：6，且2a+b﹣c=10，求abc的值．
【答案】解：由a：b：c=3：5：6，得
a=3x，b=5x，c=6x．
由2a+b﹣c=10，得
6x+5x﹣6x﹣10，
解得x=2，
a=3x=6，b=10，c=12．
abc=6×10×12=720．
【知识点】比例线段
【解析】【分析】根据比的性质，可得a，b，c用x表示，根据解方程，可得x的值，根据有理数的乘法，可得答案．
19．（2025九上·杭州开学考）已知二次函数的图象经过点，．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）解：已知二次函数的图象经过点，，
，
，
；
（2）解：，
顶点坐标，对称轴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将点(-1，8)与(2，-1)分别代入y=x2+bx+c可得关于字母b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）将其表达式变成顶点式，然后根据，其对称轴为，顶点坐标为解题即可．
（1）解：已知二次函数的图象经过点，，
，
，
；
（2）解：，
顶点坐标，对称轴．
20．（2025九上·杭州开学考）一个斜抛物体的水平运动距离记为，对应的高度记为，与之间具有函数关系（常数，）．已知当时，；当时，．
（1）求关于的函数表达式；
（2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平运动距离．
【答案】（1）解：当时，；当时，，
，
解得，，
关于的函数表达式为：；
（2）解：，
斜抛物体的最大高度为，达到最大高度时的水平距离为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）将当时，与当时，，分别代入关系式 ，可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，即可求出抛物线的解析式；
（2） 将其表达式变成顶点式，然后根据，当a＜0时，x=h时，y最大为h可作答.
（1）解：当时，；当时，，
，
解得，，
关于的函数表达式为：；
（2）解：，
斜抛物体的最大高度为，达到最大高度时的水平距离为．
21．（2025九上·杭州开学考）口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有个红球，个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球：
（1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求和的值．
（2）在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球．
【答案】（1）解：摸到红球与摸到白球的可能性相等，且，
；
（2）解：设取走个白球，放入个红球，则口袋中现在有白球个，红球个，
根据题意得，，
解得，，
答：取走3个白球．
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）根据概率公式，即可确定红球与白球的数量的情况；
（2）设取走个白球，根据概率公式列出关于的方程，求解即可．
22．（2025九上·杭州开学考）如图，用长为的细铁丝围成一个矩形（）．若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比）．
（1）求该矩形的长．（结果保留根号）
（2）求该矩形的面积．（结果保留根号）
【答案】（1）解：设，那么，
经检验，是原方程的根，
，
答：矩形的长为．
（2）解：由（1）可知，，，
矩形的面积为：（）．
答：该矩形的面积为．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；分母有理化；解分式方程；黄金分割
【解析】【分析】（1）此题告知了矩形的周长，根据矩形周长计算公式，若设，那么，然后根据与之比等于黄金比，代入解方程即可；
（2）利用矩形面积等于长乘以宽，直接计算出答案即可．
（1）解：设，那么，
经检验，是原方程的根，
，
答：矩形的长为．
（2）解：由（1）可知，，，
矩形的面积为：（）．
答：该矩形的面积为．
23．（2025九上·杭州开学考）在一次高尔夫球的练习中，小成在O处击球，其飞行路线满足抛物线，其中是球的飞行高度，是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m．
（1）请求出抛物线的顶点坐标；
（2）请求出球洞离击球点的距离；
（3）若小成再一次从O处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式，
【答案】解：（1）=
∴抛物线的顶点为（4，）；
（2）令y＝0，得：＝0
解得：x1＝0，x2＝8，
∴球飞行的最大水平距离是8m，
∴球洞离击球点的距离为8＋2＝10m；
（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m
∴抛物线的对称轴为直线x＝5，顶点为（5，）
设此时对应的抛物线解析式为y＝a（x 5）2＋
又∵点（0，0）在此抛物线上，
∴25a＋＝0，a＝
∴y＝-（x 5）2＋，
即其解析式为y＝-（x 5）2＋.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1） 将其表达式变成顶点式，然后根据中，顶点坐标为即可得出答案；
（2）令抛物线解析式中的y＝0，算出对应的x的值，根据球洞离击球点的距离为 |x1 x2|＋2即可得到结论；
（3）易得抛物线顶点为（5，），从而结合抛物线过点（0，0）用设顶点式法求出二次函数的解析式．
24．（2025九上·杭州开学考）已知抛物线（a，b为常数，且）．
（1）当，时，直接写出顶点坐标_______；当，时，直接写出顶点坐标_______．
（2）抛物线的顶点坐标随a、b的取值而改变，若，当抛物线的顶点在最低位置时：
①求a与b满足的关系式；
②抛物线上有两点，，当时，求m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）解：①，顶点纵坐标为，
若，则，
当抛物线的顶点在最低位置时，取最小值，
，，
a与b满足的关系式为；
②由（1）知，，抛物线的解析式为，对称轴为，作图如下：
由对称性可知，和对应的函数值相同，都等于．
当时，必有．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（1）当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为；
当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为；
故答案为：；；
【分析】（1）将a、b的值代入 ，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可求顶点坐标；
（2）①利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而可得顶点纵坐标为，由a＜0可得当抛物线的顶点在最低位置时，≥0取最小值，即可求出a与b的关系；
②由于a＜0，将b=2a代入抛物线可得抛物线开口向下，其对称轴直线为x=-1，由抛物线的对称性得出和对应的函数值相同，都等于．从而结合图象找出(-4，s)与(2，s)两点之间自变量的取值范围即可得出结论.
（1）当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为；
当，时，抛物线解析式为，顶点坐标为．
（2）①，顶点纵坐标为，
若，则，
当抛物线的顶点在最低位置时，取最小值，
，，
a与b满足的关系式为；
②由（1）知，，抛物线的解析式为，对称轴为，作图如下：
由对称性可知，和对应的函数值相同，都等于．
当时，必有．
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