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上海市进才中学 2026届高三上学期 10月月考数学试卷
一、填空题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。
1.已知集合 = { | + 1 > 0, ∈ }， = { |2 3 < 0, ∈ }，则 ∩ = ．
2.已知等差数列{ }的前 项和为 ， 1 = 2， 10 = 20，则 10 = ．
3.若函数 = ( 2 3 + 1) 3是幂函数，则实数 的值为 ．
3
4.已知sin ( ) = ，则cos( + ) = ．
2 5
5.已知向量 = (1,2)， = ( , 4)，且 // ，则实数 的值为 ．
6.在 中， = 1， = √ 3, = 60 ，则 = ．
7.若随机变量 (1, 2)，且 ( < 0.9) = 0.3，则 (| 1| < 0.1) = ．
8.若( )(1 + )4的展开式中 3的系数为6，则实数 的值为 ．
9.将6个相同的球放入编号为1、2、3的3个盒子中，要求每个盒子至少放1个球，且编号为1的盒子中球数
不超过2个，则不同的放法种数为 . (用数字作答)
10.设正方体 1 1 1 1的棱长为2， 为正方体表面上一点，且点 到直线 1的距离与它到平面
的距离相等，记动点 的轨迹为曲线 ，则曲线 的周长是 ．
1 4
11.如图，在△ 中，点 ， 是线段 上两个动点，且 + = + ，则 + 的最小值
为 ．
sin(2 2 ), <
12.设 ∈ ，函数 ( ) = { ，若 ( )在区间(0,+∞)内恰有6个零点，则 的取值
| 1| 3 + 6, ≥
范围是 ．
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
13.一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是( )
A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数
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1, < 014.定义“真指数”， + = { , ( 为自然对数的底数)，则( ) , ≥ 0
1+ 2
+
A. 1+ +
2
+ ≥ 2
2
+ B.
1 2
+ =
1 2+ +
1
1 2 + 2C. + = D.
1 2 1
2 +
= ( + )
+
15.已知直线 : + 1 2 = 0与圆 : 2 + 2 = 2有两个不同的公共点 ， ，则下列命题判断错误
的个数是( )
①直线 过定点(2,1)；②当 = 4时，线段 长的最小值为2√ 11
③半径 的取值范围是(0, √ 5]；④当 = 4时， 有最小值为 16
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
16.设函数 = ( )和 = ( )的定义域均为 ，对于下列四个命题：
①若对任意 ∈ ，都有 ( ( )) = [ ( )]2，则 ( )存在且唯一；
②若 = ( )为 上单调函数， = ( )为周期函数，则 = ( ( ))在 上既是单调函数又是周期函数：
③若对任意 ∈ ，都有 ( ( )) = ，则当 ( 0) = ( 0)时，必有 0 = 0；
④命题 ：函数 = ( )存在 1 ≠ 2，使得 ( 1) = ( 2)，命题 : ( )在 上不是严格单调函数，命题 是
命题 的充分不必要条件．
其中正确的命题为( )
A. ①② B. ①④ C. ①③ D. ③④
三、解答题：本题共 5小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.为调查 学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均
户外活动时长(单位：小时)及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间[0,1)内有70人，近视率为
80%；日均户外活动时长在区间[1,2)内有20人，近视率为40%；日均户外活动时长在区间[2,3]内有10人，
近视率为20%．
注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值．
(1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率；
(2)用频率估计概率从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求
这4名学生中恰有2名近视的概率；

18.已知函数 ( ) = cos ( 2 ) + 2 2 1( > 0)．
3
1
(1)若 = ，求 ( )的严格增区间；
2

(2)已知 ( )在区间[0, ]是严格增函数，且对任意 ∈ ， ( ) ≤ ( )恒成立，求 ( )的最小正周期．
3 3
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19.如图，已知 // // ，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， ⊥ ， = 2 = 2 = 2 =
2，点 为梯形 内(包括边界)一个动点．
(1)若 为线段 的中点，求证： //平面 ；
(2) = 1，若 //平面 ，且当线段 最短时，求直线 与平面 所成角 的正弦值
2 2 √ 5
20.如图，双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的实轴长为4，离心率为 ，斜率为 的直线 过 轴上一点 2
( , 0)，双曲线 上存在关于直线 对称的不同两点 、 ，直线 与直线 及 轴的交点分别为 、 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
1
(2)当 = 时，求 的取值范围；
3
(3)当 = 3时，求 的最小值．
21.我们把定义在 上，且存在常数 ， 满足 ( + ) = ( )(其中常数 ， 满足 ≠ 1， ≠ 0， ≠ 0)的
函数叫做“类周期函数”，此时 称为函数 ( )的“类周期”， 称为函数 ( )的“类波幅”．
(1)判断下列函数是否是“类周期函数”，若是，找出一对“类周期”与“类波幅”，若不是，说明理
由：① 21( ) = sin ；② 2( ) =
(2)类周期函数 = ( )满足 = 2， = 3且当 ∈ (0,2], ( ) = ln ，求当 ∈ (2,4]时函数 = ( )的
取值范围；
(3)对于确定的 > 0且0 < ≤ 时， ( ) = ，试研究以 为“类周期”， 为“类波幅”类周期函
数 = ( )在区间(0,+∞)上是否可能是单调函数？若可能，求出 的取值范围；若不可能，请说明理由．
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参考答案
3
1.( 1, )
2
2.110
3.3或0
3
4. 或0.6
5
5. 2

6.
6
7.0.4
8.3
9.7
10.4√ 2 +
9
11.
2
7 5
12.(2, ] ∪ ( , 3]
3 2
13.
14.
15.
16.
17.解：(1)由题意，样本中日均户外活动时长不低于1小时的学生有20 + 10 = 30人，
其中近视的学生有20 × 0.4 + 10 × 0.2 = 10人，
10 1
所以估计该校日均户外活动时长不低于1小时学生的近视率为 = ．
30 3
(2)设事件 =“从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，这4名
学生中恰有2名近视”．
4
由题意，从该校日均户外活动时长低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为 ，
5
1
从该校日均户外活动时长不低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为 ．
3
4 2 1 2 4 4 1 1 4 2 1 2 97
则 ( ) = ( ) × (1 ) + 2 × × (1 ) × 2 × × (1 ) + (1 ) × ( ) = ．
5 3 5 5 3 3 5 3 225
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1 √ 3
18.解：(1) ( ) = cos ( 2 ) + 2 2 1 = cos(2 ) + sin(2 ) cos(2 )
3 2 2
√ 3 1
= sin(2 ) cos(2 ) = sin (2 )，
2 2 6
1
若 = ，则 ( ) = sin ( )，
2 6
2
令 + 2 ≤ ≤ + 2 , ∈ ，则 + 2 ≤ ≤ + 2 , ∈ ，
2 6 2 3 3
2
故 ( )的严格增区间为[ + 2 , + 2 ] , ∈ ；
3 3
2
(2)因对任意 ∈ ， ( ) ≤ ( )恒成立，则 ( ) = sin ( ) = 1，
3 3 3 6
2
则 = + 2 , ∈ ，即 = 1 + 3 , ∈ ，
3 6 2
3
因 ( )在区间[0, ]是严格增函数，则 = ≥ ，得0 < ≤ ，则 = 1，
3 2 2 3 2
2
故 ( )的最小正周期 = = ．
2
19.解：(1)取 的中点 ，连结 , ，
1
因为点 , 分别是 , 的中点，所以 // ，且 = ，
2
1
又因为 // ，且 = ，
2
所以 // ，且 = ，
所以四边形 是平行四边形，所以 // ，
且 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)因为平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
且 ⊥ ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，且 ⊥ ，
所以如图以点 为原点， , , 为 , , 轴的正方向建立空间直角坐标系，
(0,0,1)， (0,2,0)， (0,1,1)， (1,1,0)， ( , , 0)，
= (0,1, 1)， = (1,0, 1)， = ( , , 1)，
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设平面 的法向量 = ( , , )，
= = 0
所以{ ，令 = 1，则 = = 1，
= = 0
所以平面 的一个法向量为(1,1,1)
因为 //平面 ，所以 ⊥ ，即 + 1 = 0，
2
|
1 3
| = √ 2 + 2 + 1 = √ 2 + (1 )2 + 1 = √ 2 2 2 + 2 = √ 2 ( ) + ，
2 2
1 1
当 = , = 时，满足点 在梯形 的内部，此时 最短，
2 2
1 1
(1,1,0)， (1,0,0)， (0,1,1)， = ( , , 1)，
2 2
= (1,0, 1)， = (1, 1, 1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= = 0
所以{ , = 0，令 = = 1，
= = 0
所以平面 的一个法向量 = (1,0,1)，
1
| | √ 3
sin = |cos , | = = 2 =
| | | | 1 1 6√ + + 1 × √ 2
4 4
20.解：(1)因为实轴长为4，则2 = 4，所以 = 2，
√ 5
因为离心率为 = = ，所以 = √ 5，
2
所以 2 = 2 2 = 1，
2
所以双曲线 的标准方程为 2 = 1
4
1
(2)设 ( 0, 0), ( 1, 1), ( 2, 2)，由题意可知 ≠ 0，故可设直线 方程为 = + ，
1
= +

联立{ ，得( 2 4) 2 + 8 4 2 2 4 2
2
= 0，
2 = 1
4
= (8 )2 4( 2 4)( 4 2 2 4 2) = 16 2( 2 2 + 2 4) > 0，
4
解得 2 > 2 1，

8
由韦达定理得 1 + 2 = 2 ，
4
1
+ 4 + ( 1+ 2)+2
2

所以 = 1 2 = , = 1 2 = 0 2 0 =2 2 ， 4 2 2 4
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1 12
当 = 时， 0 = , = 3 35 0 35
1 3
因为 = = 0 ，所以 = 3 = ，
3 0
0 0 7
4
因为 2 > 2 1 = 35，即 > √ 35或 < √ 35，

3√ 35 3√ 35 3√ 35 3√ 35
所以 > 或 < ，即 的取值范围为( ∞, ) ∪ ( , +∞)．
7 7 7 7
(3)当 = 3时，由(2)得， (0, )， ( 3,0)，
2
2 2
因为 = 0 = 0 = 4 4 = 2 ， 0 0+3 2 +3 4 +3 12
4
所以 4 + 3 2 12 = ，
2
3( 4) 3
所以 = ，整理的 = ，
5 2 4 5
2
又 00 + 3 = , = ， 0 2 4
2
1 √ 1+ 3
所以| | = √ ( + 3)2 + 20 0 = √ 1 + 2 | 0| = | 2 | = √ 1 +
2，
4 5
2 2 2 16
2
| | = √ 0 + ( 0 ) = √ 0 + 2， 2
( 4)
3 3 4 12
因为 2 = ，所以5 2 = ， 5 0 = 2 = ， 4 4 4 5
2
144 144 12 1+
所以| | = √ + = √ ，
25 225 5
2

2 2
1 18 1+ 18 1+ 18 1
所以 = | | | | = √ 1 + 2 × √ 2 25 2 = = (
| | + )
25 | | 25 | |
18 1 36
≥ × 2√ | | × = ，
25 | | 25
2 2
1 2 9( 4) 81当且仅当| | = ，即 = ±1时取等号，此时 = 2 = ， | | 25 25
所以 = 16 2( 2 2 2
81
+ 4) = 16( + 1 4) > 0，满足题意，
25
36
综上， 的最小值为 ． 25
21.解：(1)①假设 1( ) = sin 是“类周期函数”，则存在常数 ， ，使得sin( + ) = sin ，
令 = 0，则sin = 0，则 = , ∈ ，则sin( + ) = sin ，
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若 为偶数，则sin = sin ，则 = 1，不符合题意；
若 为奇数，则 sin = sin ，则 = 1，
则存在常数 = 1， = ，其中 为奇数，使得 1( ) = sin 是“类周期函数”；
②假设 2( ) =
2是“类周期函数”，则存在常数 ， ，使得( + )2 = 2，
令 = 0，则 2 = 0，不符合题意，
故不存在常数 ， ，使得 2( ) =
2是“类周期函数”；
(2)由题意可知， ( + 2) = 3 ( )，
因当 ∈ (0,2], ( ) = ln ,
则当 ∈ (2,4]时， 2 ∈ (0,2]，则 ( 2) = ln( 2) ( 2)，
则 ( ) = 3 ( 2) = 3ln( 2) 3 ( 2), ∈ (2,4],
3
则 ′( ) = 3 , ∈ (2,4],
2
3 3
因 ∈ (2,4]，则 ≥ ，
2 2
3 1 3
若3 ≤ ，即 ≤ ，则 ′( ) = 3 ≥ 0，则 ( )在(2,4]上单调递增，
2 2 2
则 ( ) ≤ (4) = 3ln2 6 ，
因 → 2时， ( ) → ∞，则 ( ) ∈ ( ∞, 3ln2 6 ]；
1 1 1
若 > ，则由 ′( ) > 0得2 < < + 2； ′( ) < 0得 + 2 < ≤ 4；
2
1 1
则 ( )在(2, + 2)上单调递增，在( + 2,4]上单调递减，

1
则 ( )max = ( + 2) = 3ln 3，
因 → 2时， ( ) → ∞，则 ( ) ∈ ( ∞, 3ln 3]；
1 1
综上， ≤ 时 ( ) ∈ ( ∞, 3ln2 6 ]； > 时 ( ) ∈ ( ∞, 3ln 3]；
2 2
(3)因 = ( )是“类周期函数”，则 ( + ) = ( )， > 0，
当( 1) < ≤ ， ∈ 时，有0 < ( 1) ≤ ，
且 ( ) = ( ) = = 1 ( ( 1) )，
任取 1, 2 ∈ (( 1) , ], ∈ ，且 1 < 2，
则 ( 1) ( 2) =
1[ ( 1 ( 1) ) ( 2 ( 1) )]，
若 > 0，则 ( 1), ( 2)与 ( 1 ( 1) ), ( 2 ( 1) )大小关系一致，
则 ( )在(0, ]、(( 1) , ], ∈ 上的单调性始终一致；
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若 < 0，
则当 为奇数时， ( 1), ( 2)与 ( 1 ( 1) ), ( 2 ( 1) )大小关系一致，
当 为偶数时， ( 1), ( 2)与 ( 1 ( 1) ), ( 2 ( 1) )大小关系相反，
则 ( )在(0, ]、(( 1) , ], ∈ 上的单调性不总一致；
欲使类周期函数 = ( )在区间(0,+∞)上是单调函数，则 > 0；
因 ′( ) = ，0 < ≤ ，
又0 < ≤ ，则1 < ≤ ，
若 ≤ 1，则 ′( ) > 0，则 = ( )在(0, ]上单调递增；
若 ≥ ，则 ′( ) = ≤ 0，则 = ( )在(0, ]上单调递减；
若1 < < ，则 ′( ) > 0得0 < < ln ； ′( ) < 0得ln < < ，
则 = ( )在(0, ln )上单调递增，在(ln , )上单调递减，不符合题意；
综上，0 < ≤ 1或 ≥ ，
当0 < ≤ 1时， = ( )在(0, ]上单调递增，则 ( ) = ∈ (1, ],
则 ( ) > 1，则 (2 ) = ( ) ≤ ( )，
则 = ( )在区间(0,+∞)上不可能是单调增函数；
当 ≥ > 1时， = ( )在(0, ]上单调递减，
因 lim ( ) = lim ( ) = 1，则存在 0 ∈ (0, ]，且 ( 0) > 0，则 ( 0 + ) = ( 0) > ( 0)，
→0+ →0+
则 = ( )在区间(0,+∞)上不可能是单调减函数，
则不存在以 为“类周期”， 为“类波幅”类周期函数 = ( )在区间(0,+∞)上是单调函数．
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