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2025—2026学年度第一学期高二第一次月考试题
数 学
（满分150分，考试时间为120分钟）
考生注意：
1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置。
2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写。选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效。写在试卷上无效。
第Ⅰ卷 （选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线经过两点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
2．椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点P，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
3．若直线：与直线：平行，则＝（ ）
A．－1 B．－1或3 C． D．3
4．现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线BM与直线CN所成角的余弦值（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为 （ ）
A．内含 B．相切 C．相交 D．外离
7．从点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
8．设为坐标原点，动点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，点P满足，则点P的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。
9．已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若A，B互斥，则 B．若A，B互斥，则
C．若A，B独立，则 D．若A，B独立，则
10．已知圆，直线．则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1
C．直线与圆有一个交点
D．若圆与圆恰有三条公切线，则
11．一个圆柱沿着轴截面截去一半，得到一个如图所示的几何体．已知四边形MNPQ是边长为2的正方形，点E为半圆弧上一动点（点E与点P，Q不重合），则（ ）
A．三棱锥体积的最大值为
B．存在点E，使得
C．当点E为上的三等分点时，二面角
的正切值为
D．当点E为的中点时，四棱锥外接球的体积为
第Ⅱ卷 （非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为
.
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为，若直线与椭圆交于点，满足，则离心率是 .
14．如图，点P是棱长为1的正方体
上底面的一个动点，直线与平面所成的
角为，则点P的轨迹长度为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知两点，直线．
（1）若直线经过点P，且，求直线的方程；
（2）若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题：
（1）证明：直线平面；
（2）求点到平面的距离．
17．（本小题满分15分）
甲、乙两人组成“龙队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为. 在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）求“龙队”在一轮活动中猜对成语的总数至少1个的概率；
（2）若“龙队”在两轮活动中猜对成语的总数不少于3个，即可晋级.求“龙队”晋级的概率.
18．（本小题满分17分）
如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙．
（1）求证：DO⊥平面ABCE；
（2）线段AB上是否存在一点H、使得平面ADE与平面DHC所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出H点的位置．
19．（本小题满分17分）
已知椭圆，分别是左、右焦点，P是椭圆上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设分别是椭圆C的左、右顶点，若直线与C交于点，且，
证明：直线过定点，并求出此定点．2025—2026学年度第一学期高二第一次月考答案
数 学
第Ⅰ卷 （选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B A B A C B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BCD AD ACD
第Ⅱ卷 （非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解析：
（1）直线的斜率为2， ………………（1分）
设直线的斜率为k，由，得，解得， …………（3分）
又直线经过点，
所以直线的方程为，即．…………（6分）
（2）方法一：，所以的中垂线的斜率为，……………（8分）
又PQ的中点为，所以PQ的中垂线的方程为，
即． ……………（11分）
因为两点在圆C上，所以圆心C在的中垂线上，
又圆心C在直线l上，由 得 即圆心C的坐标为，
……………（13分）
又圆C的半径， ……………（14分）
所以圆C的方程为． ……………（15分）
方法二：因为圆C的圆心在直线l上，
所以可设圆心C的坐标为，半径为r，
所以圆C的方程为， ……………（8分）
又P，Q两点在圆C上，
所以 ，解得 ……………（11分）
所以圆C的方程为． ……………（13分）
16．解析：
（1）因为四棱锥中， 底面，底面，且底面是正方形，所以两两垂直， ……………（1分）
以A为原点，分别为轴建立如图所示坐标系，…（2分）
则由题意可得，，
，，，……（3分）
所以，，，
……（4分）
设平面的法向量，
则 ，
取可得平面的一个法向量， ……………（6分）
因为，1又平面，……（8分）
所以直线平面. ………（10分）
（2）由（1）得，平面的一个法向量，…（12分）
所以点到平面的距离. ………（15分）
（若第一问几何法则给6分第二问酌情给分）
17．解析：
（1）设事件“在一轮活动中甲猜对成语”，事件“在一轮活动中乙猜对成语”，事件“龙队在一轮活动中猜对成语的总数至少1个”，……………（2分）
则由题可知事件与事件相互独立，且，，，
∴，，……………（4分）
∴，
即“龙队”在一轮活动中猜对成语的总数至少1个的概率为. ……（6分）
（2）设事件“在两轮活动中甲猜对个成语”，事件“在一轮活动中乙猜对个成语”， ，事件“龙队晋级”， ……………（8分）
则由题可知，且事件，，两两互斥，
……………（9分）
，，
，， ……………（13分）
∴
，
∴ “龙队”晋级的概率为. ……………（15分）
18．解析：
（1）取线段的中点，连接，…（1分）
在中，，
， …………（2分）
在中，，
由余弦定理可得：，，
在中，，， …………（4分）
因为，，，平面，
…………（6分）
所以平面； …………（7分）
（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， …………（8分）
，…（9分）
平面的法向量， ……（10分）
设的坐标为，， ……（11分）
则，
设平面法向量为，
，
所以，
令，则， ……（13分）
由已知，…（14分）
解之得：或9（舍去）， ……（16分）
所以点是线段的中点． ……（17分）
19．解析：
（1）根据题意作图如下：
由题意得 ，所以，
因为，
所以椭圆的标准方程为……（4分）
（2）（）证明：
法一：由（1）可知，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，
则直线的方程为，
直线的方程为， …………（5分）
联立 ，化简得，…（7分）
因为，所以 ，即，…（9分）
联立 ，化简得
…………（11分）
因为，所以 ，
即， …………（13分）
则， ……（15分）
所以直线的方程为，
整理得，
所以直线过定点，即右焦点. …………（17分）
法二：设，又由（1）知，
所以，
则有， ……………（5分）
又，则，代入上式可得.
……………（6分）
又因为，所以. ……………（7分）
设直线的方程为，
联立 ，得， ………（9分）
所以 ，
且
所以 ， ………（11分）
由， ………（13分）
化简得且， ………（15分）
即，解得或（舍），
所以直线过定点，即右焦点. ………（17分）

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