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合江县 2025 年秋期合江第五学区第一次自主检测
九年级数学学科
全卷分为第 I 卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页
全卷满分 120 分 完成时间 120 分钟
第 I 卷（选择题 共 36 分）
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题3 分，共 36 分）在每小题给出的四个选项中，有且只有 个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 下列属于一元二次方程的是 ( )
(
2
2
1
2
2
)A. x 3x + y = 0 B. x + 2x = x C. x + 5x = 0 D. x(x 4x) = 3
2. 二次函数 y = (x + 3)2 2 的顶点坐标是 ( )
A. (3, 2) B. (3, 2) C. (3, 2) D. (3, 2)
(
2
3
)3. 关于 x 的一元二次方程 2x 3x + 2 = 0 根的情况，下列说法中正确的是 ( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定
4. 把方程 x2 8x + 3 = 0化成 (x + m)2 = n 的形式，则 m + n 的值是 ( )
A . 23 B. 17 C. 15 D. 9
5. 若关于 x 的一元二次方程 x2 + 2x m = 0有一个根为 3 ，则 m 的值为 ( )
A. 3 B. 3 C. 1 D. 1
6. 已知点 A（ -2 ，a），B（ -1 ，b），C（3 ，c）均在抛物线 y ＝ -2（x+1） +3 上，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( )
A . a＜c＜b B. b＜a＜c C. c＜a＜b D. a＜b＜c
7. 下列说法错误的是 ( )
A. 抛物线y = ax2 （ a ≠ 0 ）中， a 越大图像开口越小， a 越小图像开口越大
B. 二次函数 y = 8x2 中，当x = 0 时， y 有最大值 0
C. 二次函数 y = 4x2 中，当x > 0 时， y 随x 的增大而增大
D. 不论a 是正数还是负数，抛物线 y = ax2 （ a ≠ 0 ）的顶点一定是坐标原点
8. 某种商品原价是 100 元，经过两次提价后的价格是 120 元，求平均每次提价的百分率.设平均每次提价的百分率 为 x ，下列所列方程中正确的是 ( )
A. 100(1 + x)2 = 120 B. 100(1 x)2 = 120 C. 120(1 + x)2 = 100 D. 120(1 x)2 = 100
(
1
2
1
2
)9.把函数 y = 2 x 的图象,经过怎样的平移变换以后,可以得到函数 y = 2 (x 1) +1 的图象( )
A. 向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度
B. 向左平移 1 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度
C. 向右平移 1 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度
D. 向右平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度
10. 关于x 的一元二次方程kx2 2x +1 = 0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 ( )
A. k ≤ 1 B. k < 1且 k ≠ 0 C. k ≤ 1且 k ≠ 0 D. k > 1
11.等腰三角形的腰和底分别是 x2 12x + 20 = 0的两根，则该三角形的周长为 ( )
A. 14 B. 22 C.22 和 14 D.22 或 14
12. 已知抛物线 y = a2 (x 1)2 + k(其中a ≠ 0) 有两点A（m, y1 ) , B(m 2, y2 ) ，且y1 > y2,则 m 的取值范围是 ( )
A.m > 2 B.m > 1 C. m < 1 D. m < 2
第 Ⅱ卷（非选择题 共 84 分）
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题3 分，共 12 分）
13.请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于 1 ，它是 .
14. 已知（m 1)x2 2x +1 = 0 关于 x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则 m 的取值是 .
15. 已知 α、 β 是方程 x2 3x 5 = 0的两根，则 α 3 +14β = .
16. 已知抛物线 y = x2 3x + 2 与 x 轴的交点为 A, B(A在B的左侧），与y 轴交于点C ，在抛物线的对称轴上 存在一点D ，且DC + AD 的值最小，则D 的坐标是 .
三、解答题（本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分）
17.计算(共 6 分）
2 1 + 3 1 + 20250 12
18.解方程(每题 3 分，共 6 分）
（1） (1 x)2 = 9 （2） 2x2 5x = 3
19.化简求值（共 6 分）
x + 1 ÷ , 其中 x = 2.
四、解答题(本大题共 2 个小题，每小题 7 分，共 14 分)
20.爸爸利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形菜园(围墙 MN 最长可利用 25 m) ，现在已备足可以砌 50 m长 的墙的材料，要使菜园的面积为 300 m2 ，求 AB 的长. （共 7 分）
21. 已知关于 x 的方程 2x2+2kx+k -1 ＝0．
（1）求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）若 x ＝ -1 是该方程的一个根，求 k 的值
五、解答题(本大题共 2 个小题，每小题8 分，共 16 分)
22. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 2(1 - m)x + m2 = 0 ．
（1）若该方程有实数根，求 m 的取值范围．
（2）若x1, x2 是方程的两根，且x1 + x2 = 4 时，求 + 的值．
23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 + bx + 3(a ≠ 0) 与 x 轴交于点 A(-1 ，0) ，B(3,0) ，与y 轴交于点 C
(1) 求该抛物线的函数表达式。
(2) 点 P 是抛物线的顶点，求△PBC 面积
六、解答题(本大题共 2 个小题，每小题 12 分，共 24 分)
24 ．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某网络平台上进行直播销售大别山牌板 栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000 元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗 的成本价格为 6 元/kg ，每日销售量y(kg) 与销售单价 x（元/kg ）满足关系式：y = -100x + 5000 ．经销售发现， 销售单价不低于成本价格且不高于 30 元/kg ．当每日销售量不低于4000kg 时，每千克成本将降低 1 元设板栗 公司销售该板栗的日获利为 W（元）．
（1）请求出日获利 W 与销售单价 x 之间的函数关系式
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3） 当 W ≥ 40000 元时，网络平台将向板栗公可收取 a 元/kg(a < 4) 的相关费用，若此时日获利的最大值为 42100 元，求 a 的值．
25．二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象与x 轴分别交于点 A(-1, 0)，B (3, 0)，与y 轴交于点C(0, -3) ，P，Q 为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当P，C 两点关于抛物线对称轴对称， △OPQ 是以点P 为直角顶点的直角三角形时，求点Q 的坐标；
(3)设P 的横坐标为m ，Q 的横坐标为m + 1 ，试探究： △OPQ 的面积S 是否存在最小值，若存在，请求出最小 值，若不存在，请说明理由．
合江县2025年秋期合江第五学区第一次自主检测
九年级数学学科（参考答案）
C 2.C 3.A 4.D 5.B 6.C 7.A 8.A 9.C 10.C 11.B 12 B
13.答案正确即可 14. 15,57 16.
计算
解：原式= ………………4分
= …………………………………6分
解方程
解：=±3 ………………………………1分
=3 或 =-3 ………………………2分
………………………3分
解： ………………1分
………………2分
………………3分
化简求值
解：原式=×
=
= ………………4分
∵
原式= ………………6分
解：设AB长为x m，则BC长为(50－2x)m. ………………1分
依题意 x(50－2x)＝300 ………………2分
解这个方程 50x－2x2＝300，得x1＝15，x2＝10 ………………4分
当x＝15时，BC＝50－2×15＝20(m) ………………5分
当x＝10时，BC＝50－2×10＝30＞25，所以应舍去。 ………………6分
故AB的长为15 m. ………………7分
21.解：（1）△=（2k）2-4×2（k-1）=4（k-1）2+4，
∵（k-1）2≥0，
∴4（k-1）2+4＞0，
∴方程2x2+2kx+k-1=0有两个不相等的实数根． 5分
（2)把x＝﹣1代入方程得：k=1 7分
22. 解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴△=[2(1-m)]2-4m2=8m+4≥0， 3分
4分
8分
23.解：（1）已知抛物线过A(-1,0)、B(3,0)，代入得：
解得a =-1，，b = 2
故 4分
令x = 0，得y = 3，即C(0,3) 5分
∴顶点P(1,4) 6分
∴S△PBC= 8分
24.解：（1）当，即，
．
∴当时，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
当时，
．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）当时，．
∵对称轴为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
∴当时，元，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
当时，．
∵对称轴为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
∴当时，元．
∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元。．．．．．．．．．．．．．8分
（3），
，则．
令，则．
解得：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
在平面直角坐标系中画出w与x的数示意图．
观察示意图可知：
．
又，
．
．
对称轴为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
，
对称轴．
∴当时，元．
，
．
又，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
25.（1）解：把，代入得，
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
解得，
∴二次函数的表达式为；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）解：如图：
由得抛物线对称轴为直线，
∵两点关于抛物线对轴对称，
∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
设，
∵，
∴，
∴
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
整理得，，
解得，（舍去），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
∴；
（3）存在，理由：
当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，
设点，则点，

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