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上海市大同中学 2026届高三上学期 10月月考数学试卷
一、单选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
3 1
1.函数 = 在定义域 上是( ) 3 +1
A. 严格增的奇函数 B. 严格增的偶函数 C. 严格减的奇函数 D. 严格减的偶函数
2.已知直线 + + 1 = 0与圆( + 1)2 + 2 = 1相切，则 2 + 2 的值( )
A. 与 有关，与 有关 B. 与 有关，与 无关
C. 与 无关，与 有关 D. 与 无关，与 无关
3.设 1 < 2 < 3，“| 1| + | 2| + | 3| = 2”是“( 1)( 2)( 3) = 0”的( )
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，圆锥的顶点为 ，将半径为 的球 ′置于该圆锥内，使得球 ′与圆锥侧面相切于圆 ，平面 与球
切于点 ， 为圆 上一点， ， ， ， 四点共面，且 //平面 ，平面 截该圆锥所得截口曲线为 ，
为曲线 上一动点，记圆 所在平面为平面 ， ∩ = ， ⊥ ，垂足为 ， 交圆 于点 ，∠ =
.某同学根据自己的研究给出下列四个结果：
① = ；② // ；③ 是双曲线的一部分；④若 tan 越大，则曲线 的开口越大．
则上述四个结果中正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。
5.已知集合 = { 1,1,3}， = { | = √ 1 }，则 ∩ = ______．
6.已知i为虚数单位，复数 满足 (1 + i) = (2 i)2，则| | = ．
7.已知一组数据为1，1，3，4，5，7，8，10，10，12，则这组数据的第70百分位数是 ．
8.若抛物线的准线方程为 = 1，则该抛物线的标准方程为 ．
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9.已知向量 = (3,2)， = (1,1)，则 在 方向上的投影向量的坐标为 ．
+
10.已知数列{ }是等比数列，数列{ }是等差数列，若 2 6
2 10
10 = 3√ 3， 1 + 6 + 11 = π，则1 3 9
的值是 ．
1
11.设 是第二象限角， ( , 4)为其终边上的一点，且cos = ，则tan = ．
5
2 2 , > 0 ( 1) ( 12.设函数 ( ) = { 对任意 , ∈ R( ≠ )有 2
)
2 1 2 1 2 > 0成立，则实数 的取值范围 + , ≤ 0 1 2
是 ．
13.若log 153 = ，15 = 2，则log536 = (用 ， 表示)．
14.已知定义域为 的奇函数 = ( )，满足 ( + 1.5) = ( 1.5)，且 (2) = 0，则函数 = ( )在区间
[0,6]上的零点个数的最小值为 ．
2 2
15.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左，右焦点分别为 1， 2，过左焦点 1作直线 与双曲线交于
， 两点( 在第一象限)，若线段 的中垂线经过点 2，且点 2到直线 的距离为√ 5 ，则双曲线的离心
率为 ．
1 2 2
16.已知实数 , 满足 > e2 > ，且 ln ln = 2 ，若实数 , 使得关于 的方程 + + = 0在区间2 e
[1,2]上有解，则 2 + 2的最小值是 ．
三、解答题：本题共 5小题，共 60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图，四棱锥 的底面为菱形， ⊥平面 ，∠ = 60 ， 为棱 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)若 = = 2，求点 到平面 的距离．
18.(本小题12分)
1
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 sin + sin sin = sin ．
2
(1)求cos 的值；
√ 5
(2)若 = √ 15，sin = ，求△ 的周长．
5
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19.(本小题12分)
某校举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，
从中抽取了部分学生的成绩 作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分成五组(50 ≤ < 60,60 ≤ <
70,70 ≤ < 80,80 ≤ < 90,90 ≤ ≤ 100)，其中第二组的频数是第五组的频数的8倍，请根据下面尚未
完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题．
(1)若根据这次成绩，年级准备淘汰90％的学生，仅留10％的学生进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为
多少合理？
(2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： 1, 2, 3, , 10.已知这10个分数的平均数 = 90，
标准差 = 5，若剔除其中的96和84这2个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
(3)从样本数据在50 ≤ < 60，80 ≤ < 90，90 ≤ ≤ 100这三个组内的学生中，用分层抽样的方法抽取
7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的2人来自不同组的概率．
20.(本小题12分)
2 2 √ 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，直线 1: = 与椭圆 相交于 ， 两点，其中 点在第一 2
象限，且| | = 4．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 = 2 + 与椭圆 相交于 ， 点， 的内切圆圆心是 ，半径是 ．
( )若 > 0，求证：圆心 在一条定直线上；
( )若2 = | | + | | | |，求 的面积．
21.(本小题12分)
设函数 = ( )的定义域为 ，对于区间 = [ , ]( )，当且仅当函数 = ( )满足以下①②两个性质
中的任意一个时，则称区间 是 = ( )的一个“美好区间”．
性质①：对于任意 0 ∈ ，都有 ( 0) ∈ ；性质②：对于任意 0 ∈ ，都有 ( 0) ．
(1)已知 ( ) = 2 + 2 ， ∈ R分别判断区间[0,2]和区间[1,3]是否为函数 = ( )的“美好区间”，并说
明理由；
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1
(2)已知 ( ) = 3 2 + 3 ( ∈ R)且 > 0，若区间[0, ]是函数 = ( )的一个“美好区间”，求实
3
数 的取值范围；
(3)已知函数 = ( )的定义域为 ，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意 < ，都有 ( )
( ) > .求证：函数 = ( )存在“美好区间”，且存在 0 ∈ R，使得 0不属于函数 = ( )的任意一
个“美好区间”．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.{ 1,1}
5√ 2 5
6. / √ 2
2 2
7.9
8. 2 = 4
5 5
9.( , )
2 2
π
10.
3
4
11.
3
1
12.[0, ]
2
2 +2
13.
1
14.9
√ 14
15.
2
e4
16.
2
17.【详解】(1)证明：连接 ，如图，
∵底面 为菱形，∠ = 60 ，则∠ = 60 ，
∴△ 为等边三角形，
∵ 为 的中点，∴ ⊥ ，
∵ // ，∴ ⊥ ，
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∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，∵ ∩ = , , 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
(2)以 为坐标原点， , , 所在直线分别为 , , 轴，建立空间直角坐标系，
则 (0,0,2), (2,0,0), (1, √ 3, 0)， ( 1, √ 3, 0)，
∴ = (1, √ 3, 2), = ( 1, √ 3, 2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则{
= 0 + √ 3 2 = 0，即{ ，令 = 2，则 = √ 3, = 0，
= 0 + √ 3 2 = 0
∴ = (0,2, √ 3)，
又 = (1, √ 3, 0)，
| | |2√ 3| 2√ 21
∴点 到平面 的距离为： = = ．
| | √ 7 7
1 1
18.【详解】(1)在 中，由 sin + sin sin = sin 及正弦定理得 2 + 2 2 = ，
2 2
2
+ 2 2 1
由余弦定理得cos = = ．
2 4
1
(2)由(1)知，cos = < 0，即 为钝角，
4
则sin = √ 1 cos2
√ 15
= ，
4
√ 5 2 2√ 5 √ 15 2√ 5又sin = ，则cos = √ 1 sin = ，sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = × +
5 5 4 5
1 √ 5 10√ 3 √ 5
( ) × = ，
4 5 20
√ 15
由正弦定理得 = = = = 4，
sin sin sin √ 15
4
4√ 5 10√ 3 √ 5
则 = 4sin = , = 4sin = ，
5 5
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4√ 5 10√ 3 √ 5 3√ 5
所以 的周长为 + + = √ 15 + + = √ 15 + 2√ 3 + ．
5 5 5
19.【详解】(1)由题意知，第二组的频数是第五组的频数的8倍，所以 = 8 ，
又(0.008 + 0.016 + + 0.04 + ) × 10 = 1，所以 = 0.032, = 0.004．
因为成绩落在[50,80)内的频率为0.16 + 0.32 + 0.40 = 0.88，
落在[50,90)内的频率为0.16 + 0.32 + 0.40 + 0.08 = 0.96，
所以第90百分位数在[50,90)内．
设第90百分位数为 ，则( 80) × 0.008 = 0.9 0.88，解得 = 82.5，
所以晋级分数线划为82.5分合理．
(2)因为 = 90，所以 1 + 2 + + 10 = 10 × 90 = 900，
1
所以 2 = ( 2 + 2 + + 2 ) 902 = 521 2 10 ，所以
2 + 21 2 + +
2
10 10
= 81250．
剔除其中的96和84这2个分数，设剩余8个分数为 1, 2, 3, , 8，
平均数与标准差分别为 0, 0，
+ + + + 900 96 84
则剩余8个分数的平均数 = 1 2 3 80 = = 90， 8 8
1 1
方差 20 = (
2
1 +
2
2 + +
2
8 ) 90
2 = (81250 962 842) 902 = 22.25．
8 8
(3)由图可知，按分层抽样法，这三组应分别抽取4人，2人，1人，分别记为 , , , ; , ; ．
所有的抽样情况
= { , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }，共21个样本
点， =“选出的2人来自于不同组”，则
= { , , , , , , , , , , , , , }，共14个样本点，
14 2
所以 ( ) = = ．
21 3
√ 2
20.【详解】(1)因为 = , 2 = 2 + 2，所以 2 = 2 2，
2
2 2
+ = 1 √ 6联立{ 2 22 ，解得 = ± ，
= 3
2 2√ 6所以| | = √ 1 + 1 × = 4，解得 = √ 3，则 = √ 6，
3
2 2
故椭圆 的方程为 + = 1．
6 3
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(2)( )由题意， (√ 2, √ 2)，设 ( 1, 1), ( 2, 2)，，
2 2
联立椭圆方程 + = 1，与直线 的方程 = 2 + ，
6 3
= 2 +
得{ 2 2 ，化简得6 2 + 4 + 2 6 = 0，
+ = 1
6 3
2 2 6
所以 = 16 2 24( 2 6) = 8(18 2) > 0 3 < < 3， 1 + 2 = , 1 2 = ， 3 6
4 2
1 + 2 = 2( 1 + 2) + 2 = + 2 = ， 3 3
2( 2 6) 4 2 12
1 2 = (2 1 + )(2 2 + ) = 4 1 2 + 2 ( 1 + 2) +
2 = 2 + 2 = ，
3 3 3
设直线 , 的斜率分别为 1, 2，
1 √ 2 所以 + = + 2
√ 2 ( 1 √ 2)( 2 √ 2)+( 2 √ 2)( 1 √ 2)
1 2 = 2 √ 2 2 √ 2 ( 1 √ 2)( 2 √ 2)
1 + 2 √2 1 2( 1 + 2 + 1 + = 2
) + 4
( 1 √ 2)( 2 √ 2)
(2 1 + ) 2 + (2 √= 2
+ ) 1 2(2 1 + + 2 1 + + 1 + 2) + 4
( 1 √ 2)( 2 √ 2)
4 1 2 + 4 + ( 3√ 2)( 1 + 2) 2√ 2 =
( 1 √ 2)( 2 √ 2)
2( 2 6) 2
+4 ( 3√ 2) 2√ 2
= 3 3 = 0，
( 1 √ 2)( 2 √ 2)
故直线 = √ 2平分∠ ，
所以圆心 在一条定直线 = √ 2上．
( )如图所示，设 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，其中 , , 是垂足，
因为2 = | | + | | | | = | | + | | + | | + | | (| | + | |)
= | | + | | = 2| | = 2| |，
所以三角形 是等腰直角三角形，同理三角形 是等腰直角三角形，
所以 ⊥ ，即 = 0，
即 = ( 1 √ 2, 1 √ 2) ( 2 √ 2, 2 √ 2)
= 1 2 √ 2( 1 + 2) + 2 + 1 2 √ 2( 1 + 2) + 2
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2 12 2√ 2 2 6 2√ 2 2
= + 2 + + + 2 = 1 = 0，
3 3 6 3 2
解得 = √ 2或 = √ 2，满足 3 < < 3，
当 = √ 2时，直线 : = 2 √ 2过点 (√ 2, √ 2)，
所以只能 = √ 2，此时 : = 2 + √ 2，
2√ 2 2√ 10
点 (√ 2, √ 2)到直线 的距离为 = = ，
√ 5 5
2√ 2 2 6 4√ 10
| | = √ 1 + 4 × √ ( + )21 2 4 2 2 = √ 5 × √ ( )2 4 × = ， 3 6 3
1 4√ 10 2√ 10 8
故 的面积为 × × = ．
2 3 5 3
21.【详解】(1)区间[0,2]是，区间[1,3]不是，理由如下：
由 ( ) = 2 + 2 = ( 1)2 + 1，
当 ∈ [0,2]时， ( ) ∈ [0,1] [0,2]，
所以区间[0,2]是函数 = ( )的“美好区间”；
当 ∈ [1,3]时， ( ) ∈ [ 3,1]，不是[1,3]的子集，且 (1) = 1 ∈ [1,3]，
所以[1,3]不是 = ( )的“美好区间”．
(2)由题意， (0) = 0 ∈ [0, ]，故只能满足性质①，
而 ′( ) = 2 2 + 3，令 ′( ) > 0，得 3 < < 1，令 ′( ) < 0，得 < 3或 > 1，
所以函数 ( )在( 3,1)上单调递增，在( ∞, 3)和(1, +∞)上单调递减，
3±3√ 5
令 ( ) = 0 = 0或 = ，
2
3±√ 33
令 ( ) = = 0或 = ，
2
√ 33 3 5 5 3√ 5 3
由 = > 1，故取 (1) = 为 的最小值，故 ∈ [ , ]．
2 3 3 2
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(3)由题意，对于任意 < ， ( ) ( ) > > 0，即 ( ) > ( )，
则 ( )在 上单调递减，
故取 ∈ [ , ]，则 ( ) ∈ [ ( ), ( )]，
由 ( ) ( ) > ， ( )无法满足性质①，
故若存在“美好区间”，只能满足性质②，
因为 = 在 上单调递增且值域为 ，
故 ( )必与 = 有交点，不妨设交点为( 0, ( 0))，
则任意的区间[ , ]，使 0 ∈ [ , ]，则 ( 0) ∈ [ , ]，则无法满足性质②，
故存在 0 ∈ R，使得 0不属于函数 = ( )的任意一个“美好区间”；
故取区间[ , ]，使 > 0，则 ( ) < ( ) < 0 < < ，
故此时对于任意 ∈ [ , ]，都有 ( ) [ , ]，即满足性质②，
故函数 = ( )存在“美好区间”．
综上所述，函数 = ( )存在“美好区间”，且存在 0 ∈ R，使得 0不属于函数 = ( )的任意一个“美
好区间”．
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